带电粒子在电磁场中的运动

带电粒子在电场中的运动比物体在重力场中的运动要丰富得多 它与运动学 动力学 功和能 动量等知识联系紧密 加之电场力的大小 方向灵活多变 功和能的转化关系错综复杂 其难度比力学中的运动要大得多 带电粒子在磁场中的运动涉及的物理情景丰富 解决问题所用的知识综合性强 很适合对能力的考查 是高考热点之一 带电粒子在磁场中的运动有三大特点 与圆周运动的运动学规律紧密联系 运动周期与速率大小无关 轨道半径与圆心位置的确定与空间约束条件有关 呈现灵活多变的势态 因以上三大特点 很易创造新情景命题 故为高考热点 近十年的高考题中 每年都有 且多数为大计算题 带点粒子在复合场中运动命题研究 带电粒子在复合电磁场中的运动 若空间中同时同区域存在重力场 电场 磁场 则使粒子的受力情况复杂起来 若不同时不同区域存在 则使粒子的运动情况或过程复杂起来 相应的运动情景及能量转化更加复杂化 将力学 电磁学知识的转化应用推向高潮 该考点为高考命题提供了丰富的情景与素材 为体现知识的综合与灵活应用提供了广阔的平台 是高考命题热点之一 mg qU 竖直向下 路径 相同 相反 路径 电势能 重力势能 qE qvB 左手 动能 知识梳理 1 复合场 1 叠加场 电场 重力场共存 或其中某两场共存 2 组合场 电场与磁场各位于一定的区域内 并不重叠或在同一区域 电场 磁场出现 2 三种场的比较 磁场 交替 专题8 带电粒子在复合场中运动 在电场中的运动 直线运动 如用电场加速或减速粒子 偏转 类平抛运动 一般分解成两个分运动 匀速圆周运动 以点电荷为圆心运动或受装置约束 在磁场中的运动 直线运动 带电粒子的速度与磁场平行时 匀速圆周运动 带电粒子的速度与磁场垂直时 在复合场中的运动 直线运动 垂直运动方向的力必定平衡 匀速圆周运动 重力与电场力一定平衡 由洛伦兹力提供向心力 一般的曲线运动 专题8 一 带点粒子在组合场中运动 带电粒子在分区域电场 磁场中运动问题思路导图 近两年各省市高考题中的复合场情形图 2011年新课标全国卷25题 2011年山东卷25题 2010年浙江卷24题 一 带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动 例1 如图所示 空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场 左侧匀强电场的场强大小为E 方向水平向右 电场宽度为L 中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外 右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里 两个磁场区域的磁感应强度大小均为B 一个质量为m 电量为q 不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动 穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后 又回到O点 然后重复上述运动过程 求 1 中间磁场区域的宽度d 2 带电粒子的运动周期 带电粒子运动过程分析 O1 O2 O3 下面请你完成本题解答 由以上两式 可得 2 在电场中运动时间 在中间磁场中运动时间 在右侧磁场中运动时间 则粒子的运动周期为 带电粒子在磁场中偏转 由牛顿第二定律得 解 1 如图所示 带电粒子在电场中加速 由动能定理得 粒子在两磁场区运动半径相同 三段圆弧的圆心组成的三角形 O1O2O3是等边三角形 其边长为2R 所以中间磁场区域的宽度为 例2 两平面荧光屏互相垂直放置 在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴 交点O为原点 如图所示 在y 0 00 x a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场 两区域内的磁感应强度大小均为B 在O点有一处小孔 一束质量为m 带电量为q q 0 的粒子沿x轴经小孔射入磁场 最后打在竖直和水平荧光屏上 使荧光屏发亮 入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值 已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2 5 在磁场中运动的总时间为7T 12 其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期 试求两个荧光屏上亮线的范围 不计重力的影响 