高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第2讲 直接证明与间接证明课件 理.ppt

第2讲直接证明与间接证明 考试要求1 分析法和综合法的思考过程和特点 a级要求 2 反证法的思考过程和特点 a级要求 知识梳理 1 直接证明 已知条件 问题的结论 2 间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 要证明某一结论q是正确的 但不直接证明 而是先去假设q不成立 即q的反面非q是正确的 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设非q是错误的 从而断定结论q是正确的 这种证明方法叫做反证法 2 用反证法证明的一般步骤 反设 假设命题的结论不成立 归谬 根据假设进行推理 直到推出矛盾为止 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 2 2014 山东卷改编 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 解析因为 方程x3 ax b 0至少有一个实根 等价于 方程x3 ax b 0的实根的个数大于或等于1 所以要做的假设是 方程x3 ax b 0没有实根 答案方程x3 ax b 0没有实根 3 设a lg2 lg5 b ex x 0 则a与b的大小关系为 解析a lg2 lg5 1 b ex 当xb 答案a b 解析a2 ab a a b a0 a2 ab 又ab b2 b a b 0 ab b2 由 得a2 ab b2 答案1 答案a 0 b 0且a b 考点一综合法的应用 规律方法用综合法证题是从已知条件出发 逐步推向结论 综合法的适用范围 1 定义明确的问题 如证明函数的单调性 奇偶性 求证无条件的等式或不等式 2 已知条件明确 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 在使用综合法证明时 易出现的错误是因果关系不明确 逻辑表达混乱 训练1 如图 在四面体pabc中 pc ab pa bc 点d e f g分别是棱ap ac bc pb的中点 1 求证 de 平面bcp 2 求证 四边形defg为矩形 3 是否存在点q 到四面体pabc六条棱的中点的距离相等 说明理由 1 证明因为d e分别为ap ac的中点 所以de pc 又因为de 平面bcp 所以de 平面bcp 2 证明因为d e f g分别为ap ac bc pb的中点 所以de pc fg dg ab ef 所以四边形defg为平行四边形 又因为pc ab 所以de dg 所以四边形defg为矩形 3 证明存在点q满足条件 理由如下 如图 连接df eg 设q为eg的中点 考点二分析法的应用 规律方法分析法是逆向思维 当已知条件与结论之间的联系不够明显 直接 或证明过程中需要用到的知识不太明确 具体时 往往采用分析法 特别是含有根号 绝对值的等式或不等式 从正面不易推导时 常考虑用分析法 注意用分析法证题时 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 考点三反证法的应用 规律方法 1 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 可用反证法来证 反证法关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等 2 用反证法证明不等式要把握三点 必须否定结论 必须从否定结论进行推理 推导出的矛盾必须是明显的 训练3 已知a 0 证明关于x的方程ax b有且只有一个根 思想方法 分析法和综合法各有优缺点 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后再用综合法叙述出来 易错防范 1 用分析法证明时 要注意书写格式的规范性 常