2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题 1复数 的虚部是（ ） A i B i C 1 D 1 2已知集合 U=1， 2， 3， 4， B=1， 2， 3，且 AB=1， 2，则满足条件的 A 的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3下面的程序框图能判断任意输入的数 x 的奇偶性其中判断框内的条件是（ ） A m=0 B m=1 C x=0 D x=1 4 函数 f（ x） =2x+）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ） A 2， B 2， C 4， D 4， 5经过抛物线 y= 焦点和双曲线 =1 的右焦点的直线方程为（ ） A x+48y 3=0 B x+80y 5=0 C x+3y 3=0 D x+5y 5=0 6设 a=b=c=（ ） A a c b B b c a C c b a D c a b 第 2 页（共 20 页） 7 O 是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足， 0， +），则 P 的轨迹 一定通过 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 8如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面 边长为 2 的正方形， P 是 中点，现有一只蚂蚁位于外壁 A 处，内壁 P 处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（ ） A B +1 C D 9已知 ， ，且 递增数列，则实数的取值范围是（ ） A（ 2， +） B 2， +） C（ 3， +） D 3， +） 10椭圆 C： + =1 的左，右顶点分别为 P 在 C 上，且直线 率的取值范围是 2， 1，那么直线 率的取值范围是（ ） A ， B ， C ， 1 D ， 1 11如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A B C D 12设正实数 x， y， z 满足 3z=0，则当 取得最小值时， x+2y z 的最大值为（ ） A 0 B C 2 D 二、填空题 第 3 页（共 20 页） 13过平 面区域 内一点 P 作圆 O： x2+ 的两条切线，切点分别为 A， B，记 ，当 最小时，此时点 P 坐标为 14已知过点 M（ 3， 3）的直线 l 被圆 x2+y 21=0 所截得的弦长为 8，则直线 l 的方程为 15定义在 2， 2上的偶函数 f（ x）在 2， 0上为增，若满足 f（ 1 m） f（ m），则m 的取值范围是 16设函数 y=f（ x）的图象与 y=2x+a 的图象关于 y= x+1 对称，且 f（ 3） +f（ 7） =1，则 a 的值为 三 17在 ， B= ， ，求 C 的最大值并判断取得最大值时 形状 18在公差为 d 的等差数列 ，已知 0，且 2， 5等比数列 （ ）求 d， （ ）若 d 0，求 |+| 19如图，在斜三棱柱 ， C=5， C=13，且 2 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 A C 的正切值的大小 20已知点 A（ 2， 0），椭圆 E： （ a b 0）的离心率为 ， F 是椭圆 E 的上焦点，直线 斜率为 ， O 为坐标原点 （ 1）求 E 的方程； （ 2）设过点 A 的 动直线 l 与 E 相交于点 P， Q 两点，当 面积最大时，求 l 的方程 21已知函数 f（ x） = 2a 1） x a+1， （ 1）若 ，求 f（ x）的单调区间； （ 2）若 x 1， +）时恒有 f（ x） 0，求 a 的取值范围 四 下三题任选一题 22已知函数 f（ x） = x ） x ） x ） + （ 0 ）为偶函数 第 4 页（共 20 页） （ I）求函数的最小正周期及单调减区间； （ 函数的图象向右平移 个单位（纵坐标不变），得到函数 g（ x）的图象，求函数 g（ x）的对称中心 23已知 p： |1 | 2； q： 2x+1 0； 若 p 是 q 的充分非必要条件，求实数 m 的取值范围 24在直角坐标系 ，已知点 A（ 1， 1）， B（ 2， 3）， C（ 3， 2），点 P（ x， y）在 边围成的区域（含边界）上 （ ）若 + + = ，求 | |； （ ）设 =m +n （ m， n R），用 x， y 表示 m n，并求 m n 的最大值 第 5 页（共 20 页） 2016 年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1复数 的虚部是（ ） A i B i C 1 D 1 【考点】 复数的基本概念 【分析】 根据复数的基本运算化简复数即可 【解答】 解： = ， 则复数 的虚部是 1， 故选： C 2已知集合 U=1， 2， 3， 4， B=1， 2， 3，且 AB=1， 2，则满足条件的 A 的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据全集 U， B，以及 A 与 B 的交集，确定出满足条件的 A，即可做出判断 【解答】 解： U=1， 2， 3， 4， B=1， 2， 3，且 AB=1， 2， 满足条件的 A 可能为 1， 2， 1， 2， 4共 2 个， 故选： B 3下面的程序框图能判断 任意输入的数 x 的奇偶性其中判断框内的条件是（ ） A m=0 B m=1 C x=0 D x=1 【考点】 选择结构 第 6 页（共 20 页） 【分析】 本题考查了选择结构，由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以 