中考数学 第五单元 函数及其图象 第17课时 二次函数的图象和性质复习课件.ppt

第17课时二次函数的图象和性质 1 2015 兰州 下列函数解析式中 一定为二次函数的是 2 在下列二次函数中 其图象对称轴为x 2的是 a y x 2 2b y 2x2 2c y 2x2 2d y 2 x 2 2 小题热身 c a 3 对于二次函数y 2 x 1 x 3 下列说法正确的是 a 图象的开口向下b 当x 1时 y随x的增大而减小c 当x 1时 y随x的增大而减小d 图象的对称轴是直线x 14 在平面直角坐标系中 将抛物线y x2 4先向右平移2个单位 再向上平移2个单位 得到的抛物线的解析式为 a y x 2 2 2b y x 2 2 2c y x 2 2 2d y x 2 2 2 c b a y1 y2 y3b y1 y3 y2c y2 y1 y3d y3 y1 y2 b 一 必知5知识点1 二次函数的概念定义 一般地 形如 a b c是常数 a 0 的函数叫二次函数 考点管理 智慧锦囊 二次函数y ax2 bx c的结构特征是 等号左边是函数 右边是关于自变量x的二次整式 x的最高次数是2 二次项系数a 0 y ax2 bx c 用描点法画二次函数y ax2 bx c的步骤 1 用配方法化成 的形式 2 确定图象的开口方向 对称轴及顶点坐标 3 在对称轴两侧利用对称性描点画图 y a x m 2 k a 0 智慧锦囊 1 a 的大小决定抛物线的开口大小 a 越大 抛物线的开口越小 a 越小 抛物线的开口越大 2 画抛物线y ax2 bx c的草图 要确定五点 开口方向 对称轴 顶点 与y轴交点 与x轴交点 3 二次函数的性质 4 二次函数与一元二次方程二次函数y ax2 bx c与一元二次方程ax2 bx c 0有着密切的关系 二次函数的图象与x轴的交点的横坐标对应一元二次方程的实数根 抛物线与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程的根的判别式b2 4ac的符号判定 1 有两个交点 2 有一个交点 3 没有交点 b2 4ac 0 方程有两个不相等实数根 b2 4ac 0 方程有两个相等实数根 b2 4ac 0 方程没有实数根 5 二次函数图象的平移将抛物线y ax2 bx c a 0 用配方法化成 的形式 而任意抛物线 均可由y ax2平移得到 具体平移方法如下 y a x m 2 k a 0 y a x m 2 k a 0 二 必会2方法1 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法可求二次函数的解析式 确定二次函数一般需要三个独立条件 根据不同条件选择不同的设法 1 设一般式 若已知条件是图象上的三个点 则设所求二次函数为y ax2 bx c 将已知条件代入 求出a b c的值 2 设顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴或最大值 最小值 设所求二次函数为 将已知条件代入 求出待定系数 最后将解析式化为一般形式 y ax2 bx c a 0 y a x m 2 k y a x m 2 k 3 设两根式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为 x1 0 x2 0 设所求二次函数为y a x x1 x x2 将第三点 m n 的坐标 其中m n为已知数 或其他已知条件代入 求出待定系数a 最后将解析式化为一般形式 2 数形结合思想二次函数的图象与性质是数形结合最好的体现 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象特征与a b c及判别式b2 4ac的符号之间的关系如下 y a x x1 x x2 a 0 特殊值 当x 1 y a b c 当x 1时 y a b c 若a b c 0 即x 1时 y 0 若a b c 0 即x 1时 y 0 三 必明3易错点1 注意二次函数y a x m 2 k的图形平移 一般按照 横坐标加减左右移 纵坐标加减上下移 即 左加右减 上加下减 容易出现移动方向弄反 2 求二次函数与x轴交点坐标的方法是令y 0解关于x的方程 求函数与y轴交点的方法是令x 0得y值 容易出现求与x轴交点坐标时 令x 0 求与y轴交点坐标时 令y 0的错误 3 根据a b c确定函数的大致图象易错点 1 c的大小决定抛物线与y轴的交点位置 c 0时 抛物线过原点 c 0时 抛物线与y轴交于正半轴 c0时 对称轴在y轴左侧 