浙江省丽水市2016年高考数学一模试卷(文)含答案解析

浙江省丽水市 2016 年高考数学一模试卷（文科） （解析版） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知 ， ，则 ） A B C D 2已知条件 p： x 1， q： ，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3设等比数列 前 n 项和为 列结论一定成立的是（ ） A a1+2 a1+2 0 D 0 4命题 “ x R， f（ x） g（ x） 0”的否定是（ ） A x R， f（ x） =0 且 g（ x） =0 B x R， f（ x） =0 或 g（ x） =0 C R， f（ =0 且 g（ =0 D R， f（ =0 或 g（ =0 5已知实数 x， y 满足条件 ，若使 z=ax+y 取到最大值的最优解有无数个，则实数 a=（ ） A 1 B 1 C 1 D 6函数 f（ x） =函数 g（ x）的部分图象如图所示，则函数 g（ x）的解析式可以是（ ） A g（ x） =2x ） B g（ x） =2x+ ） C g（ x） =2x+ ）D g（ x） =2x ） 7已知平面向量 ， ， 满足 | |=| |=1， | |=| |=| |，则 | |的最大值为（ ） A 2 B 2 C D 1 8已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点为 F，右顶点为 A，虚轴的上端点为 B，线段 渐近线交于点 M，若 分 该双曲线的离心率 e=（ ） A 1+ B 1+ C D 二、填空题（本大题共 7 小题， 9 12 小题每题 6 分，其它小题每题 4 分，共 36 分） 9设全集 U=R，集合 P=x|x| 2， Q=x|4x+3 0，则 PQ= ，（ Q= 10已知圆 C： x2+2y 1=0， 直线 l： y=x+m，则 C 的圆心坐标为 ，若 相切，则 m= 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 12已知函数 则 f（ f（ 3） = ； f（ x）的单调递减区间是 13已知正三角形 顶点 B， C 在平面 内，顶点 A 在平面 上的射影为 A，若 A二面角 A A大小的余弦 值的取值范围是 14已知 x， y 为正实数，若 x+2y=1，则 的最小值为 15记 a， b= ，若函数 f（ x） =x2+ax+b 在（ 0， 1）上有两个零点，则f（ 0）， f（ 1） 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 16在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2a b （ ）求角 C 的大小； （ ） 若 ， b a=1，求 面积 17在公差不为零的等差数列 ，其前 n 项和为 知 ，且 等比数列 （ ）求 （ ）记 ，若 对任意正整数 n 恒成立，求正整数 k 的最小值 18如图，在四棱锥 P ，已知 平面 ， ， ， M， N 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的大小 19如图，已知抛物线 C： y，直线 C 相交于 A， B 两点，线段 它的中垂线于点 G（ a， 1）（ a 0） （ ）求证：直线 定点，并求出该定点坐标； （ ）设 别交 x 轴， y 轴于点 M， N，是否存在实数 a，使得 A， M， B， N 四点在同一个圆上，若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 20已知函数 （ a R） （ ）当 a=1 时，解不等式 f（ x） 1； （ ）对任意的 b （ 0， 1），当 x （ 1， 2）时， 恒成立，求 a 的取值范围 2016 年浙江省丽水市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知 ， ，则 ） A B C D 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 用二 倍角公式即可得解 【解答】 解： ， ， = ， （ ） = 故选 ： A 【点评】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 2已知条件 p： x 1， q： ，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案 【解答】 解：由 x 1，推出 1， p 是 q 的充分条件， 由 1，得 0，解得： x 0 或 x 1不是必要条件， 故选： A 【点评】 本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题 3设等比数列 前 n 项和为 列结论一定成立的是（ ） A a1+2 a1+2 0 D 0 【分析】 特值法可排除 项 C，由等比数列的通项公式和二次函数的知识可得 【解答】 解：选项 A，数列 1， 1， 1 为等比数列，但 a1+ 2 2，故 A 错误； 选项 B，数列 1， 1， 1 为等比数列，但 a1+ 2 2，故 B 错误； 选项 D，数列 1， 1， 1 为等比数列，但 0，故 D 错误； 对于选项 C， a1+a2+=a1+=1+q+ 等比数列的项不为 0，故 0，而 1+q+ q+ ） 2+ 0， 故 1+q+ 0，故 C 正确 故选： C 【点评】 本题考查等比数列的性质和通项公式，属基础题 4命题 “ x R， f（ x） g（ x） 0”的否定是（ ） A x R， f（ x） =0 且 g（ x） =0 B x R， f（ x） =0 或 g（ x） =0 C R， f（ =0 且 g（ =0 D R， f（ =0 或 g（ =0 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 “ x R， f（ x） g（ x） 0”的否定是： R， f（ =0 或 g（ =0 故选： D 【 点评】 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题 