2 的余数是 1 还是 0，从而得到判断框条件 【解答】 解：由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以 2的余数是 1 还是 0 由图可知应该填 m=1 故选 B 4函数 f（ x） =2x+）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ） A 2， B 2， C 4， D 4， 【考点】 y=x+）中参数的物理意义 【分析】 利用函数的周期求解 ，然后利用五点法作图求解 即可 【解答】 解：由函数的图象可知 T= =， = =2 x= 时， y=2， 可得： 22 +） =2， 由五点法作图可知 = 故选： A 5经过抛物线 y= 焦点和双曲线 =1 的右焦点的直线方程为（ ） A x+48y 3=0 B x+80y 5=0 C x+3y 3=0 D x+5y 5=0 【考点】 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 【分析】 求出抛物线 y= 焦点坐标、双曲线 =1 的右焦点，即可求出直线方程 【解答】 解：抛物线 y= 焦点坐标为（ 0， 1）， 双曲线 =1 的右焦点的坐标为（ 5， 0）， 第 7 页（共 20 页） 所求直线方程为 即 x+5y 5=0 故选： D 6设 a=b=c=（ ） A a c b B b c a C c b a D c a b 【考点】 对数值大小的比较 【 分析】 判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可 【解答】 解：由题意可知： a=（ 0， 1）， b=（ 0， 1）， c=1， 所以 a=b=， 所以 c a b， 故选： D 7 O 是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足， 0， +），则 P 的轨迹一定通过 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂 心 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 先根据 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，确定 +的方向与 角平分线一致，再由 可得到 =（ + ），可得答案 【解答】 解： 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量 + 的方向与 角平分线一致 又 ， =（ + ） 向量 的方向与 角平分线一致 一定通过 内心 故选 B 8如图，有 一圆柱形无盖水杯，其轴截面 边长为 2 的正方形， P 是 中点，现有一只蚂蚁位于外壁 A 处，内壁 P 处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（ ） 第 8 页（共 20 页） A B +1 C D 【考点】 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【分析】 画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出 Q 的最小值就是 长，求解即可 【解答】 解：侧面展开后得矩形 中 ， 问题转化为在 找一点 Q 使 Q 最短作 P 关于 对称点 E，连接 令 于点 Q，则得 Q 的最小值就是 故选： D 9已知 ， ，且 递增数列，则实数的取值范围是（ ） A（ 2， +） B 2， +） C（ 3， +） D 3， +） 【考点】 数列与函数的综合 【分析】 由于 递增数列，可得 n N*， （ n+1） 2+（ n+1） n，解出利用数列的单调性即可得出 【解答】 解： 递增数列， n N*， （ n+1） 2+（ n+1） n， （ 2n+1）， 3 故选： C 10椭圆 C： + =1 的左，右顶点分别为 P 在 C 上，且直线 率的取值范围是 2， 1，那么直线 率的取值范围是（ ） 第 9 页（共 20 页） A ， B ， C ， 1 D ， 1 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由椭圆 C： + =1 可知其左顶点 2， 0），右顶点 2， 0）设 P（ x0， 2），代入椭圆方程可得 = ，利用斜率计算公式可得 ，再利用已知给出的直线 率的取值范围是 2， 1，即可解出 【解答】 解：由椭圆 C： + =1 可知其左顶点 2， 0），右顶点 2， 0） 设 P（ 2），则得 = = ， =， = = = 直线 率的取值范围是 2， 1， 直线 率的取值范围是 ， 故选： A 11如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体为棱长是 2 的正方体，截去两个相同的三棱锥，再截去一个三棱柱（底面直角三角形的直角边为 2 和 2，高为 2）而得到，画出它的直观图，即可求其体积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 第 10 页（共 20 页） 该几何体为棱长是 2 的正方体，截去两个相同的三棱锥（底面直角三角形的直角边为 2 和 2，高为 1）； ，再截去一个三棱柱（底面直角三角形的直角边为 2 和 2，高为 2）而得到，其直观图如图所 示， 该多面体的体积为： 2 2 2 2 2 （ 2 ） = 故选： B 12设正实数 x， y， z 满足 3z=0，则当 取得最小值时， x+2y z 的最大值为（ ） A 0 B C 2 D 【考点】 基本不等式 【分析】 将 z=3入 ，利用基本不等式化简即可求得 x+2y z 的最大值 【解答】 解： 3z=0， z=3 