高中数学 精讲优练课型 第二章 基本初等函数（I）2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质课件 新人教版必修1.ppt

2 2 2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质 知识提炼 1 对数函数的概念函数y a 0 且a 1 叫做对数函数 其中 是自变量 函数的定义域是 logax x 0 2 对数函数的图象及性质 0 1 0 1 0 减函数 增函数 3 反函数指数函数 和对数函数y logax a 0且a 1 互为反函数 y ax 即时小测 1 判断 1 y log2x2与y logx3都不是对数函数 2 对数函数的图象一定在y轴右侧 3 当01 则y logax的函数值都大于零 4 函数y log2x与y x2互为反函数 解析 1 正确 根据对数函数的定义 只有符合y logax a 0且a 1 的形式的函数才是对数函数 2 正确 通过a 1和01时 y logax的函数值小于零 4 错误 函数y log2x的反函数为y 2x 答案 1 2 3 4 2 下列函数是对数函数的是 a y logx2b y log3xc y 2log3xd y log3x 1 解析 选b 由对数函数的定义知y log3x是对数函数 而a项中未知数在底数上 c项中系数不为1 d项中多了加1这一项 故只有b符合 3 若函数y a2 3a 3 logax是对数函数 则a的值为 a 1或2b 2c 1或 2d 1 解析 选b 因为y a2 3a 3 logax是对数函数 所以a2 3a 3 1 a 0且a 1 解得a 2 4 对数函数f x logax的图象过点 3 1 则f 9 的值为 a 2b c 2d 解析 选c 因为函数f x logax的图象过点 3 1 则loga3 1 解得a 3 故f 9 log39 log332 2 5 若对数函数f x log 2a 1 x是 0 上的减函数 则a的取值范围是 a a 1b 1 a c 1 a 2d a 1 解析 选d 因为对数函数f x log 2a 1 x是 0 上的减函数 所以0 2a 1 1 解得 a 1 知识探究 知识点1对数函数的概念观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 对数函数与指数函数的解析式在形式上有怎样的联系 问题2 对数函数的定义中为什么要求a 0 且a 1 总结提升 1 对对数函数概念的两点说明 1 对数函数的概念与指数函数类似 都是形式化定义 如y 2log2x y log2都不是对数函数 可称其为对数型函数 2 由指数式与对数式的关系知 对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y 所以对数函数的定义域为 0 2 对数函数的定义中要求a 0 且a 1的原因根据对数式与指数式的关系知 y logax可化为ay x 联想指数函数中底数的范围可知a 0且a 1 3 对数函数的解析式具有的三个特征 1 系数为1 2 底数为大于0且不等于1的常数 3 对数的真数仅有自变量x 知识点2对数函数的图象及性质观察图形 回答下列问题 问题1 对数函数的图象恒过哪一个定点 问题2 底数的大小对对数函数的图象有怎样的影响 总结提升 1 对数函数图象和性质的关系 2 底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 1 对图象的影响 比较图象与y 1的交点 此时y 1与对数函数图象交点的坐标为 a 1 交点的横坐标越大 对应的对数函数的底数越大 即沿着直线y 1由左向右看 底数a增大 如图 2 图象的特点 函数y logax a 0且a 1 的图象无限靠近y轴 但永远不会与y轴相交 在同一坐标系内 y logax a 0且a 1 的图象与y logx a 0且a 1 的图象关于x轴 即直线y 0 对称 拓展延伸 对数函数单调性的记忆口诀对数增减有思路 函数图象看底数 底数要求大于0 但等于1却不行 底数若是大于1 图象从左往右增 底数0到1之间 图象从左往右减 无论函数增和减 图象都过 1 0 点 题型探究 类型一对数函数概念的应用 典例 1 下列给出的函数 y log5x 1 y logax2 a 0 且a 1 y y log3x y logx x 0 且x 1 y logx 其中是对数函数的为 a b c d 2 2015 晋城高一检测 对数函数的图象过点 16 2 则对数函数的解析式为 3 若函数y log 2a 1 x a2 5a 4 是对数函数 则a 解题探究 1 典例1中应从哪几个方面看一个函数是否是对数函数 提示 应从三个方面 一看系数 二看底数 三看真数 2 典例2中对数函数应设为怎样的形式 提示 应设为y logax a 0 且a 1 的形式 3 典例3中的a2 5a 4应满足怎样的条件 提示 a2 5a 4 0 解析 1 选d 中对数式后面加1 所以不是对数函数 中真数不是自变量x 所以不是对数函数 和 符合对数函数概念的三个特征 是对数函数 中log3x前的系数不是1 所以不是对数函数 中底数是自变量x 而非常数a 所以不是对数函数 故 正确 2 设对数函数的解析式为y logax a 0 且a 1 由已知可得loga16 2 即a2 16 解得a 4 故函数解析式为y log4x 答案 y log4x 3 由题意可得 解得a 4 