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椭圆及其标准方程 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆 1 平面上 这是大前提 2 动点M到两个定点F1 F2的距离之和是常数2a 3 常数2a要大于焦距2c 4 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 根据所学知识完成下表 a2 c2 b2 例1平面内有两个定点的距离是8 写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程 练习 1 椭圆上一点P到一个焦点的距离等于3 则它到另一个焦点的距离是 A 5B 7C 8D 10 13 2 已知三角形ABC的一边BC长为6 周长为16 求顶点A的轨迹方程 答 变式1 已知B 3 0 C 3 0 CA BC AB的长组成一个等差数列 求点A的轨迹方程 14 3 将所表示的椭圆绕原点旋转90度 所得轨迹的方程是什么 例2 如图 在圆上任取一点P 过点P作x轴的垂线段PD D为垂足 当点P在圆上运动时 线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么 分析 点P在圆上运动 点P的运动引起点M运动 解 设点M的坐标为 x y 点P的坐标为 x0 y0 则x x0 y y0 2 因为点P x0 y0 在圆上 所以把x0 x y0 2y代入方程 1 得即所以点M的轨迹是一个椭圆 例3 如图 设点A B的坐标分别为 5 0 5 0 直线AM BM相交于点M 且它们的斜率之积是 求点M的轨迹方程 解 设点M的坐标为 x y 因为点A的坐标是 所以直线AM的斜率 同理 直线BM的斜率 由已知有 化简 得点M的轨迹方程为 变式 已知椭圆经过 两点 求椭圆标准方程 例3平面内有两个定点的距离是8 写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程 解 1 判断 和是常数 常数大于两个定点之间的距离 故 点的轨迹是椭圆 2 取过两个定点的直线做x轴 它的线段垂直平分线做y轴 建立直角坐标系 从而保证方程是标准方程 3 根据已知求出a c 再推出a b写出椭圆的标准方程 12 练习 1 椭圆上一点P到一个焦点的距离等于3 则它到另一个焦点的距离是 A 5B 7C 8D 10 13 练习 2 已知三角形ABC的一边BC长为6 周长为16 求顶点A的轨迹方程 答 14 1 椭圆的标准方程有几个 答 两个 焦点分别在x轴 y轴 2 给出椭圆标准方程 怎样判断焦点在哪个轴上答
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