数学人教版九年级上册一元二次方程根与系数关系教案.doc

一元二次方程根与系数的关系一、教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，并灵活运用根与系数关系解题。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、猜想、证明、应用、拓展等数学活动过程，感受知识由特殊到一般，由浅入深的探究过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。二、重点、难点重点：一元二次方程根与系数的关系及推导难点：正确理解根与系数的关系并应用根与系数关系解题。 三、教法与学法（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。2、采用“实践（练习）观察猜想证明应用”的过程教学。引导学生发现问题，师生共同解决问题。3、由浅入深，由特殊到一般的教学过程。问题引探，启发诱导，进行创新教学。4、引导学生一题多解，并比较不同解法学会选择方法。（二）学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。四、教学过程（一）问题引探师：首先让我们一起来回顾一下：1、什么是一元二次方程的一般形式？2、一元二次方程的解法有哪些？其中求根公式是什么？师：这里求根公式表示若方程有解时，可以由方程的系数a、b、c决定根的值，它反映了根与系数的关系，而除此之外，在方程有解的情况下，根与系数之间是否还有其它联系？这节课我们将作进一步的探讨。（二）新课探究：知识初探：方程解 问题一：请观察上表，你能发现方程两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题二：你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。证明：当0时，由上我们可得：结论一：关于x的方程的两根，与系数p，q的关系是：，注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。小试牛刀：练习一：下列一元二次方程的两根和与两根积各是多少？（1）（2）（3）（4）（5）知识再探：师：上题中（5）和其它题有什么区别？生：二次次项系数不为1 师：对二次项系数不为1的方程，根和系数又有怎样的关系呢？ 生：可以将方程两边同时除以2，将方程转化为二次项系数为1的方程师：很好，那么对于任意一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中，根与系数有怎么样的关系：生：我们可将方程 ax2+bx+c=0（a0）左右两边同时除以a ,将其转化成二次项系数为1的方程，即，这样一来，由结论一可得， 师：很好，这样一来我们利用转化思想，就轻松得到任意一元二次方程的两根和系数的关系了，除此之外，我们还能不能利用ax2+bx+c=0（a0）的求根公式模仿探究一的证明加以证明呢？请同学们利用课余时间试证明之。结论二：（2）形如的方程，根与系数的关系为：， 这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。师：下面让我们通过练习来加以巩固知识点练习二：1、下列一元二次方程的两根和与两根积各是多少？（1） （2） （3） （4） 说明：1、本设计采用“实践观察发现猜想证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。（三）应用拓展：1、若是方程 的两个根，试求下列代数式的值：（1），； （2）； （3）师：本题有几种解法？ 学生讨论得：方法一：先利用方程求出方程的根，然后利用根直接求解，这是解题的通法方法二：将，转化成，利用根与系数的关系进一步求解（组织学生自己分析解决，动笔解答，选取一名学生的解题过程进行投影讲评。对比两种解法，让学生体会利用根与系数关系解题的优越性。渗透转化的数学思想 ）2、小明在求解一元二次方程时，得到括号内的两个根，试判断小明在求解过程中是否有误？（1） （）（2） （）（3） （）（4） （）师：本题有几种解法？ 学生讨论得：方法一：自己求解方法二：将根代入方程检验方法三：利用根与系数的关系，通过计算两根和和两根积加以验证。（组织学生自己分析解决，动笔解答，选取一名学生的解题过程进行投影讲评。对比三种解法，让学生体会利用根与系数关系解题的优越性。）3、已知方程 的一个根是，求它的另一个根及k的值。师：本题有几种解法？ 学生讨论得：方法一：将方程的根代入方程中，求出k的值，然后利用方程求解出方程的另一根。方法二：利用根与系数的关系解题，由可得，再由两根的积即可求得k的值（组织学生自己分析解决，动笔解答，选取一名学生的解题过程进行投影讲评。对比两种解法，让学生体会利用根与系数关系解题的优越性。）（四）归纳小结本课主要研究了什么？1、方程的根是由系数决定的。2、形如的方程，当0时，根与系数的关系为：， 本节课用到了哪些数学思想方法？