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能量守恒与断裂判据 在现代断裂力学建立以前 机械零构件是根据传统的强度理论进行设计的 不论在机械零构件的哪一部分 设计应力的水平一般都不大于材料的屈服应力 即这里是设计应力 是安全系数 其值大于1 是屈服应力 在等截面物体受到单向拉伸时 即为单向拉伸的屈服强度 传统强度理论 经典断裂理论 断裂力学的一大特点是 假定物体已经带有裂纹 现代断裂力学能对此带裂纹物体的裂纹端点区进行应力应变分析 从而得到表征裂端区应力应变场强度的参量 本章介绍的是在现代断裂力学发展以前 科学家根据能量守恒定律而建立的断裂判据 相对于现代断裂力学 这可称为经典的断裂理论 2 1Griffith能量释放观点 Griffith是本世纪二十年代英国著名的科学家 他在断裂物理方面有相当大的贡献 其中最大的贡献要算提出了能量释放 energyrelease 的观点 以及根据这个观点而建立的断裂判据 本节要介绍根据Griffith观点而发展起来的弹性能释放理论 此理论在现代断裂力学中仍占有相当重要的地位 Griffith裂纹 图 2 1 的Griffith裂纹问题 即无限大平板带有穿透板厚的中心裂纹 且受到无穷远处的单向均匀拉伸的裂纹问题 以及图 2 2 的矩形平板带有单边裂纹 singleedgecrack 的问题 设两平板的厚度均为B Griffith裂纹长度为2a 单边裂纹的长度为a Griffith能量释放观点 现在只考虑Griffith裂纹右端点 在拉伸应力的作用下 此裂纹端点向正前方扩展 根据Griffith能量释放观点 在裂纹扩展的过程中 能量在裂端区释放出来 此释放出来的能量将用来形成新的裂纹面积 能量释放率 定义裂纹尖端的能量释放率 energyreleaserate 如下 能量释放率是指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时 平板每单位厚度所释放出来的能量 为了纪念Griffith的功绩 用其姓的第一个字母G来代表能量释放率 由定义可知 G具有能量的概念 其国际制单位 SI单位制 一般用 百万牛顿 米 MN m 表面自由能 材料本身是具有抵抗裂纹扩展的能力的 因此只有当拉伸应力足够大时 裂纹才有可能扩展 此抵抗裂纹扩展的能力可以用表面自由能 surfacefreeenergy 来度量 一般用 s表示 表面自由能定义为 材料每形成单位裂纹面积所需的能量 其量纲与能量释放率相同 著名的Griffith断裂判据 若只考虑脆性断裂 而裂端区的塑性变形可以忽略不计 则在准静态的情形下 裂纹扩展时 裂端区所释放出来的能量全部用来形成新的裂纹面积 换句话说 根据能量守恒定律 裂纹发生扩展的必要条件是裂端区要释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量 设每个裂端裂纹扩展量为 a 则由能量守恒定律有 这就是著名的Griffith断裂判据 关于Griffith断裂判据 Griffith假定 s为一材料常数 剩下的问题就是如何计算带裂纹物体裂端的能量释放率G 若此G值大于或等于2 s 就会发生断裂 若小于2 s 则不发生断裂 此时G值仅代表裂纹是否会发生扩展的一种倾向能力 裂端并没有真的释放出能量 能量是对一切宏观微观物质运动的描述 相应于不同形式的运动 能量分为机械能 分子内能 电能 化学能 原子能 内能等 带裂纹的弹性体的变形能 考虑带有裂纹的弹性体 在拉伸载荷作用下 若裂纹仍然维持静止 则此弹性体所储存的总应变能U要比在没裂纹时所储存的总应变能U0大 两者之差用U1表示 可以说U1是因裂纹存在而附加的应变能 为什么 单边裂纹的能量释放率 假想裂纹发生了准静态扩展 裂端所释放的能量是由总应变能的一部分转化过来的 因此 比较裂纹扩展前后的总应变能就可以得到能量释放率 则根据能量守恒定律和能量释放率的定义 可得 单边裂纹 中心裂纹的能量释放率 由于对称关系 中心裂纹系统所释放的能量将均等地分配到两个裂端 使每个端的裂纹扩展量为 a 因此 裂纹两端具有相同的能量释放率 