x， y， z 为正实数， = + 3 2 3=1（当且仅当 x=2y 时取 “=”）， 即 x=2y（ y 0）， x+2y z=2y+2y（ 3 =4y 2 2（ y 1） 2+2 2 x+2y z 的最大值为 2 故选： C 二、填空题 13过平面区域 内一点 P 作圆 O： x2+ 的两条切线，切点分别为 A， B，记 ，当 最小时，此时点 P 坐标为 （ 4， 2） 【考点】 简单线性规划；直线与圆的位置关系 第 11 页（共 20 页） 【分析】 先依据不等式组 ，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定 最小时点 P 的位置即可 【解答】 解：如图阴影部分表示 ，确定的平面区域， 当 P 离圆 O 最远时， 最小， 此时点 P 坐标为：（ 4， 2）， 故答案为：（ 4， 2） 14已知过点 M（ 3， 3）的直线 l 被圆 x2+y 21=0 所截得的弦长为 8，则直线 l 的方程为 4x+3y+21=0 或 x= 3 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆 x2+y 21=0 的圆心、半径，当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x= 3，成立；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l： y=k（ x+3） 3，求出圆心（ 0， 2）到直线 y=k（ x+3） 3 的距离，由过点 M（ 3， 3）的直线 l 被圆 x2+y 21=0 所截得的弦长为 8，利用勾股定理能 求出直线 l 的方程 【解答】 解：圆 x2+y 21=0 的圆心为（ 0， 2），半径 r= =5， 当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x= 3， 联立 ，得 或 ， 直线 l： x= 3 被圆 x2+y 21=0 所截得的弦长为 8，成立； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l： y=k（ x+3） 3， 圆心（ 0， 2）到直线 y=k（ x+3） 3 的距离 d= = ， 过点 M（ 3， 3）的直线 l 被圆 x2+y 21=0 所截得的弦长为 8， 第 12 页（共 20 页） 由勾股定理得： ， 即 25= +16，解得 k= ， 直线 l： ，整理，得： 4x+3y+21=0 综上直线 l 的方程为： 4x+3y+21=0 或 x= 3 故答案为： 4x+3y+21=0 或 x= 3 15定义在 2， 2上的偶函数 f（ x）在 2， 0上为增，若满足 f（ 1 m） f（ m），则m 的取值范围是 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据偶函数的性质等价转化所求的不等式，利用函数的单调性和定义域，列出关于m 的不等式组，再求出 m 的取值范围 【解答】 解：因为 f（ x）是定义 在 2， 2上的偶函数， 所以不等式 f（ 1 m） f（ m）等价于： f（ |1 m|） f（ |m|）， 因为 f（ x）在 2， 0上为增函数， 所以 ，解得 1 m ， 即 m 的取值范围是 ， 故答案为： 16设函数 y=f（ x）的图象与 y=2x+a 的图象关于 y= x+1 对称，且 f（ 3） +f（ 7） =1，则 a 的值为 2 【考点】 函数与方程的综合运用 【分析】 先求出函数 y=f（ x）的解析式，再由 f（ 3） +f（ 7） =1，问题得以解决 【解答】 解：设函数 y=f（ x）的任意点的坐标为（ x， y），关于 y= x+1 对称点的坐标（ m，n），则（ m， n）在 y=2x+a 的图象上， ， 解得 m=1 y， n=1 x， 代入 y=2x+a 可得： 1 x=21 y+a， 即： y=1 x） a 1，函数 y=f（ x） =1 x） a 1， f（ 3） +f（ 7） =1， a 1+a 1=1， 解得， a=2， 第 13 页（共 20 页） 故答案为： 2 三 17在 ， B= ， ，求 C 的最大值并判断取得最大值时 形状 【考点】 正弦定理 【分析】 根据正弦定理可得 而利用三角函数恒等变换的应用可求C= ，利用正弦函数的图象和性质即可得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： B= ， ， 在 ，根据 = = ，得 同理 C=2 =2 C） = ， 当 C= ，可得 C 的最大值为 ， 取最大值时，因而 等边三角形 18在公差为 d 的等差数列 ，已知 0，且 2， 5等比数列 （ ）求 d， （ ）若 d 0，求 |+| 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质 【分析】 （ ）直接由已知条件 0，且 2， 5等比数列列式求出公差，则通项公式 求； （ ）利用（ ）中的结论，得到等差数列 前 11 项大于等于 0，后面的项小于 0，所以分类讨论求 d 0 时 |+|和 【解答】 解：（ ）由题意得 ，即 ，整理得 3d 4=0解得 d= 1 或 d=4 当 d= 1 时， an= n 1） d=10（ n 1） = n+11 当 d=4 时， an= n 1） d=10+4（ n 1） =4n+6 所以 n+11 或 n+6； （ ）设数列 前 n 项和为 为 d 0，由（ ）得 d= 1， n+11 则当 n 11 时， 第 14 页（共 20 页） 当 n 12 时， |+| 综上所述， |+| 19如图，在斜三棱柱 ， C=5， C=13，且 2 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 A C 的正切值的大小 【考点】 二面角的 平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 而 平面 此能证明平面 平面 （ 2）以 B 为原点， x 轴，在平面 过 B 作 垂线为 y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A C 的正切值 【解答】 证明：（ 1）在 ， 又 面 的两条相交直线， 平面 . 