苏科新版九年级上2.5直线与圆的位置关系同步训练含答案解析

第 1 页（共 30 页） 2016 年苏科新版九年级数学上册同步训练： 线与圆的位置关系 一、选择题（共 3 小题） 1如图， 矩形 对角线， O 是 内切圆，现将矩形 如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 F， G 分别在边 ，连结 O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是（ ） A F=4 B 3 C B=2 +4 D 2若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为（ ） A B 2 2 C 2 D 2 3将正方形 点 A 按逆时针方向旋转 30，得正方形 点 E， ，则四边形 内切圆半径为（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题） 4边长为 1 的正三角形的内切圆半径为 5如图， 内 心在 x 轴上，点 B 的坐标是（ 2， 0），点 C 的坐标是（ 0， 2），点 A 的坐标是（3， b），反比例函数 y= （ x 0）的图象经过点 A， 则 k= 第 2 页（共 30 页） 6一般地，如果在一次实验中，结果落在区域 D 中每一个点都是等可能的，用 A 表示 “实验结果落在 中 ”这个事件，那么事件 A 发生的概率 如图，现在等边 射入一个点，则该 点落在 切圆中的概率是 7如图，在边长为 2 的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 三、解答题（共 10 小题） 8如图， O 是 内心， 延长线和 外接圆相交于点 D，连接 边形 平行四边形 （ 1）求证： （ 2）若 ，求阴影部分的面积 第 3 页（共 30 页） 9如图， O 的切线，切点为 A， O 的弦过点 B 作 O 于点 C，连接 点 C 作 点 D连接 延长交 点 M，交过点 C 的直线于点 P，且 （ 1）判断直线 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）若 ， 求 长 10如图， O 的直径， O 的两条切线， E 是 O 上一点， D 是 一点，连接延长交 点 C，且 （ 1）求证： O 相切； （ 2）求证： 11如图， O 直径， D 为 O 上一点， 分 O 于点 T，过 T 作 垂线交 延长线于点 C （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 O 半径为 2， ，求 长 12如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P（ 4， 2）是 O 外一点，连接 线 O 相切于点 B，交 x 轴于点 C （ 1）证明 O 的切线； 第 4 页（共 30 页） （ 2）求点 B 的坐标 13如图， 接于 O， 直径， O 的切线 延长线于点 P， 点E，交 点 F，连接 （ 1）判断 O 的位置关系并说明理由； （ 2）若 O 的半径为 4， ，求 长 14如图， O 的直径， O 的切线， D 为 O 上的一点， B，延长 延长线于点 E （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 弦心距 ， 0，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 15如图， O 的直径， O 切线， 垂直于 弦，垂足为 E，过点 C 作 平行线与 交于点 F， ， 求证： （ 1）四边形 菱形； （ 2） O 的切线 第 5 页（共 30 页） 16如图 1， ， B，点 O 在高 ， 点 D， 点 E，以 O 为圆心，半径作 O （ 1）求证： O 与 切于点 E； （ 2）如图 2，若 O 过点 H，且 ， ，连接 面积和 值 17如图， O 的直径 ， O 的两条切线， ， （ 1）求 长； （ 2）求证： （ 3）求证： O 切线 第 6 页（共 30 页） 2016 年苏科新版九年级数学上册同步训练： 线与圆的位置关系 参考答案与试题解析 一、选择题（共 3 小题） 1如图， 矩形 对角线， O 是 内切圆，现将矩形 如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 点 F， G 分别在边 ，连结 O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是（ ） A F=4 B 3 C B=2 +4 D 【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题） 【专题】压轴题 【分析】设 O 与 切点为 M，连接 延长 点 N，证明 到C=1， M=C 2设 AB=a， BC=b， AC=c， O 的半径为 r， O 是 r= （ a+b c），所以 c=a+b 2在 ，利用勾股定理求得（舍去），从而求出 a， b 的值，所以 B=2 +4再设 DF=x，在 ， ，OF=x， ，由勾股定理可得 ，解得 x=4 ，从而得到， F= 即可解答 【解答】解：如图， 设 O 与 切点为 M，连 接 延长 点 N， 将矩形 如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 G， 第 7 页（共 30 页） 0， 0， 在 ， C=1， M=C 2 D， 设 AB=a， BC=b， AC=c， O 的半径为 r， O 是 内切圆可得 r= （ a+b c）， c=a+b 2 在 ，由勾股定理可得 a2+ a+b 2） 2， 整理得 24a 4b+4=0， 又 即 b=2+a，代入可得 2a（ 2+a） 4a 4（ 2+a） +4=0， 解得 （舍去）， ， B=2 +4 再设 DF=x，在 ， ， OF=x， ， 由勾股定理可得 ， 解得 x=4 ， ， F= 综上只有选项 A 错误， 故选 A 【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心， 