高三一轮复习导学案21-第04章-第02节——同角三角函数的基本关系及诱导公式-三角函数的图象与性质

4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.2.下列各角的终边与角的终边的关系角2k(kZ)图示与角终边的关系角图示与角终边的关系3.六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限难点正本疑点清源1.同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的.例如：sin ，cos ，sin2cos21.(2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定.(3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法.2.三角函数诱导公式f (kZ)的本质三角函数诱导公式f (kZ)的本质是：奇变偶不变，符号看象限.对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为k (kZ)的正弦或余弦函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析k (kZ)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号.诱导公式的应用是：求任意角的三角函数值，其一般步骤：负角变正角，再写成2k，00，则cos _.2.若tan 2，则的值为_.3. tan(1 560)_.4.(2010全国)已知是第二象限的角，tan ，则cos _.5.sin cos tan的值是()A. B. C. D.题型一同角三角函数的基本关系式的应用例1已知是三角形的内角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出来，并求其值.探究提高(1)对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为(sin cos )212sin cos ；(2)关于sin ，cos 的齐次式，往往化为关于tan 的式子. (1)已知tan 2，求sin2sin cos 2cos2；(2)已知sin 2sin ，tan 3tan ，求cos .题型二三角函数的诱导公式的应用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值.探究提高熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题成败的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧. (1)化简：；(2)已知f(x)，求f的值.题型三三角函数式的化简与证明例3求证：sin (1tan )cos .探究提高证明三角恒等式离不开三角函数的变换.在变换过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化.要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明简便. 证明下列恒等式：(1)；(2)tan . 10.分类讨论思想和整体、化归思想在三角函数式化简中的应用试题：(1)(10分)化简：sincos (nZ)；(2)(10分)化简： (nZ).审题视角(1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论.(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看.规范解答解(1)当n为偶数时，设n2k (kZ)，则 1分原式sincossincossincossincossinsin0.4分当n为奇数时，设n2k1 (kZ)时， 5分原式sincossincossincossincossincossincossinsin0. 9分故sincos0. 10分(2)当n2k (kZ)时， 1分原式1；4分当n2k1 (kZ)时， 5分原式1.9分综上，原式1.10分批阅笔记(1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用了分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想.(2)在转化过程中，考生缺乏整体意识，是出错的主要原因.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式.1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用的方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.3.证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法：由较繁的一边向简单一边化简；(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子；(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.失误与防范1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.cos(2 013)的值为 ()A. B.1 C. D.02.已知f()， 则f的值为 ()A. B. C. D.3.当0x时，函数f(x)的最小值是 ()A. B. C.2 D.4二、填空题4.已知cos，则sin_.5.已知sin，则cos的值为_.6._.三、解答题7.已知sin(3)，求的值.B组专项能力提升题组一、选择题1.若sin，则cos等于()A. B. C. D.2.已知，则的值是()A. B. C.2 D.23.若cos 2sin ，则tan 等于()A. B.2 C. D.2二、填空题4.已知sin cos ，且0，tan .方法二sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且00，cos 0，sin cos ，由，得，tan .(2)，tan ，.变式训练1解(1)sin2sin cos 2cos2.(2)sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2，由得：9cos24cos2，得：sin29cos24，cos2sin21，cos2，即cos .例2解(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)tansin()sin tansin sin cos .变式训练2解(1)原式1.(2)f(x)cos xtan xsin x，fsinsin sinsin .例3证明左边sin cos sin cos 右边.变式训练3证明(1)左边右边.原式得证.(2)左边tan 右边.原式得证.课时规范训练A组1.B2.A3.D4.5.6.17.解sin(3)sin ，sin ，原式18.B组1.A2.A3.B4.5. 6.07.解(1)f()cos .(2)cos，sin ，sin ，又是第三象限角，cos .f()cos .(3)1 860360560，cos cos(1 860)cos(60)cos 60.f().4.3三角函数的图象与性质1.“五点法”作图原理在确定正弦函数ysin x在0,2上的图象形状时，起关键作用的五个点是_、_、_、_、_.余弦函数呢？2.三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域图象值域R对称性对称轴：_；对称中心：_对称轴：_；对称中心：_对称中心：_周期单调性单调增区间_；单调减区间_单调增区间_；单调减区间_单调增区间_奇偶性3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期).函数yAsin(x)或yAcos(x)(0且为常数)的周期T，函数yAtan(x)(0)的周期T.难点正本疑点清源1.关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是1,1，因此对于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x，ycos x的上确界，1叫做ysin x，ycos x的下确界.