解 对于y轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1所示 带电粒子的轨迹和x a 此时r a y轴上的最高点为y 2r 2a 对于x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示 左边界的极限情况还是和x a相切 此刻 带电粒子在右边的轨迹是个圆 与x轴相切于D点 由几何知识得到在x轴上的坐标为x 2a 速度最大的粒子是如图2中的蓝实线 由两段圆弧组成 圆心分别是C和C 由对称性得到C 在x轴上 与D点重合 设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2 满足 解得 由数学关系得到 代入数据得到 所以在x轴上的范围是 题目 例3 如图所示 M N为两块带等量异种电荷的平行金属板 S1 S2为板上正对的小孔 N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域 磁感应强度大小均为B 方向分别垂直于纸面向外和向里 磁场区域右侧有一个荧光屏 取屏上与S1 S2共线的O点为原点 向上为正方向建立x轴 M板左侧电子枪发射出的热电子经S1进入两板间 电子的质量为m 电荷量为e 初速度可以忽略 1 当两板间电势差为U0时 求从小孔S2射出的电子的速度 2 求两金属板间电势差U在什么范围内 电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上 根据动能的定理得 eU0 1 2mv02 2 欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上 应有r mv eB d 3 电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如图所示 解 1 而eU 1 2mv2由此即可解得U B2d2e 2m 题目 4 若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r 穿过磁场区域打到荧光屏上的位置坐标为x 则由 3 中的轨迹图可得 注意到r mv eB和eU 1 2mv2 所以 电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系为 题目 例4 如图所示 在空间存在这样一个磁场区域 以MN为界 上部分的匀强磁场的磁感应强度为B1 下部分的匀强磁场的磁感应强度为B2 B1 2B2 2B0 方向均垂直纸面向里 且磁场区域足够大 在距离界线为h的P点有一带负电荷的离子处于静止状态 某时刻离子分解成为带电粒子A和不带电粒子B 粒子A质量为m 带电荷q 以平行于界线MN的初速度向右运动 经过界线MN时速度方向与界线成60 角 进入下部分磁场 当粒子B沿与界线平行的直线到达位置Q点时 恰好又与粒子A相遇 不计粒子的重力 求 1 P Q两点间距离 2 粒子B的质量 2页 题目 3页 末页 解 1 粒子A在匀强磁场中做匀速圆周运动 洛仑兹力提供向心力 设粒子A的速度为v0 在MN上方运动半径为R1 运动周期为T1 根据牛顿第二定律和圆周运动公式 同理 粒子A在MN下方运动半径R2和周期T2分别为 解得 2页 题目 3页 末页 粒子A由P点运动到MN边界时速度与MN的夹角为60 如图所示 则有 R1 h R1cos60 得到 R1 2hR2 4h PQ间的距离为 PQ 2R2sin60 2R1sin60 2 粒子A从P点到Q点所用时间为 2页 题目 3页 末页 设粒子B的质量为M 从P点到Q点速度为v 得到mv0 4qB0h 根据动量守恒定律mv0 Mv 0 11 解得 2页 题目 3页 末页 例1 如图所示 在y 0的空间中存在匀强电场 场强沿y轴负方向 在y 0的空间中 存在匀强磁场 磁场方向垂直xy平面 纸面 向外 一电量为q 质量为m的带正电的运动粒子 经过y轴上y h处的点P1时速率为v0 方向沿x轴正方向 然后 经过x轴上x 2h处的P2点进入磁场 并经过y轴上y 2h处的P3点 不计重力 求 l 电场强度的大小 2 粒子到达P2时速度的大小和方向 3 磁感应强度的大小 二 带电粒子在分离的电场和磁场中的运动 解 1 P1到P2做平抛运动 h 1 2at22h v0tqE ma 解得E mv02 2qh 2 vy2 2ah 2qEh m v02 vy v0vx v0 45 3 P2到P3做匀速圆周运动 圆心在P2P3的中点 如图示 由qBv mv2 r得r mv0 qB 