5已知实数 x， y 满足条件 ，若使 z=ax+y 取到最大值的最优解有无数个，则实数 a=（ ） A 1 B 1 C 1 D 【分析】 不等式组表示的平面区域， z=ax+y 的几何意义是直线 y= ax+z 的纵截距，利用z=ax+y 取得最大值时的最优解（ x， y）有无数个，可得 y= ax+z 与直线 y+x+1=0 平行，故可求 a 的值 【 解答】 解：不等式组 表示的平面区域如图， z=ax+y 的几何意义是直线 y=ax+z 的纵截距， z=ax+y 取得最大值时的最优解（ x， y）有无数个， y= ax+z 与直线 y+x 4=0 或 x y+1=0 平行 a= 1 故选： C 【点评】 本题考查线性规划知识，考查最优解，考查数形结合的数学思想 6函数 f（ x） =函数 g（ x）的部分图象如图所示，则函数 g（ x）的解析式可以是（ ） A g（ x） =2x ） B g（ x） =2x+ ） C g（ x） =2x+ ）D g（ x） =2x ） 【分析】 由图象可得 g（ x）的图象经过点（ ， ），逐个选项验证可得 【解答】 解：代值计算可得 f（ ） = ， 由图象可得 g（ x）的图象经过点（ ， ）， 代入验证可得选项 A， g（ ） = ，故错误； 选项 B， g（ ） = ，故错误； 选项 D， g（ ） = ，故错误； 选项 C， g（ ） = ，故正确 故选： C 【点评】 本题考查三角函数图象和解析式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题 7已知平面向量 ， ， 满足 | |=| |=1， | |=| |=| |，则 | |的最大值为（ ） A 2 B 2 C D 1 【分析】 作向量 = ， = ， = ，设向量 ， 的夹角为 ，由三角形的全等可得直平分 AB=t， t=2 即有 | |= 2+ ），再由正弦函数的值域，即可得到所求最大值 【解答】 解：作向量 = ， = ， = ， 设向量 ， 的夹角为 ， 由题意可得 B， B= 可得 即有 直平分 设 AB=t， t=2 等边三角形 高 t= 则 | |= 2+ ）， 当 + = ，即 = 时，取得最大值，且为 2 故选： B 【点评】 本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量的加减运算和三角函数的化简和求值 ，以及正弦函数的值域，属于中档题 8已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点为 F，右顶点为 A，虚轴的上端点为 B，线段 渐近线交于点 M，若 分 该双曲线的离心率 e=（ ） A 1+ B 1+ C D 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，求得 方程，解得 M 的坐标，即为中点，运用等腰三角形的性质，可得 F，再由两点的距离公式和离心率公式，解方程可得所求值 【解答】 解：双曲线 C： =1 的渐近线方程为 y= x， 由 A（ a， 0）， B（ 0， b），可得直线 方程为 bx+ay= 联立渐近线方程 y= x，解得 M（ ， ）， 即有 M 为 中点， 由 分 得三角形 等腰三角形， 即有 F，即 a+c= ， 又 a2+b2=得 由 e= ，可得 2e 2=0， 解得 e=1+ 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，等腰三角形的性质，以及方程的思想，考查运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共 7 小题， 9 12 小题每题 6 分，其它小题每题 4 分，共 36 分） 9设全集 U=R，集合 P=x|x| 2， Q=x|4x+3 0，则 PQ= （ 2， 3） ，（ Q= （ 1， 2 【分析】 先化简集合 P、 Q，再求 PQ 和 Q 【解答】 解： 全集 U=R， 集合 P=x|x| 2=x|x 2 或 x 2=（ ， 2） （ 2， +）， Q=x|4x+3 0=x|1 x 3=（ 1， 3）， PQ=（ 2， 3）， 又 2， 2， （ Q=（ 1， 2 故答案为：（ 2， 3）；（ 1， 2 【点评】 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目 10已知圆 C： x2+2y 1=0，直线 l： y=x+m，则 C 的圆心坐标为 （ 0， 1） ，若 相切，则 m= 1 或 3 【分析】 求出圆 C 的圆心坐标 C（ 0， 1）， 半径 r= ，由圆 C： x2+2y 1=0，直线 l：y=x+m 相切，得圆心 C（ 0， 1）到直线 l： y=x+m 的距离 d=r，由此能求出 m 的值 【解答】 解： 圆 C： x2+2y 1=0， 圆 C 的圆心坐标 C（ 0， 1），半径 r= = ， 圆 C： x2+2y 1=0，直线 l： y=x+m， l 与 C 相切， 圆心 C（ 0， 1）到直线 l： y=x+m 的距离 d= = =r= ， 解得 m= 1 或 m=3 故答案为：（ 0， 1）； 1 或 3 【点评】 本题考查圆心坐标和实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质及直线与圆相切的性质的合理运用 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 38+ 【分析】 由三视图可知：该几何体是由了部分组成，上面是一个半球，下面是一个长方体 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由了部分组成，上面是一个半球，下面是一个长方体 该几何体的体积 = +4 3 1= ； 其表面积 =2 （ 3 1+3 4+1 4） 12+ =38+ 故答案为： ； 38+ 【点评】 本题考查了三视图的有关计算、长方体的体积与球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12已知函数 则 f（ f（ 3） = 5 ； f（ x）的单调递减区间是 1， +） 【分析】 求出 f（ 3）的值，从而求出 