2019-2020学年牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】【详解】,对应的点为,在第四象限，故选D.2函数f（x）x34x5的图象在x1处的切线在x轴上的截距为（ ）A10 B5 C1 D【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，切线方程为：，令得，选D【考点】导数几何意义3类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是平行于同一直线的两条直线平行；一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交A B C D【答案】A【解析】试题分析：对于空间内的类比结论为：平行于同一平面的两个平面平行，成立；对于空间内的类比结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；对于空间内的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，也成立故选：A【考点】类比推理4函数有（ ）A极大值，极小值B极大值，极小值C极大值，无极小值D极小值，无极大值【答案】C【解析】利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.【详解】当时，函数单调递增；当时，函数单调递减当时，函数取极大值，极大值为；无极小值故选：【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题.5. 函数y4x2单调递增区间是（ ）A（0，+）BC（，+）D（，+）【答案】C【解析】先对函数求导，然后由y0可得x的 范围，从而可求函数的单调递增区间【详解】解析：y8x，令y0，解得x，则函数的单调递增区间为（，+）故答案：C【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于基础试题6下列计算错误的是（ ）ABCD【答案】D【解析】由微积分基本定理与定积分的几何意义易得结果【详解】A项，故A正确；B项，故B正确；C项，因为是偶函数，因此在上关于轴对称，所以在上与轴围成的面积关于轴对称，定积分表示的是函数曲线与轴围成的面积，故在定积分等于在上定积分的倍，故C正确；D项， ，故D错误；故选：D【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，属于基础题.7余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（ ）A结论正确B大前提不正确C小前提不正确D全不正确【答案】C【解析】根据演绎推理的三段论的要求，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可.【详解】大前提：余弦函数是偶函数，正确；小前提：是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：是偶函数，因为该函数为非奇非偶函数，故错误；因此以上推理形式中小前提不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了演绎推理的相关知识，熟练掌握余弦函数的定义以及奇偶性是解答本题的关键.8设复数满足，则 （ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：【考点】复数的运算9若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】【详解】试题分析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，的取值范围是故选D【考点】利用导数研究函数的单调性.10在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）ABCD【答案】C【解析】对于空间的四点M、A、B、C，要证四点共面，只需满足，且即可，然后对四个选项中的关系进行分析，找出满足上面关系的即为一定共面的选项.【详解】空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且即可，对于A，中，故此时四点M、A、B、C四点不共面；对于B，中，此时四点M、A、B、C四点不共面；对于C，即，此时四点M、A、B、C四点共面；对于D，则，此时四点M、A、B、C四点不共面；故选：C【点睛】本题是一道关于判断平面向量共面的题目，解答本题的关键是熟练掌握向量共面的判定方法.11函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只需要，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题13复数在复平面内,所对应的点在第_象限【答案】二【解析】根据复数的运算得到的代数形式后可得答案【详解】由题意得，所以复数对应的点为，在第二象限故答案为二【点睛】本题考查复数的几何意义，解题的关键是熟练进行复数的运算，属于基础题14垂直于直线并且与曲线相切的直线方程是 _【答案】【解析】先设出切点，求出与直线垂直的直线斜率，再求出曲线的导函数在切点处的函数值，求得切点坐标后根据点斜式方程可得答案【详解】设切点为，又切线垂直于直线，切线的斜率为，整理得，解得，切点坐标为，所求切线方程为，即故答案为【点睛】利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别第一种类型中的点P为切点，求解时直接根据导数的几何意义求解即可；第二种类型中的点P不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定为切点，此种类型需要转化成第一种类型求解15已知函数的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为_【答案】-3【解析】试题分析：，由题意，易知，所以【考点】导数的几何意义，定积分的几何意义16若中两直角边为，斜边上的高为，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥，为棱锥的高，记，那么，的大小关系是_.【答案】【解析】在中，,由等面积法得,，整理得，类比知：，由等体积法得，得，故答案为三、解答题17已知曲线y=5,求:(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.(2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程.【答案】（1）16x-8y+25=0；（2）5x-4y+20=0.【解析】试题分析：（1）求导数，利用曲线与直线y=2x4平行，求出切点坐标，即可求出曲线与直线y=2x4平行的切线的方程（2）设切点，可得切线方程，代入P，可得切点坐标，即可求出过点P（0，5）且与曲线相切的直线的方程试题解析：(1)设切点为(x0,y0),由y=5,得y=.所以切线与y=2x-4平行,所以=2,所以x0=,所以y0=.则所求切线方程为y-=2,即16x-8y+25=0.(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5上,故需设切点坐标为M(x1,y1),则切线斜率为.又因为切线斜率为,所以=,所以2x1-2=x1,得x1=4.所以切点为M(4,10),斜率为,所以切线方程为y-10=(x-4),即5x-4y+20=0.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为18已知，且，求a、b、c的值【答案】，【解析】由题意对进行求导，可得，结合，列出关于、的两个方程；再对进行计算，得出关于、的另一个方程，将三个方程联立即可解答.【详解】，又，而，取，则，.解得，【点睛】本题是一道关于函数的题目，总体方法是掌握导数和积分的知识，属于基础题.19已知函数的图象经过点且在处，取得极值求：（1）函数的解析式；（2）的单调递增区间【答案】（1）；（2）的单调递增区间为【解析】（1）代入点的坐标，求出导函数，解方程组可得、；（2）求出导函数，令导函数大于得出函数的单调递增区间.【详解】（1）由的图象过点得，又，由得，（2），由得或，的单调递增区间为和【点睛】本题是一道关于利用函数求导函数的题目，关键掌握利用导数研究函数的单调性的方法.20如图所示，四棱锥中，四边形为平行四边形，平面（1）求证：；（2）若，E为线段的中点，F为线段上靠近B的三等分点，求直线与平面AEF所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题意可证得，结合，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而可证得.（2）以为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量数量积即可求解.【详解】（）平面，平面，又，平面，又平面，（）以为x轴、y轴、z轴建立如图所示坐标系，则，设为平面的法向量，令，得一个法向量，即直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查了由线面垂直证线线垂直，考查了利用空间直角坐标系求线面角.21如图，在直三棱柱中，M是棱的中点，求证：；求直线AM与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由题意利用几何体的垂直关系建立直角坐标系，求对应向量的数量积为零，即得出垂直；（2）在（1）的坐标系中，求出面AA1B1B的法向量，再利用对应向量的数量积求余弦值的绝对值，即为所求【详解】如图，以B为原点，BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0，2，2，即，；轴面，面的法向量取0，设直线AM与平面所成角为，直线AM与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查了线线垂直和线面角，利用几何体垂直关系建立坐标系，再利用对应向量的数量积证明线线垂直和求解线面角的正弦值，这是立体几何中常用的一种方法22已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，；（3）设实数k使得对恒成立，求k的最大值【答案】（1）；（2）见解析；（3）2.【解析】（1）利用函数的导数求出在曲线上某点处的切线方程.（2）构造新函数，利