高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算课件 理 北师大版.ppt

8 6空间向量及其运算 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 空间向量的有关概念 知识梳理 0 1 相等 相同 相反 相等 平行或重合 平面 2 空间向量中的有关定理 1 共线向量定理空间两个向量a与b b 0 共线的充要条件是存在实数 使得a b 2 空间向量基本定理如果向量e1 e2 e3是空间三个不共面的向量 a是空间任一向量 那么存在唯一一组实数 1 2 3 使得a 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫作这个空间的一个基底 e1 2e2 3e3 3 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 两向量的夹角已知两个非零向量a b 在空间任取一点o 作 a b 则 aob叫作向量a b的夹角 记作 其范围是 若 a b 则称a与b 记作a b 两向量的数量积已知空间两个非零向量a b 则叫作向量a b的数量积 记作 即a b a b 0 a b 互相垂直 a b cos a b a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 a b r 交换律 a b 分配律 a b c 4 空间向量的坐标表示及其应用设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b b a a b a c a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 几何画板展示 几何画板展示 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 在向量的数量积运算中 a b c a b c 3 对于非零向量b 由a b b c 则a c 4 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 1 已知正四面体abcd的棱长为a 点e f分别是bc ad的中点 则的值为 考点自测 答案 解析 则 a b c a 且a b c三向量两两夹角为60 2 2016 大连模拟 向量a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 下列结论正确的是a a b a cb a b a cc a c a bd 以上都不对 答案 解析 因为c 4 6 2 2 2 3 1 2a 所以a c 又a b 2 2 3 0 1 4 0 所以a b 故选c 3 与向量 3 4 5 共线的单位向量是 答案 解析 因为与向量a共线的单位向量是 又因为向量 3 4 5 的模为 所以与向量 3 4 5 共线的单位向量是 3 4 5 3 4 5 答案 解析 5 教材改编 正四面体abcd的棱长为2 e f分别为bc ad中点 则ef的长为 答案 解析 12 22 12 2 1 2 cos120 0 2 1 cos120 2 题型分类深度剖析 题型一空间向量的线性运算 例1 1 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 o为ac的中点 答案 解析 解答 思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 在立体几何中三角形法则 平行四边形法则仍然成立 2016 青岛模拟 如图所示 在空间几何体abcd a1b1c1d1中 各面为平行四边形 设 a b c m n p分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示以下各向量 解答 因为p是c1d1的中点 解答 因为m是aa1的中点 题型二共线定理 共面定理的应用 例2 2016 天津模拟 如图 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 证明 连接bg 由共面向量定理的推论知e f g h四点共面 2 求证 bd 平面efgh 证明 所以eh bd 又eh 平面efgh bd平面efgh 所以bd 平面efgh 证明 找一点o 并连接om oa ob oc od oe og 所以四边形efgh是平行四边形 所以eg fh交于一点m且被m平分 思维升华 1 证明空间三点p a b共线的方法 2 证明空间四点p m a b共面的方法 跟踪训练2已知a b c三点不共线 对平面abc外的任一点o 若点m满足 1 判断三个向量是否共面 解答 2 判断点m是否在平面abc内 解答 m a b c四点共面 从而点m在平面abc内 题型三空间向量数量积的应用 例3 2016 济南模拟 如图 已知平行六面体abcd a1b1c1d1中 底面abcd是边长为1的正方形 aa1 2 a1ab a1ad 120 1 求线段ac1的长 解答 则 a b 1 c 2 a b 0 c a c b 2 1 cos120 1 2 求异面直线ac1与a1d所成角的余弦值 解答 设异面直线ac1与a1d所成的角为 3 求证 aa1 bd 证明 思维升华 1 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系 也可以利用垂直关系 通过向量共线确定点在线段上的位置 2 利用夹角公式 可以求异面直线所成的角 也可以求二面角 3 可以通过 a 将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解 跟踪训练3如图 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 以顶点a为端点的三条棱长度都为1 且两两夹角为60 1 求的长 解答 则 a b c 1 a b b c c a 60 解答 b2 a2 a c b c 1 典例如图 已知直三棱柱abc a1b1c1 在底面 abc中 ca cb 1 bca 90 棱aa1 2 m n分别是a1b1 a1a的中点 坐标法在立体几何中的应用 思想与方法系列18 利用向量解决立体几何问题时 首先要将几何问题转化成向量问题 通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解 返回 1 解如图 建立空间直角坐标系 依题意得b 0 1 0 n 1 0 1 2 解依题意得a1 1 0 2 b 0 1 0 c 0 0 0 b1 0 1 2 3 证明依题意得c1 0 0 2 返回 课时作业 1 在下列命题中 若向量a b共线 则向量a b所在的直线平行 若向量a b所在的直线为异面直线 则向量a b一定不共面 若三个向量a b c两两共面 则向量a b c共面 已知空间的三个向量a b c 则对于空间的任意一个向量p总存在实数x y z使得p xa yb zc 其中正确命题的个数是a 0b 1c 2d 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 a与b共线 a b所在的直线也可能重合 故 不正确 根据自由向量的意义知 空间任意两向量a b都共面 故 不正确 三个向量a b c中任意两个一定共面 但它们三个却不一定共面 故 不正确 只有当a b c不共面时 空间任意一向量p才能表示为p xa yb zc 故 不正确 综上可知四个命题中正确的个数为0 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2016 郑州模拟 已知a 2 1 3 b 1 2 3 c 7 6 若a b c三向量共面 则 等于a 9b 9c 3d 3 答案 解析 由题意知c xa yb 即 7 6 x 2 1 3 y 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 已知a 2 1 3 b 1 2 1 若a a b 则实数 的值为 答案 解析 由题意知a a b 0 即a2 a b 0 所以14 7 0 解得 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 如图 在大小为45 的二面角a ef d中 四边形abfe cdef都是边长为1的正方形 则b d两点间的距离是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 已知a b是异面直线 a b a c d b ac b bd b且ab 2 cd 1 则异面直线a b所成的角等于a 30 b 45 c 60 d 90 答案 解析 所以异面直线a b所成的角等于60 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则a a 0 0 c1 0 a a n a a 设m x y z x a y z x a y a z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 所以 cbd为锐角 同理 bcd bdc均为锐角 锐角 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 设o abc是四面体 g1是 abc的重心 g是og1上的一点 且og 3gg1 若 则x y z的值分别为 答案 如图所示 取bc的中点e 连接ae 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 2016 合肥模拟 已知a x 4 1 b 2 y 1 c 3 2 z a b b c 则c 答案 解析 3 2 2 解得x 2 y 4 此时a 2 4 1 b 2 4 1 又因为b c 所以b c 0 即 6 8 z 0 解得z 2 于是c 3 2 2 其中正确的序号是 10 2016 天津模拟 已知abcd a1b1c1d1为正方体 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 如图 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 点m p q分别为棱ab cd bc的中点 若平行六面体的各棱长均相等 则 a1m d1p a1m b1q a1m 平面dcc1d1 a1m 平面d1pqb1 以上正确说法的个数为 答案 解析 3 a1m d1p 由线面平行的判定定理可知 a1m 平面dcc1d1 a1m 平面d1pqb1 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 如图所示 已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1 点e f g分别是ab ad cd的中点 计算 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则 a b c 1 a b b c c a 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 3 eg的长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 4 异面直线ag与ce所成角的余弦值 13 2016 沈阳模拟 如图 在直三棱柱abc a b c 中 ac bc aa acb 90 d e分别为ab bb 的中点 1 求证 ce a d 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1