22　函数的简单性质（1） (2)

高中数学必修1 2 2函数的简单性质 1 如图 课本37页图2 2 1 是气温 关于时间t的函数 记为 f t 观察这个函数的图象 说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的 问题 怎样用数学语言刻画 随时间的增大气温逐渐升高 这一特征 y随x的增大而增大 情境问题 t h O 2 2 6 10 24 20 10 在一碗水中 加入一定量的盐 盐加得越多就越咸 设水的质量为1 盐的质量为x 盐水的浓度为y 则y与x之间的函数关系是y x 0 问题一 怎样用数学语言刻画 盐加得越多就越咸 这一特征 问题二 函数的解析式能反映出这个特征吗 y随x的增大而增大 情境问题 一次函数y 2x 1中 随x的增大 y如何变化 y随x的增大而增大 数学建构 P1 x1 y1 P2 x2 y2 在函数y 2x 1的图象上任取两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 满足x1 x2 有y1 y2 2x1 1 2x2 1 2 x1 x2 因为x1 x2 则有x1 x2 0 所以y1 y2 0 即y1 y2 所以说y随x的增大而增大 数学建构 一般地 设函数y f x 的定义域为A 区间I A 如果对于区间I内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说y f x 在区间I上是单调增函数 I称为y f x 的单调增区间 如果对于区间I内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说y f x 在区间I上是单调减函数 I称为y f x 的单调减区间 如果函数y f x 在区间I上是单调增函数或单调减函数 那么就说函数y f x 在区间I上具有单调性 单调增区间和单调减区间统称为单调区间 数学应用 如果定义域为A的函数y f x 的图象如图所示 针对图形 指出哪些函数是A上的单调增函数 哪些函数是A上的单调减函数 1 2 3 4 数学应用 表述二次函数y x2 2x 1的单调性 在对称轴的左侧 y随x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随x的增大而增大 在区间 1 上单调递减 在区间 1 上递增 在区间 1 上是减函数 在区间 1 上是增函数 二次函数y x2 2x 1的减区间是 1 增区间是 1 表述反比例函数y 的单调性 在第一象限 y随x的增大而减小 在第三象限 y随x的增大而减小 在区间 0 上单调递减 在区间 0 上也单调递减 数学应用 在区间 0 上是减函数 在区间 0 上也是减函数 函数y 的减区间是 0 和 0 注 函数y 的减区间不能表示为 0 0 1 y x2 2 例1 说出下列函数的单调区间 2 y 1 x 0 解 1 函数y x2 2的增区间为 0 减区间为 0 2 函数y 1的单调减区间为 0 和 0 数学应用 1 证明 函数y x2 2在区间 0 上单调递增 例2 完成下列证明 2 证明 函数y 1在区间为 0 上单调递减 数学应用 用定义证明函数的单调性的步骤 1 设x1 x2 并是某个区间上任意二值 2 作差f x1 f x2 3 判断f x1 f x2 的符号 4 作结论 分解因式 得出因式x1 x2 配成非负实数和 方法小结 1 单调性是函数的本质属性 可根据图象写出判定函数的单调性 2 根据已知函数的单调性判定相关函数的单调性 3 写单调区间时 注意区间的端点