当ab 0时 对称轴在y轴的右侧 类型之一二次函数的图象和性质 2014 滨州 已知二次函数y x2 4x 3 1 用配方法求函数的顶点c的坐标 并描述该函数的函数值随自变量的增减情况 2 求函数图象与x轴的交点a b的坐标 及 abc的面积 解 1 y x2 4x 3 x2 4x 4 1 x 2 2 1 函数的顶点c的坐标为 2 1 当x 2时 y随x的增大而减小 当x 2时 y随x的增大而增大 1 2015 乐山 二次函数y x2 2x 4的最大值为 a 3b 4c 5d 6 解析 y x 1 2 5 a 1 0 当x 1时 y有最大值 最大值为5 c c 3 2015 绍兴 如果抛物线y ax2 bx c过定点m 1 1 则称此抛物线为定点抛物线 1 张老师在投影屏幕上出示了一个题目 请你写出一条定点抛物线的一个解析式 小敏写出了一个答案y 2x2 3x 4 请你写出一个不同于小敏的答案 2 张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题 已知定点抛物线y x2 2bx c 1 求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式 请你解答 解 1 依题意 选择点 1 1 作为抛物线的顶点 二次项系数是1 根据顶点式得y x2 2x 2 2 定点抛物线的顶点坐标为 b c b2 1 且 1 2b c 1 1 c 1 2b 顶点纵坐标c b2 1 2 2b b2 b 1 2 1 当b 1时 c b2 1最小 抛物线顶点纵坐标的值最小 此时c 1 抛物线的解析式为y x2 2x 点悟 1 从函数图象上可知二次函数图象的以下特征 开口方向 对称轴 顶点坐标 与y轴交点坐标 与x轴交点坐标 2 求二次函数的顶点坐标有两种方法 配方法 顶点公式法 类型之二二次函数的平移 2015 成都 将抛物线y x2向左平移2个单位长度 再向下平移3个单位长度 得到的抛物线的函数表达式为 a y x 2 2 3b y x 2 2 3c y x 2 2 3d y x 2 2 3 解析 抛物线y x2平移后的抛物线解析式为y x 2 2 3 a 1 2014 丽水 在同一平面直角坐标系内 将函数y 2x2 4x 3的图象向右平移2个单位 再向下平移1个单位 得到图象的顶点坐标是 a 3 6 b 1 4 c 1 6 d 3 4 解析 函数y 2x2 4x 3的图象向右平移2个单位 再向下平移1个单位得到图象y 2 x 2 2 4 x 2 3 1 即y 2 x 1 2 6 顶点坐标是 1 6 c 2 抛物线y x2 bx c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位 所得图象的解析式为y x2 2x 3 则b c的值为 a b 2 c 2b b 2 c 0c b 2 c 1d b 3 c 2 解析 先配方为y x 1 2 4 逆向思考把y x 1 2 4先左移2个单位 再向上移3个单位得到解析式为y x 1 2 2 4 3 x 1 2 1 化为一般式是y x2 2x 故选择b b 点悟 1 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换 因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标 然后求出平移后的顶点坐标 从而求出平移后二次函数的解析式 2 图象的平移规律 上加下减 左加右减 类型之三二次函数的解析式的求法 2014 宁波 如图17 1 已知二次函数y ax2 bx c的图象过a 2 0 b 0 1 和c 4 5 三点 1 求二次函数的解析式 2 设二次函数的图象与x轴的另一个交点为d 求点d的坐标 3 在同一坐标系中画出直线y x 1 并写出当x在什么范围内时 一次函数的值大于二次函数的值 图17 1 2015 遵义 如图17 2 抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴交于a 4 0 b 2 0 与y轴交于点c 0 2 1 求抛物线的解析式 2 若点d为该抛物线上的一个动点 且在直线ac上方 当以a c d为顶点的三角形面积最大时 求点d的坐标及此时三角形的面积 图17 2 变式跟进答图 点悟 1 当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时 一般采用一般式y ax2 bx c a 0 2 当已知抛物线顶点坐标 或对称轴或最大 最小值 