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学习资料收集于网络，仅供参考 土木工程专业有限元第一次作业姓 名：班 级：学 号：指导教师：二 一 五年 6月12日题目：八节点三维规则六面体单元，已给定8个节点的坐标。试查资料并论述： 1、单元中位移函数u（x，y，z），v（x，y，z），w（x，y，z）和单元节点位移e 的关系式；2、 B 矩阵的计算步骤和计算式；3、单元刚度矩阵 k e 的一般计算方法和计算步骤；4、论述相邻单元间公共边界上位移的连续性；5、如果已经求解得到单元8个节点的位移值e 怎样求单元中某一点A（x，y，z）的应力？学习资料解：1、取六面体单元的4个角点为节点，以其对称轴为轴。任一节点有三个方向的位移，此单元有8个节点，故总共有24个自由度。如图1所示，其中原点O取在长方体的几何中心，8个节点的编号为数学18，则此单元的位移列阵为：38674521XZYO图1该单元有8个节点，因此每个方向的位移场可以设定8个待定系数，根据确定位移模式的基本原则（从低阶到高阶、唯一确定性），选取该单元的位移模式为： （1-1）将8个节点的坐标值代入上式，可列出8个节点位移分量的值为： （1-2）由式（1-2）的8个方程中可解出，将它们代入式（1-1），得：将上式写成矩阵形式，为 （1-3）其中，为三阶单元矩阵，而为形状函数矩阵，由于位移采用同样的插值形式，故有： （1-4a）上式中，各形状函数有： （1-4b） 将式（1-4b）依次代入式（1-3），即得位移函数，与单元节点位移的关系式，其中， 2、根据空间问题的几何方程，单元应变可用节点位移表示如下： （2-1）其中： （2-2）即要求出矩阵中的元素，。代入（1-4b）中的表达式，可求出相应的。如的矩阵表达式为： （2-3a）同理，可求出任意的表达式，最终可求出应变矩阵。3、根据虚功原理，在任意给出的节点虚位移下，单元节点力（外力）及内力所做的虚功之和应等于零，即： （3-1）单元节点虚位移以矩阵形式表达为：，则单元内各点将产生相应的虚位移与虚应变，它们都是坐标的函数，由下式可得： ， （3-2）单元节点力：，则单元节点力的虚功为： （3-3）而内力虚功为： （3-4）其中： （3-5）由此可得: 将单元节点力虚功与内力虚功代入，得：则有： （3-6）其中： （3-7）即为所求的单元刚度矩阵。应力矩阵为已知，且在三维应力状态下，弹性系数矩阵的一般形式为： （3-8）将按节点分块可表示为： （3-9）其中子矩阵的计算公式为： （3-10）4、证明：由单元的位移表达式（1-3）可知，该单元的位移在方向均呈线性变化，为线性位移模式。而因为在单元的边界上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共节点上有相同的节点位移值，这样即可保证两个相邻单元在其公共边界面上的位移是相同的，即相邻单元公共边界面位移是连续的。5、根据空间问题的本构方程，单元应变可用节点位移表示如下： （
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