其表达式将为单边裂纹能量释放率表达式的一半 对称中心裂纹 能量释放率的另一表达形式 由于没有裂纹时的总应变能U0与裂纹长度无关 U U0 U1 所以 单边裂纹对称中心裂纹 Griffith裂纹的弹性力学理论分析 Griffith利用Inglis的无限大平板带有椭圆孔的弹性解析解 得到了因裂纹存在而附加的应变能U1 其表达式为 这里 是无穷远处的均匀拉伸应力 E是弹性模量 上式仅适用于很薄的平板 平面应力状态 若是厚板 其内部是平面应变状态时 E应为所取代 这里 是泊松比 如何得到 Griffith断裂判据 可得Griffith裂纹的能量释放率为 由Griffith断裂判据得 临界断裂曲线 在刚发生断裂时 2a为一常数 若值小于上式等号右边的常数值 则此时应力水平和裂纹长度 不足以产生断裂 若 2a值大于右边的常数值 则在此时的应力水平和裂纹长度下 将会发生断裂 上述关系 此曲线划分了断裂区和安全区 由图还可知道 若已知当前Griffith裂纹的长度 将可计算出发生断裂的临界应力 或者 若已知当前的应力水平 将可知会发生断裂的临界裂纹长度 课外作业 用有机玻璃板制成50 150毫米的矩形板 在板正中央钻一小孔 然后用线锯和刀片制成Griffith裂纹 要求裂纹长度不得大于15毫米 试检验断裂判据 思考并回答 1 试用断裂力学观点 讨论为何玻璃纤维的强度比同种材料的玻璃板高许多倍 2 若图中 矩形板两端不是施加拉伸应力 而是施加一定的位移 问此时下式将有何变化 2 2能量平衡理论 在Griffith弹性能释放理论的基础上 Irwin和Orowan从热力学的观点重新考虑了断裂问题 提出了能量平衡理论 按照热力学的能量守恒定律 在单位时间内 外界对于系统所做功的改变量 应等于系统储存应变能的改变量 加上动能的改变量 再加上不可恢复消耗能的改变量 能量平衡理论 假设W为外界对系统所做的功 U为系统储存的应变能 T为动能 D为不可恢复的消耗能 则Irwin Orowan能量平衡理论可用公式表达如下 假定裂纹处于准静态 例如裂纹是静止的或是以稳定速度扩展 则动能不变化 即dT dt 0 若所有不可恢复的消耗能都是用来制造裂纹新面积 则 At为裂纹总面积 p为表面能 表面能与表面自由能 若没有塑性变形 p将等于Griffith的表面自由能 s 若有塑性变形 显然要形成新裂纹面积需要更多的能量 因此 p s 据估计 塑性很好的材料 例如低碳钢 与脆性材料 例如玻璃 相比 p大约比 s大两个数量级到三个数量级 断裂判据 此为包括塑性变形的带裂纹物体断裂判据 可以考虑塑性的断裂判据 两个断裂判据的等价性 对于发生脆性断裂的材料 在断裂发生前 裂端区塑性变形所消耗的能量通常是可以忽略不计的 此时 表面能即为表面自由能 则成为脆性断裂的判据 由于Irwin Orowan断裂判据和Griffith断裂判据都是根据能量守恒定律建立起来的 因而两者应该是同一个判据 关于两个判据的等价性可以从两个角度来理解 两个断裂判据的等价性 第一角度 Irwin判据 对于脆弹性 所以等价于 单边裂纹双边裂纹 两个断裂判据的等价性 另一角度 dW代表外界对系统做功的变化量 dU代表系统弹性能的变化量 所以d W U 为在裂纹尖端释放而使裂纹扩展的能量 因此d W U dAt就是Griffith能量释放率 关于失稳扩展与止裂 在脆性断裂的情况下 若能量释放率G已大于表面自由能2 s 此时裂纹扩展是否可能继续进行下去 直到整体破坏 或是裂纹扩展一个阶段后 会自动止裂 换句话说 如何判断裂纹是否已发生失稳扩展 答案 所释放能量与形成裂纹面积所需能量的差额 是随裂纹增长而越来越大 还是随着裂纹增长反而越来越小 以致最后差额接近于零 如果是前者 则以发生了失稳扩展 如果是后者 则最终会止裂 失稳扩展与止裂判据 失稳扩展裂纹止裂失稳扩展裂纹止裂失稳扩展裂纹止裂 因为 s为常量 双悬臂梁试件 如图所示的双悬臂梁试件 受到一对拉力P的作用 试求断裂发生时的临界拉力 若发生断裂 是否为失稳扩展 双悬臂梁试件断裂问题的求解 设B为试件厚度 H为试件半高度 a为加载线到裂端的距离 l 2为力作用点沿力方向的位移 试件可简化为悬臂梁问题 上下每个梁的长度即为裂纹的长度a 