概率论与数理统计之正态分布

2020 4 17 1 概率论与数理统计 2 第四章正态分布4 1正态分布的概率密度和分布函数4 2正态分布的数字特征4 3正态随机变量的线性函数的分布4 4二维正态分布4 5中心极限定理 正态分布 正态分布 又称高斯分布 一 邂逅 正态曲线的首次发现 正态分布的前世今生 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 4 5节 二 寻找随机误差分布的规律 正态分布的确立 三 正态分布的各种推导 四 正态分布开疆扩土 五 正态魅影 正态分布性质 4 3节 4 1正态分布的概率密度与分布函数 6 定义 设随机变量的概率密度为 则称服从正态分布 记作 其中及是参数 正态分布也称为高斯分布 4 1正态分布的概率密度与分布函数 7 特点 性质 关于对称 如图以标准正态分布为例 分析的取值对图像的影响 4 1正态分布的概率密度与分布函数 8 是对称轴 只是左右平移 改变其左右位置 不改变其形状 改变其形状 高矮胖瘦 不能改变其位置 4 1正态分布的概率密度与分布函数 9 4 1正态分布的概率密度与分布函数 10 分布函数 分布函数 的性质 第二章中分布函数所有性质 的性质 11 标准正态分布的分布函数值表 见281页附录表1 我们一起学查表 例 已知X N 0 1 查表解决以下问题 求概率 13 其它结论 14 4 1正态分布的概率密度与分布函数 15 定理 设 则落在区间内的概率 当然也有 4 1正态分布的概率密度与分布函数 16 证明 4 1正态分布的概率密度与分布函数 17 解 例 设 求 4 1正态分布的概率密度与分布函数 18 例 设 求 解 4 1正态分布的概率密度与分布函数 19 解 例 设 求 4 1正态分布的概率密度与分布函数 20 解 例 设 求 4 1正态分布的概率密度与分布函数 21 解 例 设 求 落在区间 其中 的概率 称为正态分布的 规则 4 2正态分布的期望和方差 数学期望 方差 例 正态分布的标准化 已知X N m s2 则有 X N m s2 4 3正态分布的线性性质 设随机变量 则有 其中a b b 0 为常数 例 已知X N 1 4 试确定Y 1 2X的分布 并写出Y的密度函数 正态分布的可加性 设随机变量 并且X与Y独立 则 1 两个正态分布情形 2 多个正态分布情形 设随机变量相互独立 且 则其中为常数 例 已知X N 3 1 Y N 2 1 并且X与Y独立 试确定Z X 2Y 7的分布 求E Z D Z 写出Z的密度函数 4 4二维正态分布 26 定义 其中是参数 二维随机变量服从二维正态分布 记作 4 4二维正态分布 27 定理1 设二维连续随机变量 则与的边缘分布都是正态分布 且无论参数为何值 都有 4 4二维正态分布 28 定理2 设二维连续随机变量 则与相互独立的充要条件是相关系数 29 客 考点8 正态分布的性质及概率计算 30 31 4 5中心极限定理 32 概率论中关于论证 大量独立随机变量的和的极限分布是正态分布 的一系列定理统称为中心极限定理 4 5中心极限定理 33 定理1 林德伯格 莱维中心极限定理 设随机变量相互独立 服从相同的分布 且 则对于任何实数 有 此定理通常称为 独立同分布的中心极限定理 34 解 设随机变量表示第页的印刷错误的个数 则 则 35 解 4 5中心极限定理 36 37 例 某电站供应10000户居民用电 设在高峰时每户用电的概率为0 8 各用户用电多少是相互独立的 求 1 同一时刻有8100户以上用电的概率 所以由 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 2 若每户用电功率为100W 则电站至少需要多少电功率才能保证以0 975的概率供应居民用电 38 例 某电站供应10000户居民用电 设在高峰时每户用电的概率为0 8 各用户用电多少是相互