答案 4 方法技巧 判断一个函数是对数函数的方法 变式训练 已知下列函数 1 y log x x1 3 y lnx x 0 4 y x 0 a为常数 其中是对数函数的是 只填序号 解析 对于 1 真数是 x 故 1 不是对数函数 对于 2 2log4 x 1 的系数为2 而不是1 且真数是x 1 不是x 故 2 不是对数函数 对于 3 lnx系数为1 真数是x 故 3 是对数函数 对于 4 底数a2 a 当a 时 底数小于0 故 4 不是对数函数 答案 3 类型二求对数型函数的定义域 函数值问题 典例 1 已知函数f x log5 x 1 若f a 1 则a a 3b 4c 5d 62 2015 邢台高一检测 函数f x log x 1 的定义域为 解题探究 1 典例1中把a代入函数式中会得到什么结果 提示 会得到f a log5 a 1 1 解此等式可求得a的值 2 典例2中不仅要考虑2x 1 0 要使函数有意义 对于底数应有什么限定条件 提示 对于底数x 1 0且x 1 1 解析 1 选b 由f a log5 a 1 1可得a 1 5 所以a 4 2 要使函数有意义 必须解得x 1且x 2 所以函数的定义域为 1 2 2 答案 1 2 2 延伸探究 1 变换条件 改变问法 本例2函数式不变 若f a 1 则a 解析 若f a 1 即f a log a 1 1 答案 4 2 变换条件 若将本例2的函数 f x log x 1 变为 f x log x 1 其定义域又如何求解呢 解析 要使函数有意义 必须解得x 且x 1 所以函数的定义域为 1 1 方法技巧 求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 1 分母不能为0 2 根指数为偶数时 被开方数非负 3 对数的真数大于0 底数大于0且不为1 补偿训练 函数f x log x 2 4 x 的定义域为 解析 要使函数有意义 必须解得 2 x 4且x 1 故函数的定义域为 2 1 1 4 答案 2 1 1 4 延伸探究 1 本题函数式不变 若f a 2 则a 解析 若f a 2 即f a log a 2 4 a 2 答案 0 2 若将本题的函数 f x log x 2 4 x 改为 f x log 4 x x 2 其定义域又如何求解 解析 要使函数有意义 解得 2 x 4且x 3 故函数的定义域为 2 3 3 4 类型三对数函数的图象问题 典例 1 已知lga lgb 0 则函数f x ax与函数g x logbx的图象可能是 2 2015 大连高一检测 函数y loga x 1 2 a 0 且a 1 的图象恒过点 3 2015 无锡高一检测 如图所示的曲线是对数函数y logax y logbx y logcx y logdx的图象 则a b c d与1的大小关系为 解题探究 1 典例1中由lga lgb 0会得到a与b怎样的关系式 需要对a的范围进行分情况讨论吗 提示 由lga lgb 0可得lg ab 0 则ab 1 即a 需要对a的范围进行讨论 2 典例2中函数恒过定点 此时应使真数x 1等于何值 提示 依据loga1 0 此时应使x 1 1 3 典例3中由对数函数的图象 怎样判断相应底数的大小 提示 作直线y 1与所给图象相交 交点的横坐标即为各个函数的底数 在第一象限内 自左向右 底数逐渐变大 解析 1 选b 由lga lgb 0 得lg ab 0 所以ab 1 故a 所以当01 当b 1时 01的情况 2 因为函数y logax a 0 且a 1 的图象恒过点 1 0 则令x 1 1得x 0 此时y loga x 1 2 2 所以函数y loga x 1 2 a 0 且a 1 的图象恒过点 0 2 答案 0 2 3 由图象可知函数y logax y logbx的底数a 1 b 1 函数y logcx y logdx的底数0a 1 d c 答案 b a 1 d c 方法技巧 1 对数函数图象过定点问题求函数y m logaf x a 0 且a 1 的图象过定点时 只需令f x 1求出x 即得定点为 x m 2 根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线y 1与所给图象相交 交点的横坐标即为各个底数 依据在第一象限内 自左向右 图象对应的对数函数的底数逐渐变大 可比较底数的大小 变式训练 对a a 0 a 1 取不同的值 函数y loga的图象恒过定点p 则p的坐标为 a 1 0 b 2 0 c 2 0 d 1 0 解题指南 函数y loga的图象恒过定点 则此时应使 1 解相应的x的值即可 解析 选a 因为y logax恒过定点 1 0 由y loga可知 令 1 则y 0 解得x 1 故此函数过定点p 1 0 补偿训练 已知函数f x ax a 0 a 1 的反函数为g x 且满足g 2 0 则函数g x 1 的图象是下图中的 解析 选a 由f x ax的反函数是g x logax 又g 2 0 所以0 a 1 故g x 1 loga x 1 是单调递减的 并且是由函数g x logax向左平移1个单位得到的 易错案例求与对数函数有关的函数的定义域 典例 2015 通化高一检测 函数y 的定义域为 失误案例 错解分析 观察以上解答 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是使函数有意义 不仅需log x 1 1 0 而且还需要真数x 1 0 忽视此条件导致错误