在解含有正、余弦函数的问题时，要注意深入挖掘正、余弦函数的有界性.2.对函数周期性概念的理解(1)周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(xT)f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(xT)f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.(2)从周期函数的定义，对于条件等式“f(xT)f(x)”可以理解为自变量增加一个常数T后，函数值不变；从图象的角度看就是，每相隔距离T图象重复出现.因此对于f(xT)f(x) (0)，常数T不能说是函数f(x)的周期.因为f(x)f，即自变量由x增加到x，也就是才是函数的周期.1.函数ytan的定义域为_.2.函数f(x)sin，xR的最小正周期为_.3.设点P是函数f(x)sin x (0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是_.4.y23cos的最大值为_，此时x_.5.下列区间是函数y2|cos x|的单调递减区间的是()A.(0，)B.C. D.题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1求下列函数的定义域：(1)ylgsin(cos x)；(2)y.探究提高(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可.(2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式).(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴. (1)求函数y的定义域；(2)求函数y的定义域.题型二三角函数的单调性与周期性例2写出下列函数的单调区间及周期：(1)ysin；(2)y|tan x|.探究提高(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x) (其中A0，0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：把“x (0)”视为一个“整体”；A0 (A0)时，所列不等式的方向与ysin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反).(2)对于yAtan(x) (A、为常数)，其周期T，单调区间利用x，解出x的取值范围，即为其单调区间.对于复合函数yf(v)，v(x)，其单调性判定方法是：若yf(v)和v(x)同为增(减)函数时，yf(x)为增函数；若yf(v)和v(x)一增一减时，yf(x)为减函数.(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定. (1)求函数ysincos的周期、单调区间及最大、最小值；(2)(2011北京)已知函数f(x)4cos xsin1.求f(x)的最小正周期；求f(x)在区间上的最大值和最小值.题型三三角函数的对称性与奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函数yf(x) 的图象关于直线x0对称，则的值为_.(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为() A. B. C. D. 探究提高若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值.若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.如果求f(x)的对称轴，只需令xk (kZ)，求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk (kZ)即可.(1)已知函数f(x)sin xacos x的图象的一条对称轴是x，则函数g(x)asin xcos x的最大值是 ()A. B. C. D.(2)若函数f(x)asin xbcos x (00，a0或a0，则，解得；7分若a0或a0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同：(1)ysin；(2)ysin.3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，则y(t2)211，解法错误.4.3三角函数的图象与性质(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.函数f(x)sin图象的对称轴方程可以为()A.x B.xC.x D.x2.ysin的图象的一个对称中心是()A.(，0) B.C. D.3.函数y3cos(x)2的图象关于直线x对称，则的可能取值是()A. B.C. D.二、填空题4.函数ylg(sin x)的定义域为_.5.(2010福建)已知函数f(x)3sin(x)(0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同.若x0，则f(x)的取值范围是_.6.关于函数f(x)4sin (xR)，有下列命题：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍；yf(x)的表达式可改写为y4cos；yf(x)的图象关于点对称；yf(x)的图象关于直线x对称.其中正确命题的序号是_.三、解答题7.设函数f(x)sin (0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间.8.(1)求函数y2sin (x0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B. C.2 D.33.函数f(x)cos 2xsin是()A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数二、填空题4.设定义在区间(0，)上的函数y6cos x的图象与y5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数ysin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_.5.函数f(x)2sin x(0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么_.6.给出下列命题：函数ycos是奇函数；存在实数，使得sin cos ；若、是第一象限角且，则tan 0)的图象与直线ym相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求m的值；(2)若点A(x0，y0)是yf(x)图象的对称中心，且x0，求点A的坐标.8.已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间.答案要点梳理1.(0,0)(，0)(2，0)2.定义域：RRx|xk，kZ值域：1,11,1对称性：xk(kZ)(k，0)(kZ)xk(kZ)(k，0) (kZ) (kZ)周期：22单调性：2k，2k(kZ)2k，2k (kZ)2k，2k (kZ)2k，2k(kZ)(k，k)(kZ)奇偶性：奇函数偶函数奇函数基础自测1.2.43.4.52k，kZ5.D题型分类深度剖析例1解(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)0.1cos x1，0cos x1.利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1，OM只能在x轴的正半轴上，其定义域为x|2kx2k，kZ.(2)要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象.在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示.在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，