f（ 1）的值，根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递减区间即可 【解答】 解： f（ 3） = = 1， f（ f（ 3） ） =f（ 1） = 1+2+4=5， x 1 时， f（ x） = 2x+4=（ x+1） 2+5， 对称轴 x= 1， f（ x）在 1， 1递减， x 1 时， f（ x）递减， f（ x）在 1， +）递减， 故答案为： 5； 1， +） 【点评】 本题考查了求函数值问题，考查函数的单调性问题，是一道基础题 13已知正三角形 顶点 B， C 在平面 内，顶点 A 在平面 上的射影为 A，若 A二面角 A A大小的余弦值的取值范围是 （ ， 1 【分析】 设 中点是 D，作出二面角的平面角，根据 A锐角三角形，得到 45，建立不等式关系即可得到结论 【解答】 解：设 中点是 D，连接 AD，则 二面角 A A的平面角，设为 ， 设正三角形的边长为 2，则 ， ， AD= A等腰三角形， AB=AC， 要使 A锐角三角形，则 45， 则 = = 1， 即 = ， 1， 1， 故答案为：（ ， 1 【点评】 本题主要考查二面角的应用，根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角，根据锐角三角形的定义找出对应的等价条件是解决本题的关键 14已知 x， y 为正实数，若 x+2y=1，则 的最小值为 2 +2 【分析】 化简 = + + =2 + +2，从而利用基本不等式求解即可 【解答】 解： = + + = + + =2 + +2 2 +2， （当且仅当 2 = ，即 x= ， y= 时，等号成立）； 故答案为： 2 +2 【点评】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意 “一正二定三相等 ”即可 15记 a， b= ，若函数 f（ x） =x2+ax+b 在（ 0， 1）上有两个零点，则f（ 0）， f（ 1） 的取值范围是 （ 0， ） 【分析】 由题意可得 ，从而作出平面区域，而 f（ 0）， f（ 1） = ，从而分类讨论求取值范围即可 【解答】 解： 函数 f（ x） =x2+ax+b 在（ 0， 1）上有两个零点， ， 由题意作平面区域如下， ， f（ 0） =b， f（ 1） =1+a+b， f（ 0）， f（ 1） = ， 结合图象可知， D（ 1， ）， 当 1 a 0 时， 0 b ， 当 2 a 1 时， 0 1+a+b ， 综上所述， f（ 0）， f（ 1） 的取值范围是（ 0， ）； 故答案为：（ 0， ） 【点评】 本题考查了线性规划 的变形应用及数形结合、分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点与函数的图象的关系应用 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 16在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2a b （ ）求角 C 的大小； （ ）若 ， b a=1，求 面积 【分析】 （ ）由题意和余弦定理可得 a2+c2=由余弦定理可得 得角 C； （ ）由已知数据和余弦定理可解得 值，代入三角形的面积公式可得 【解答】 解：（ ）在 ，由 2a b 和余弦定理可得 ， a2+c2= ， 又 C （ 0， ）， ； （ ） ， ， 由余弦定理可得 a2+， 又 b a=1， a2+a 2=0， a=1 或 a= 2（舍 去）， a=1， b=2， ， 面积 S= 【点评】 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题 17在公差不为零的等差数列 ，其前 n 项和为 知 ，且 等比数列 （ ）求 （ ）记 ，若 对任意正整数 n 恒成立，求正整数 k 的最小值 【分析】 （ ）设 公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的中项的性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求； （ ）求得 = = （ ），运用裂项相消求和可得 用参数分离和数列的单调性，可得最小值，即可得到正整数 k 的最小值 【解答】 解：（ ）设 公差为 d， 由 ，且 等比数列， 可得 则 ， ， n 1， （ 1+2n 1） n， 可得 ； （ ） = = （ ）， ， ， 恒成立， ， ，则 递减数列， ， 【点评】 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数和数列的单调性，求得最值，属于中档题 18如图，在四棱锥 P ，已知 平面 ， ， ， M， N 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的大小 【分析】 （ I）取 中点 E，连结 证面 平面 平面 而 平面 出 过计算得出 M= ，故而 是平面 （ 结 证 平面 是 是 平面 成的角，利用M 即可得出线面角的度数 【解答】 证明：（ I）取 中点 E，连结 M， N， E 分别是 中点， 则 平面 平面 平面 面 D=A， 面 面 面 取 点 F，连结 四边形 矩形 ， D= ， ， =2， =1 = ， 又 （ C） = ， = ， = C，又 N 是 点 又 面 面 D=C， 面 （ 结 =2， C， M 是 点， 又 面 面 又 面 面 B=A， 面 是 平面 成的角 由（ 1）知 C， 5 所以 平面 成的角为 45 【点评】 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题 19如图，已知抛物线 C： y，直线 C 相交于 A， B 两点，线段 它的中垂线于点 G（ a， 1）（ a 0） （ ）求证：直线 定点，并求出该定点坐标； （ ）设 别交 x 轴， y 轴于点 M， N，是否存在实数 a，使得 A， M， B， N 四点在同一个圆上，若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （ ）设 A（ B（ 代入