高中数学第三章导数应用3.1.1导数与函数的单调性学业分层测评含解析北师大版.docx

3.1.1 导数与函数的单调性(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.函数yxxln x的单调递减区间是()A.(，e2)B.(0，e2)C.(e2，)D.(e2，)【解析】因为yxxln x，所以定义域为(0，).令y2ln x0，解得0x0，所以函数f(x)在(4，5)上单调递增.故选C.【答案】C3.若函数f(x)ax3x在R上是减函数，则()A.a0B.a1C.a2，则f(x)2x4的解集为()A.(1，1)B.(1，)C.(，1)D.(，)【解析】构造函数g(x)f(x)(2x4)，则g(1)2(24)0，又f(x)2.g(x)f(x)20，g(x)是R上的增函数.f(x)2x4g(x)0g(x)g(1)，x1.【答案】B5.已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是() A.(，)，)B.，C.(，)(，)D.(， )【解析】f(x)3x22ax10在(，)上恒成立且不恒为0，4a2120a.【答案】B二、填空题6.函数f(x)x2sin x在(0，)上的单调递增区间为_.【解析】令f(x)12cos x0，则cos x，又x(0，)，解得x0，得a21，解得a1.【答案】(，1)(1，)8.若函数yx3bx有三个单调区间，则b的取值范围是_.【解析】若函数yx3bx有三个单调区间，则y4x2b0有两个不相等的实数根，所以b0.【答案】(0，)三、解答题9.(2016吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx3同时满足以下条件：f(x)在(，1)上是增函数，在(1，0)上是减函数；f(x)的导函数是偶函数；f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直.求函数yf(x)的解析式.【解】f(x)3ax22bxc，因为f(x)在(，1)上是增函数，在(1，0)上是减函数，所以f(1)3a2bc0.由f(x)的导函数是偶函数，得b0，又f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f(0)c1，由得a，b0，c1，即f(x)x3x3.10.若函数f(x)x3mx22m25的单调递减区间是(9，0)，求m的值及函数的其他单调区间.【解】因为f(x)3x22mx，所以f(x)0，即3x22mx0.由题意，知3x22mx0，解得x0或x9.故(，9)，(0，)是函数f(x)的单调递增区间.综上所述，m的值为，函数f(x)的单调递增区间是(，9)，(0，).能力提升1.已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图像如图315所示，那么yf(x)，yg(x)的图像可能是()图315【解析】由题图，知函数g(x)为增函数，f(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小.又由f(x0)g(x0)，知选D.【答案】D2.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(b)f(b)g(x)D.f(x)g(x)f(a)g(a)【解析】因为.又因为f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以在R上为减函数.又因为ax，又因为f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x).因此选C.【答案】C3.(2016亳州高二检测)若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为_.【解析】f(x)3x22xm，由于f(x)是R上的单调函数，所以f(x)0或f(x)0恒成立.由于导函数的二次项系数30，所以只能有f(x)0恒成立.法一：由上述讨论可知要使f(x)0恒成立，只需使方程3x22xm0的判别式412m0，故m.经检验，当m时，只有个别点使f(x)0，符合题意.所以实数m的取值范围是m.法二：3x22xm0恒成立，即m3x22x恒成立.设g(x)3x22x3，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m.经检验，当m时，只有个别点使f(x)0，符合题意.所以实数m的取值范围是m.【答案】4.设函数f(x)a2ln xx2ax(a0).(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立.【解】(1)f(x)a2ln xx2ax，其中x0，f(x)2xa，