又 平面 平面 平面 解：（ 2）在 ， ， 又 面 的两条相交直线， 面 以 B 为原点， x 轴，在平面 过 B 作 垂线为 y 轴， z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 B（ 0， 0， 0）， A（ 12， 0， 0）， C（ 12， 5， 0）， 0， 0， 5）， 由 ，得 12， 0， 5）， 取平面 一个法向量 =（ 0， 1， 0）， 设平面 一个法向量 ， 由 ，得 取 x=5，则 第 15 页（共 20 页） = = ， 设 A C 的大小为 ， 则 ， 二面角 A C 的正切值的大小为 20已知点 A（ 2， 0），椭圆 E： （ a b 0）的离心率为 ， F 是椭圆 E 的上焦点，直线 斜率为 ， O 为坐标原点 （ 1）求 E 的方程； （ 2）设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于点 P， Q 两点，当 面积最大时，求 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的离心率公式和直线的斜率公式，以及 a， b， c 的关系，解方程可得椭圆方程； （ 2）设 l 的方程为 x=，设 P（ Q（ 联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，判别式大于 0，运用三角形的面积 公式，由基本不等式可得最大值，即可得到 m，进而得到直线方程 【解答】 解：（ 1）由 e= ，可得： ，即 ， 设 F（ 0， c），则 ， ， 又 b2=， ， ， E 的方程是 ； （ 2）设 l 的方程为 x=， 设 P（ Q（ 第 16 页（共 20 页） 由 得（ 4） 62=0， y1+ ， ， =（ 16m） 2 4 12 （ 4） =16（ 43） 0， = ， 令 ，则 ， 而 当且仅当 t=2， 即 时等号成立，此时 S 1 当 面积最大时，求 l 的方程为 ， 即 21已知函数 f（ x） = 2a 1） x a+1， （ 1）若 ，求 f（ x）的单调区间； （ 2）若 x 1， +）时恒有 f（ x） 0，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，令 g（ x） = x 1），求出 g（ x）的导数，可得单调区间和最值，进而得到 f（ x）的单调区间； （ 2）求出导数，对 a 讨论，当 时，当 a 时，当 0 a 时，结合函数的单调性，即可得到所求 a 的范围 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） = 2a 1） x a+1 的导数为 f（ x） =2a（ x 1）， 当 时， f（ x） = x 1）， 令 g（ x） = x 1），则 x （ 0， 1）时 g（ x） 0； x （ 1， +）时 g（ x） 0 g（ x） g（ 1） =0，即 f（ x） 0（只在 x=1 处取等号） f（ x）的单减区间是（ 0， +）； （ 2） f（ x） =2a（ x 1）， 令 f（ x） =0，则 a（ x 1）且函数 x=1 处的切线为 y=x 1， 由（ 1）知， 时， f（ x）在 1， +）上单减且 f（ 1） =0， f（ x） 0，合题意； 第 17 页（共 20 页） 当 a 时，数形结合知， f（ x）在 1， +）上仍单减且 f（ 1） =0， f（ x） 0， 合题意； 当 0 a 时，数形结合知， 1，使得 f（ =0 即 x （ 1， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， 单增， f（ x） f（ 1） =0，不合题意； 当 a 0 时，数形结合知， x （ 1， +）时， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， +）上单增， f（ x） f（ 1） =0，不合题意 综上，若 x 1， +）时恒有 f（ x） 0， 则 a 的取值范围是 四 下三题任选一题 22已知函数 f（ x） = x ） x ） x ） + （ 0 ）为偶函数 （ I）求函数的最小正周期及单调减区间； （ 函数的图象向右平移 个单位（纵坐标不变），得到函数 g（ x）的图象，求函数 g（ x）的对称中心 【考点】 两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦 ；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性 【分析】 （ I）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式，即可求出最小正周期以及单调区间； （ 题意根据平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的对称中心即可 【解答】 解：（ I）函数 f（ x） = x ） x ） x ） + = 2x 2） （ 21） = 2x 2） 2x 2） =2x 2 ） 函数 f（ x） 为偶函数，则 2 =k z 0 = f（ x） =2x ） = 函数的最小正周期 T= = 令 2x +2 +2kk Z 解得： +x + 函数 f（ x）的单调递减区间为 + +kk Z （ （