切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质 第 8 页（共 30 页） 2若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为（ ） A B 2 2 C 2 D 2 【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心 【分析】由于 直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长 【解答】解： 等腰直角三角形外接圆半径为 2， 此直角三角形的斜边长为 4，两条直角边分别为 2 ， 它的内切圆半径为： R= （ 2 +2 4） =2 2 故选 B 【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径： r= （ a+b c）；（ a、 b 为直角边， c 为斜边）直角三角形的外接圆半径： R= c 3将正方形 点 A 按逆时针方向旋转 30，得正方形 点 E， ，则四边形 内切圆半径为（ ） A B C D 【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质 【专题】压轴题 【分析】作 角平分线交于点 O，则 O 即为该圆的圆心，过 O 作 ，再根据直角三角形的性质便可求出 长，即该四边形内切圆的圆心 【解答】解：作 角平分线交于点 O，过 O 作 则 0， 5， 故 F= 设 x，则 x， 第 9 页（共 30 页） 故（ x） 2+ 2x） 2， 解得 x= 或 x= （舍去）， 四边形 内切圆半径为： 故选： B 【点评】本题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的性质，要熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质，是解答此题的关键 二、填空题（共 4 小题） 4边 长为 1 的正三角形的内切圆半径为 【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的 30的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可 【解答】解： 内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个 30的直角三角形， 则 0， ， = ， 内切圆半径 = 故答案为： 【点评】此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个 30的直角三角形 第 10 页（共 30 页） 5如图， 内心在 x 轴上， 点 B 的坐标是（ 2， 0），点 C 的坐标是（ 0， 2），点 A 的坐标是（3， b），反比例函数 y= （ x 0）的图象经过点 A， 则 k= 15 【考点】三角形的内切圆与内心；反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】计算题 【分析】根据内心的性质得 分 由点 B 的坐标是（ 2， 0），点 C 的坐标是（ 0， 2）得到 等腰直角三角形，则 5，所以 0，利用勾股定理有 据两点间的距离公式得到（ 3 2） 2+2+22=（ 3） 2+（ b+2） 2，解得 b=5，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求 k 的值 【解答】解： 内心在 x 轴上， 分 点 B 的坐标是（ 2， 0），点 C 的坐标是（ 0， 2）， C， 等腰直角三角形， 5， 0， （ 3 2） 2+2+22=（ 3） 2+（ b+2） 2，解得 b=5， A 点坐标为（ 3， 5）， k= 3 5= 15 故答案为 15 第 11 页（共 30 页） 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和两点间的距离公式 6一般地，如果在一次实验中，结果落在区域 D 中每一个点都是等可能的，用 A 表示 “实验结果落在 中 ”这个事件，那么事件 A 发生的概率 如图，现在等 边 射入一个点，则该点落在 切圆中的概率是 【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；几何概率 【专题】几何图形问题 【分析】利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐角三角函数关系得出 长，进而得出 利用圆以及三角形面积公式求出即可 【解答】解：连接 由题意可得： 0，设 x， 则 CD=x，故 = ， S 圆 O=（ ） 2= ， 高为： 2x x， S 2x x= 则该点落在 切圆中的概率是： = 故答案为： 第 12 页（共 30 页） 【点评】此题主要考查了几何概率以及三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质等知识，得出等边三角形与内切圆的关系是解题关键 7如图，在边长为 2 的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 【考点】三角形的内切圆与内心 【专题】压轴题 【分析】连接 及 O 与 切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求得 O 的半径，然后作 O 与小圆的公切线 知 是等边三角形，那 么小圆的圆心也是等边 重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积 【解答】解：如图，连接 设小圆的圆心为 P， P 与 O 的切点为 G；过 G 作两圆的公切线 E，交 F， 则 0 30=60，所以 等边三角形 在 ， 0， 则 D1 = ， ， B ； 由于 P 是等边 内切圆，所以点 P 是 内心，也是重心， 故 ； S o= （ ） 2= ， S P= （ ） 