高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理.ppt

1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 四种命题及相互关系 知识梳理 若q 则p 若綈p 则綈q 若綈q 则綈p 2 四种命题的真假关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 2 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性没有关系 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的条件 同时q是p的条件 2 如果p q 但q p 则p是q的条件 3 如果p q 且q p 则p是q的条件 4 如果q p 且p q 则p是q的条件 5 如果p q 且q p 则p是q的既不充分也不必要条件 相同 充分 必要 充分不必要 充要 必要不充分 从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合a的形式出现 q以集合b的形式出现 即a x p x b x q x 则关于充分条件 必要条件又可以叙述为 1 若a b 则p是q的充分条件 2 若a b 则p是q的必要条件 3 若a b 则p是q的充要条件 4 若a b 则p是q的充分不必要条件 5 若a b 则p是q的必要不充分条件 6 若ab且a肟b 则p是q的既不充分也不必要条件 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 x2 2x 3 0 是命题 2 命题 若p 则q 的否命题是 若p 则綈q 3 若一个命题是真命题 则其逆否命题也是真命题 4 当q是p的必要条件时 p是q的充分条件 5 当p是q的充要条件时 也可说成q成立当且仅当p成立 6 若p是q的充分不必要条件 则綈p是綈q的必要不充分条件 1 下列命题中为真命题的是a 命题 若x y 则x y 的逆命题b 命题 若x 1 则x2 1 的否命题c 命题 若x 1 则x2 x 2 0 的否命题d 命题 若x2 0 则x 1 的逆否命题 考点自测 答案 解析 对于a 其逆命题是若x y 则x y 是真命题 这是因为x y y 必有x y 2 教材改编 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是a 若xy 则x2 y2d 若x y 则x2 y2 答案 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系 得命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 若x y 则x2 y2 3 教材改编 x 1 x 2 0 是 x 1 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 由 x 1 x 2 0可得x 1或x 2 1 1 2 x 1 x 2 0 是 x 1 的必要不充分条件 4 2016 北京 设a b是向量 则 a b 是 a b a b 的a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 若 a b 成立 则以a b为邻边构成的四边形为菱形 a b a b表示该菱形的对角线 而菱形的对角线不一定相等 所以 a b a b 不一定成立 反之 若 a b a b 成立 则以a b为邻边构成的四边形为矩形 而矩形的邻边不一定相等 所以 a b 不一定成立 所以 a b 是 a b a b 的既不充分也不必要条件 5 在下列三个结论中 正确的是 写出所有正确结论的序号 若a是b的必要不充分条件 则綈b也是綈a的必要不充分条件 x 1 是 x2 1 的充分不必要条件 易知 正确 对于 若x 1 则x2 1 充分性不成立 故 错误 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一命题及其关系 例1 2016 宿州模拟 下列命题 若a21 则ax2 2ax a 3 0的解集为r 的逆否命题 若x x 0 为有理数 则x为无理数 的逆否命题 其中正确的命题是a b c d 答案 解析 对于 否命题为 若a2 b2 则a b 为假命题 对于 逆命题为 面积相等的三角形是全等三角形 是假命题 对于 当a 1时 12a 0 原命题正确 从而其逆否命题正确 故 正确 对于 原命题正确 从而其逆否命题正确 故 正确 故选a 思维升华 1 写一个命题的其他三种命题时 需注意 对于不是 若p 则q 形式的命题 需先改写 若命题有大前提 写其他三种命题时需保留大前提 2 判断一个命题为真命题 要给出推理证明 判断一个命题是假命题 只需举出反例 3 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进行时 可转化为判断其等价命题的真假 跟踪训练1 1 命题 若x 0 则x2 0 的否命题是a 若x 0 则x2 0b 若x2 0 则x 0c 若x 0 则x2 0d 若x2 0 则x 0 答案 2 某食品的广告词为 幸福的人们都拥有 这句话的等价命题是a 不拥有的人们会幸福b 幸福的人们不都拥有c 拥有的人们不幸福d 不拥有的人们不幸福 答案 题型二充分必要条件的判定 例2 1 2015 四川 设a b都是不等于1的正数 则 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 3a 3b 3 a b 1 此时loga33b 3 故 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的充分不必要条件 2 已知条件p x 1或xx2 则綈p是綈q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 由5x 6 x2 得2 x 3 即q 2 x 3 所以q p p q 所以綈p 綈q 綈q 綈p 所以綈p是綈q的充分不必要条件 故选a 思维升华 充分条件 必要条件的三种判定方法 1 定义法 根据p q q p进行判断 适用于定义 定理判断性问题 2 集合法 根据p q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 适用于条件和结论带有否定性词语的命题 跟踪训练2 1 2016 四川 设p 实数x y满足x 1且y 1 q 实数x y满足x y 2 则p是q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 当x 1 y 1时 x y 2一定成立 即p q 当x y 2时 可以x 1 y 4 即q p 故p是q的充分不必要条件 2 已知p x y 2 q x y不都是 1 则p是q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 等价法 因为p x y 2 q x 1或y 1 所以綈p x y 2 綈q x 1且y 1 因为綈q 綈p但綈p 綈q 所以綈q是綈p的充分不必要条件 即p是q的充分不必要条件 故选a 题型三充分必要条件的应用 例3已知p x x2 8x 20 0 非空集合s x 1 m x 1 m 若x p是x s的必要条件 求m的取值范围 解答 由x2 8x 20 0 得 2 x 10 p x 2 x 10 由x p是x s的必要条件 知s p 当0 m 3时 x p是x s的必要条件 即所求m的取值范围是 0 3 引申探究1 本例条件不变 问是否存在实数m 使x p是x s的充要条件 解答 若x p是x s的充要条件 则p s 即不存在实数m 使x p是x s的充要条件 2 本例条件不变 若x 綈p是x 綈s的必要不充分条件 求实数m的取值范围 解答 由例题知p x 2 x 10 綈p是綈s的必要不充分条件 p s且s