求解析式时 一般采用顶点式y a x m 2 k 3 当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时 一般采用两根式y a x x1 x x2 类型之四二次函数与方程的关系 2015 宁波 已知抛物线y x m 2 x m 其中m是常数 1 求证 不论m为何值 该抛物线与x轴一定有两个公共点 1 2015 苏州 若二次函数y x2 bx的图象的对称轴是经过点 2 0 且平行于y轴的直线 则关于x的方程x2 bx 5的解为 a x1 0 x2 4b x1 1 x2 5c x1 1 x2 5d x1 1 x2 5 d d 3 2015 泸州 若二次函数y ax2 bx c a 0 的图象经过点 2 0 且其对称轴为x 1 则使函数值y 0成立的x的取值范围是 a x 4或x 2b 4 x 2c x 4或x 2d 4 x 2 解析 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象经过点 2 0 且其对称轴为x 1 二次函数的图象与x轴另一个交点为 4 0 a 0 抛物线开口向下 则使函数值y 0成立的x的取值范围是 4 x 2 d 类型之五二次函数的图象特征与a b c之间的关系 2015 遂宁 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图17 3所示 下列结论 2a b 0 abc 0 b2 4ac 0 a b c 0 4a 2b c 0 其中正确的个数是 a 2b 3c 4d 5 图17 3 b 对于 易得a 0 对称轴在y轴的右边 故b 0 抛物线与y轴的交点在原点的下方 则c 0 所以abc 0 故 错误 对于 抛物线与x轴有两个交点 所以b2 4ac 0 故 正确 对于 当x 1时 显然y的值为正 所以y a b c 0 故 错误 对于 当x 2时 显然y的值为负 所以y 4a 2b c 0 故 正确 1 2015 凉山 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图17 4所示 下列说法 2a b 0 当 1 x 3时 y 0 若 x1 y1 x2 y2 在函数图象上 当x1 x2时 y1 y2 9a 3b c 0 其中正确的是 a b c d 图17 4 b 2 2015 珠海 已知抛物线y ax2 bx 3的对称轴是直线x 1 1 求证 2a b 0 2 若关于x的方程ax2 bx 8 0的一个根为4 求方程的另一个根 点悟 二次函数的图象特征主要从开口方向 与x轴有无交点 与y轴交点及对称轴的位置入手 确定a b c及b2 4ac的符号 有时也可把x的值代入求值或根据图象确定y的符号 类型之六二次函数的综合运用 2015 武威 如图17 5 在直角坐标系中 抛物线经过点a 0 4 b 1 0 c 5 0 其对称轴与x轴相交于点m 1 求抛物线的解析式和对称轴 2 在抛物线的对称轴上是否存在一点p 使 pab的周长最小 若存在 请求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 利用两根式法设抛物线的解析式为y a x 1 x 5 代入a 0 4 图17 5 2 点a关于对称轴的对称点a 的坐标为 6 4 连结ba 交对称轴于点p 连结ap 此时 pab的周长最小 可求出直线ba 的解析式 即可得出点p的坐标 2 p点存在 理由如下 点a 0 4 抛物线的对称轴是x 3 点a关于对称轴的对称点a 的坐标为 6 4 例6答图如答图 连结ba 交对称轴于点p 连结ap 此时 pab的周长最小 如图17 6 二次函数y x2 2x m的图象与x轴的一个交点为a 3 0 另一个交点为b 且与y轴交于点c 1 求m的值 2 求点b的坐标 3 该二次函数图象上有一点d x y 其中x 0 y 0 使s abd s abc 求点d的坐标 图17 6 解析 1 将a 3 0 的坐标代入二次函数解析式y x2 2x m 2 令y 0 解一元二次方程 3 由于s abd s abc 则c d关于二次函数对称轴对称 解 1 将a 3 0 的坐标代入二次函数解析式 得 32 2 3 m 0 解得m 3 2 二次函数解析式为y x2 2x 3 令y 0 得 x2 2x 3 0 解得x 3或x 1 点b的坐标为 1 0 3 s abd s abc 点d在第一象限 点c的纵坐标与点d的纵坐标相等 点c d关于二次函数对称轴对称 由二次函数解析式可得其对称轴为x 1 点c的坐标