2= ； S 阴影 =S S O 3S P= = 第 13 页（共 30 页） 故答案为： 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，难度适中 三、解答题（共 10 小题） 8如图， O 是 内心， 延长线和 外接圆相交于点 D，连接 边形 平行四边形 （ 1）求证： （ 2）若 ，求阴影部分的面积 【考点】三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算 【专题】计算题 【分析】（ 1）根据内心性质得 1= 2， 3= 4，则 D，于是可判断四边形 菱形，则 C， 4= 5= 6，易得 C， 2= 3，所以 C，可判断点 O 为 外心，则可判断 等边三角形，所以 20， C，再根据平行四边形的性质得 20， C， A=根据 “明 （ 2）作 H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 0，根据垂径定理得到 H= ，再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 H= ， H= ， ，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用 S 阴影部分 =S 扇形 S 行计算即可 【解答】（ 1）证明： O 是 内心， 1= 2， 3= 4， D， 第 14 页（共 30 页） 四边形 平行四边形， 四边形 菱形， 直平分 4= 5= 6， 而 1= 5， C， 2= 3， C， 点 O 为 外心， 等边三角形， 20， C， 四边形 平行四边形， 20， C， A， B， 在 ， （ 2）作 H，如图， 20， B， （ 180 120） =30， H= ， ， ， S 阴影部分 =S 扇形 S 2 = 第 15 页（共 30 页） 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算 9如图， O 的切线，切点为 A， O 的弦过点 B 作 O 于点 C，连接 点 C 作 点 D连接 延长交 点 M，交过点 C 的直线于点 P，且 （ 1）判断直线 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）若 ， 求 长 【考点】切线的判定与性质 【分析】（ 1）过 C 点作直径 接 直径得 E+ 0，由 E， 以 E= 是 0，然后根据切线的判断得到结论； （ 2）根据切线的性质得到 据垂径定理有 M= ，根据等腰三角形性质有 B=9，在 根据勾股定理计算出 ； 设 O 的半径为 r，则 OC=r， M r=6 r，在 ，根据勾股定理计算出 r= ，则r= ， = ，利用中位线性质得 ，然后判断 t 据相似比可计算出 【解答】解：（ 1） 圆 O 相切，理由为： 过 C 点作直径 接 图， 直径， 第 16 页（共 30 页） 0，即 E+ 0， E， E= 0，即 0， 圆 O 相切； （ 2） O 的切线，切点为 A， M= ， B=9， 在 ， =6 ， 设 O 的半径为 r，则 OC=r， M r=6 r， 在 ， 32+（ 6 r） 2=得 r= ， r= ， = ， ， E= = ， 即 = ， 第 17 页（共 30 页） 【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直 于过切点的半径也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质 10如图， O 的直径， O 的两条切线， E 是 O 上一点， D 是 一点，连接延长交 点 C，且 （ 1）求证： O 相切； （ 2）求证： 【考点】切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【分析】（ 1）连接 圆 O 相切，利用切线的性质得到 直，即 0，根据 行，利用两直线平行得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由 E，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由 E， 公共边，利用 出三角形 等，利用全等三角形的对应角相等得到 0，即 直于 可得证； （ 2）连接 圆的切线，利用切线的性质得到一对直角相等，由 E， 公共边，利用 出两直角三角形全等，进而得到 用等量代换及平角定义得到 0，即三角形 直角三角形，由 行， 行，得到三线平行，由 O 为 中的，利用平行线等分线段定理得到 F 为 中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证 【解答】证明：（ 1）连接 圆 O 相切， 0， 第 18 页（共 30 页） E， 在 ， ， 0， 则 圆 O 的切线； （ 2）如图，连接 在 ， ， 180=90， 圆 O 的切线， 又 O 为 中点， F 为 中点， 则 第 19 页（共 30 页） 【点评】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键 11如图， O 直径， D 为 O 上一点， 分 O 于点 T，过 T 作 垂线交 延长线于点 C （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 O 半径为 2， ，求 长 【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理 【专题】压轴题 【分析】（ 1）连接 据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得 O 的切线； （ 2）证明四边形 矩形，求得 长，在直角 ，利用勾股定理即可求解 【解答】（ 1）证明：连接 T， 又 分 又 第 20 页（共 30 页） O 的切线； （ 2）解：过 O 作 E，则 E 为 点， 又 四边形 矩形， ， ， 又 ， 在 ， ， 【点评】本题主要考查了切线 