由材料力学计算梁的挠度公式 可知力作用点的位移为 式中 E为弹性模量 是惯性矩 双悬臂梁试件断裂问题的求解 当裂纹长度由a增加到a da时 系统刚度会随之降低 因此 位移l也会增至l dl 此时P l关系如图所示 这里OA和OB分别为裂长为a和a da的P l关系线 由前式知 P与l成正比 在恒拉力P的作用下 释放的能量d W U 即为图中三角形OAB的面积 阴影部分 说明 U1 Pl 2 U2 P l dl 2 所以释放能量为 dU U2 U1 Pdl 2 dW 2 就是图中阴影部分面积 双悬臂梁试件断裂问题的求解 在恒拉力的作用下 对挠度公式进行微分得 代入上式得能量释放率G 双悬臂梁试件断裂问题的求解 利用Griffith判据 可得在某裂纹长度a时的临界拉力为 由于 因此可以知道在恒拉力作用下断裂发生后的裂纹扩展为失稳扩展 问题 1 在双悬臂梁试件断裂问题中 若施以拉力超过上面的临界拉力Pcr后 立即把此时的载荷线位移固定住 即裂纹扩展中 l维持定值 问裂纹扩展是否会停止 并绘制P l图 2 Griffith裂纹 即带有中心裂纹的无线大平板受到均布拉伸应力作用 的断裂是否为失稳扩展 2 3内聚应力理论 断裂的结果是造成新的裂纹面积 从原子间距的观点来看 就是把平行且相邻的晶体平面间的原子分离 作为物理模型 可视为把有相互作用力而结合在一起的两平面分离开 设 为平面间的内聚应力 为应变 0 0 这里 为瞬时平面间的距离 这部分内容已属于微观力学范畴 内聚应力变化曲线 当 由零渐渐增加时 起初 基本上与 成正比而增加 快接近最高内聚应力时 开始偏离线性关系 过了最高点 c以后 开始下降而 仍然继续增加 如图所示 这种关系是定性的 并未得到实验的支持 其中最大内聚应力 c称为内聚强度 内聚应力实际是原子间引力的概念 内聚应力分布 根据以上模型 在裂纹端点 内聚应力刚好是内聚强度 垂直于裂纹表面的内聚应力分布如图所示 这里x方向为裂纹扩展方向 当外载荷引起的应力在裂端前大于内聚强度时就发生断裂 内聚强度的估算 设 曲线可近似用正弦函数表示 当 0 平衡时 或 2 平面间不再有作用力 裂纹已形成 时 内聚应力 为零 当 为小量时 关系近似为线性 因此弹性模量为 于是内聚强度为 内聚强度的估算 当 2时 内聚应力为零 从物理上来说 当 2 1时 即当原子平面间距比平衡时大一倍以上时 原子平面间不再有相互作用而形成了自由的裂纹面 同时也不再恢复原状 此时 理论估计的内聚强度为 对钢材来说 杨氏模量约为2 05 105MN m2 因此理论内聚强度约为6 5 104MN m2 这个强度比目前最强的超高强度钢的抗拉强度大20倍以上 比一般低碳钢抗拉强度大100倍以上 理论内聚强度与表面自由能的关系 若裂纹延长 a 则对抗内聚应力使平面间距增加d 所做的功为 B a d 当平面间距由平衡时的 0增加到形成裂纹的间距时 则裂纹延长 a外力所做的总功 W为 因为所以 理论内聚强度与表面自由能 在临界点 注意到于是 对钢材来讲 上式估计的表面自由能大约和实验实测值同一数量级 因为塑性能占支配地位 但对于脆性材料 此理论值比实测值偏高不少 像玻璃这样的脆性材料 断裂前的塑性变形微乎其微 释放的能量只用来形成新裂纹面和贡献给扩展时的动能 用在塑性变形部分微乎其微 这是玻璃表面能偏低的主要原因之一 实测值一般远小于理论值 另一方面象玻璃这样的混合物 存在不少大大小小的缺陷 容易促使断裂的发生 尤其缺陷就在宏观裂纹尖端的正前方时更易断裂 较大试样含有较大缺陷的可能性较高 因此测量的表面自由能往往比小试样低些 加上缺陷的大小和分布是有随机性的 测量的值就显现不出表面能为一材料常数 金属材料很难测定表面能 对于金属材料来说 问题复杂得多 金属材料往往有不可忽略的塑性变形 因此释放的能量一部分用于塑性变形 一部分形成新的裂纹面积 而这两部分能量的分配又很不容易测出来 所以对于这种金属材料 在开裂临界点能量释放率换算得到的实际上是 包括塑性变形的表面能 而不是没有塑性变形的 此外 较厚较大的试样比较不容易塑性变形 较薄较小的试样比较容易塑性变形 加上金属材料原先具有的缺陷 例如气泡 微空穴 夹杂物 熔渣以及加工造成的缺陷等