p 2 10 1 m 1 m m 9 即m的取值范围是 9 思维升华 充分条件 必要条件的应用 一般表现在参数问题的求解上 解题时需注意 1 把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 或不等式组 求解 2 要注意区间端点值的检验 跟踪训练3 1 已知命题p a x a 1 命题q x2 4x 0 若p是q的充分不必要条件 则a的取值范围是 答案 解析 令m x a x a 1 n x x2 4x 0 x 0 x 4 p是q的充分不必要条件 m n 0 3 2 已知条件p 2x2 3x 1 0 条件q x2 2a 1 x a a 1 0 若綈p是綈q的必要不充分条件 则实数a的取值范围是 答案 解析 命题p为 x x 1 命题q为 x a x a 1 綈p对应的集合a x x 1或xa 1或x a 綈p是綈q的必要不充分条件 典例 1 2016 湖北七校联考 已知p q是两个命题 那么 p q是真命题 是 綈p是假命题 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 2 已知条件p x2 2x 3 0 条件q x a 且綈q的一个充分不必要条件是綈p 则a的取值范围是a 1 b 1 c 1 d 3 等价转化思想在充要条件中的应用 思想与方法系列1 答案 解析 思想方法指导 等价转化是将一些复杂的 生疏的问题转化成简单的 熟悉的问题 在解题中经常用到 本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化 返回 1 因为 p q是真命题 等价于 p q都为真命题 且 綈p是假命题 等价于 p是真命题 所以 p q是真命题 是 綈p是假命题 的充分不必要条件 2 由x2 2x 3 0 得x1 由綈q的一个充分不必要条件是綈p 可知綈p是綈q的充分不必要条件 等价于q是p的充分不必要条件 x x a x x1 a 1 返回 课时作业 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 命题 如果x a2 b2 那么x 2ab 的逆否命题是a 如果x a2 b2 那么x 2abb 如果x 2ab 那么x a2 b2c 如果x 2ab 那么x a2 b2d 如果x a2 b2 那么x 2ab 答案 解析 命题 若p 则q 的逆否命题是 若綈q 则綈p 的否定是 故答案c正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 给出命题 若函数y f x 是幂函数 则函数y f x 的图象不过第四象限 在它的逆命题 否命题 逆否命题3个命题中 真命题的个数是a 3b 2c 1d 0 答案 解析 原命题是真命题 故它的逆否命题是真命题 它的逆命题为 若函数y f x 的图象不过第四象限 则函数y f x 是幂函数 显然逆命题为假命题 故原命题的否命题也为假命题 因此在它的逆命题 否命题 逆否命题3个命题中真命题只有1个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 2015 重庆 x 1 是 的a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 由x 1 x 2 3 x 2 1 x 1 故 x 1 是 成立的充分不必要条件 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 2016 山东 已知直线a b分别在两个不同的平面 内 则 直线a和直线b相交 是 平面 和平面 相交 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 若直线a和直线b相交 则平面 和平面 相交 若平面 和平面 相交 那么直线a和直线b可能平行或异面或相交 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知集合a x r 2 d m 2 m 2 答案 解析 a x r 3 即m 2 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 设u为全集 a b是集合 则 存在集合c使得a c b uc 是 a b 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 由venn图易知充分性成立 反之 a b 时 由venn图 如图 可知 存在a c 同时满足a c b uc 故 存在集合c使得a c b uc 是 a b 的充要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a p是q的必要条件 但不是q的充分条件b p是q的充分条件 但不是q的必要条件c p是q的充分必要条件d p既不是q的充分条件 也不是q的必要条件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若p成立 设a1 a2 an的公比为q a1a2 a2a3 an 1an 2 a1a2 2 1 q2 q2n 4 2 故q成立 故p是q的充分条件 取a1 a2 an 0 则q成立 而p不成立 故p不是q的必要条件 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 设a b为正数 则 a b 1 是 a2 b2 1 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 答案 解析 a b 1 即a b 1 又 a b为正数 a2 b 1 2 b2 1 2b b2 1 即a2 b2 1成立 反之 当a b 1时 满足a2 b2 1 但a b 1不成立 所以 a b 1 是 a2 b2 1 的充分不必要条件 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 有三个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 若a b 则a2 b2 的逆否命题 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 其中真命题的序号为 答案 解析 命题 为 若x y互为相反数 则x y 0 是真命题 因为命题 若a b 则a2 b2 是假命题 故命题 是假命题 命题 为 若x 3 则x2 x 6 0 因为x2 x 6 0 3 x 2 故命题 是假命题 综上知只有命题 是真命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 已知f x 是定义在r上的偶函数 且以2为周期 则 f x 为 0 1 上的增函数 是 f x 为 3 4 上的减函数 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 答案 解析 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若当x 0 1 时 f x 是增函数 又 y f x 是偶函数 当x 1 0 时 f x 是减函数 当x 3 4 时 x 4 1 0 t 2 f x f x 4 故x 3 4 时 f x 是减函数 充分性成立 反之 若x 3 4 时 f x 是减函数 此时x 4 1 0 t 2 f x f x 4 则当x 1 0 时 f x 是减函数 y f x 是偶函数 当x 0 1 时 f x 是增函数 必要性也成立 故 f x 为 0 1 上的增函数 是 f x 为 3 4 上的减函数 的充要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 若xm 1是x2 2x 3 0的必要不充分条件 则实数m的取值范围是 答案 解析 0 2 由已知易得 x x2 2x 3 0 x xm 1 又 x x2 2x