的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题 12如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P（ 4， 2）是 O 外一点，连接 线 O 相切于点 B，交 x 轴于点 C （ 1）证明 O 的切线； （ 2）求点 B 的坐标 【考点】切线的判定与性质；坐标与图形性质 【专题】计算题 第 21 页（共 30 页） 【分析】（ 1）由 ， P 的纵坐标为 2，得到 x 轴平行，即 直，即可得到 圆 （ 2）连接 B 作 直于 切线长定理得到 B=4， 角平分线，进而得到一对角相等，根据 行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到 P，设 OC=x， P x， ，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出 长，在直角三角形 ，利用面积法求出 长，再利用勾股定理求出 长，根据 B 在第四象限，即可求出 B 的坐标 【解答】（ 1）证明： 圆 O 的半径为 2， P（ 4， 2）， 则 圆 O 的切线； （ 2）解：连接 B 作 圆 O 的切线， B=4， P， 在 ，设 C=x，则 B x， ， 根据勾股定理得： +（ 4 x） 2， 解得： x= x= S C= Q，即 C=Q， = 在 ，根据勾股定理得： = 则 B 坐标为（ 第 22 页（共 30 页） 【点评】此题考查了切线的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，三角形的面积求法，平行线的性质，以及切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解本题的关键 13如图， 接于 O， 直径， O 的切线 延长线于点 P， 点E，交 点 F，连接 （ 1）判断 O 的位置关系并说明理由； （ 2）若 O 的半径为 4， ，求 长 【考点】切线的判定与性质 【专题】压轴题 【分析】（ 1） 为圆 O 的切线，理由为：连接 圆 O 的切线，利用切线的性质得到 C，由 行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，分别得到两对角相等，根 据C，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由 A， 公共边，利用 出三角形 三角形 等，由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到 直于 可得证； （ 2）由 直于 直角三角形 ，由 长，利用勾股定理求出 长，而 C，角平分线，利用三线合一得到 E 为 点， 直于 用面积法求出 长，即可确定出 长 【解答】解：（ 1） 圆 O 的切线，理由为： 连接 圆 O 切线， 第 23 页（共 30 页） 0， B， B， B， 在 ， ， 0， 圆 O 的半径， 则 圆 O 的切线； （ 2） C， E 为 点，即 E= 在 ， ， ， 根据勾股定理得： ， S F= E， ， 则 第 24 页（共 30 页） 【点评】此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有： 全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积求法，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键 14如图， O 的直径， O 的切线， D 为 O 上的一点， B，延长 延长线于点 E （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 弦心距 ， 0，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算 【专题】压轴题 【分析】（ 1）首先连接 O 的切 线，可得 0，又由 B， D，易证得 0，即可证得 O 的切线； （ 2）在 ， 0， ，可求得 长， 度数，又由 S 阴影 =S 扇形 S 可求得答案 【解答】（ 1）证明：连接 O 的切线， 0， B， D， 0， 即 点 D 在 O 上， O 的切线； （ 2）解：在 ， 第 25 页（共 30 页） 0， ， 0， ， ， ， 20， S 阴影 =S 扇形 S 2 1= 【点评】此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 15如图， O 的直径， O 切线， 垂直于 弦，垂足为 E，过点 C 作 平行线与 交于点 F， ， 求证： （ 1）四边形 菱形； （ 2） O 的切线 【考点】切线的判定与性质；菱形的判定 【专题】压轴题 【分析】（ 1）首先连接 垂径定理，可求得 长，又由勾股定理，可求得半径 长，然后由勾股定理求得 长，即可得 D，易证得四边形 平行四边形，继而证得四边形 （ 2）首先连接 证得 而可证得 O 的切线 【解答】证明：（ 1）连接 O 的直径， 第 26 页（共 30 页） E= 4 =2 ， 设 OC=x， ， OE=x 2， 在 ， x 2） 2+（ 2 ） 2， 解得： x=4， C=4， ， ， 在 ， =4 ， D， O 切线， 四边形 平行四边形， D， 平行四边形 菱形； （ 2）连接 四边形 菱形， C， O， 即 0， 即 点 C 在 O 上， 第 27 页（共 30 页） O 的切线 【点评】此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 16如图 1， ， B，点 O 在高 ， 点 D， 点 E，以 O 为圆心，半径作 O （ 1）求证： O 与 切于点 E； （ 2）如图 2，若 O 过点 H，且 ， ，连接 面积和 值 【考点】切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 【专题】计算题；压轴题 【分析】（ 1）由 B，且 直于 用三线合一得到 角平分线，再由 直于 E