由几何关系 B mv0 qh 例2 如图所示的区域中 左边为垂直纸面向里的匀强磁场 磁感应强度为B 右边是一个电场强度大小未知的匀强电场 其方向平行于OC且垂直于磁场方向 一个质量为m 电荷量为 q的带电粒子从P孔以初速度v0沿垂直于磁场方向进人匀强磁场中 初速度方向与边界线的夹角 600 粒子恰好从C孔垂直于OC射入匀强电场 最后打在Q点 已知OQ 2OC 不计粒子的重力 求 l 粒子从P运动到Q所用的时间t 2 电场强度E的大小 3 粒子到达Q点时的动能EkQ 解 1 画出粒子运动的轨迹如图示的三分之一圆弧 O1为粒子在磁场中圆周运动的圆心 PO1C 1200 设粒子在磁场中圆周运动的半径为r OC x 则OQ 2x r rcos600 OC xOC x 3r 2 粒子在磁场中圆周运动的时间 粒子在电场中类平抛运动OQ 2x 3r 粒子从P运动到Q所用的时间 2 粒子在电场中类平抛运动 解得 3 由动能定理 粒子到达Q点时的动能为 题目 3 若该匀强磁场的宽度为D 10cm 为使微粒不会由磁场右边射出 该匀强磁场的磁感应强度B至少多大 1 微粒在加速电场中由动能定理得 解得v0 1 0 104m s 飞出电场时 速度偏转角的正切为 解得 30o 2 微粒在偏转电场中做类平抛运动 有 解 3 进入磁场时微粒的速度是 洛伦兹力提供向心力 由 联立得 所以 为使微粒不会由磁场右边射出 该匀强磁场的磁感应强度B至少为0 346T 轨迹如图 由几何关系有 代入数据解得 题目 例4 如图甲所示 质量和电荷量均相同的带正电的粒子连续从小孔O1进入电压U0 50V的加速电场区 初速度可忽略不计 加速后由小孔O2沿竖直放置的平行金属板ab中心线射入金属板间的匀强电场区 然后再进入平行金属板a b下面的匀强磁场区 最后打到感光片上 已知平行金属板a b间的距离d 0 15m 两板间的电压U随时间t变化的随时间变化的U t图线图线如图乙所示 且a板电势高于b板电势 磁场的上边界MN与金属板ab下端相平 且与O1 O2连线垂直 交点为O 磁场沿水平方向 且与a b板间的电场方向垂直 磁感应强度B 1 0 10 2T 带电粒子在匀强磁场区运动 最后打在沿MN水平放置的感光片上 打在感光片上形成一条亮线P1P2 P1到O点的距离x1 0 15m P2到O点的距离x2 0 20m 电场区可认为只存在于金属板间 带电粒子通过电场区的时间极短 可以认为粒子在这一运动过程中平行金属板a b间的电压不变 不计粒子受到的重力和粒子间的相互作用力 1 0 108C kg 1 已知t 0时刻进入平行金属板a b间的带电粒子打在感光片上的P2点 求带电粒子的比荷q m 保留两位有效数字 2 对任何时刻射入平行金属板a b间的带电粒子 证明其射入磁场时的入射点和打到感光片上的位置之间的距离 x为定值 3 设打到P1点的带电粒子在磁场中运动的时间为t1 打到P2点的带电粒子在磁场中运动的时间为t2 则两时间之差 t t1 t2 为多大 保留两位有效数字 例5 如图所示 在x 0的空间中 存在沿x轴方向的匀强电场 电场强度E 10N C 在x 0的空间中 存在垂直xOy平面方向的匀强磁场 磁感应强度B 0 5T 一带负电的粒子 比荷q m 160C kg 在x 0 06m处的d点以v0 8m s的初速度沿y轴正方向开始运动 不计带电粒子的重力 求 1 带电粒子开始运动后第一次通过y轴时与y轴的交点距O点的距离 2 带电粒子进入磁场后经多长时间返回电场 3 带电粒子运动的周期 解析 1 对于带电粒子在电场中的运动有 第一次通过y轴时与y轴的交点到O点的距离y1 v0t 将数据代入以上三式解得y1 0 069m 2 带电粒子通过y轴时沿x轴方向的速度 设进入磁场时带电粒子的速度方向与y轴正方向的夹角为 60 所以带电粒子在磁场中做圆周运动所对应的圆心角 2 120 带电粒子在电磁场中的运动轨迹如右图所示 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 在磁场中运动的时间 3 从开始至第一次到达y轴的时间 从磁场再次回到电场中的过程 未进入笫二周期 是第一次离开电场时的逆运动 据对称性 因此粒子的运动的周期 思维点拨 解决带电粒子在磁场中运动的思路 依题意画出轨迹 再利用几何知识 确定圆心和半径 在已知粒子入射方向和出射方向时 可过入射点和出射点作出垂直速度方向的直线 两直线的交点即圆心 粒子运动的偏转角即圆心角 借助于圆心角和周期可求出粒子在磁场中的运动时间 带电粒子在复合场中的运动 首先从受力分析入手 搞清粒子运动的物理情境 再把电磁问题转化为力学问题来解决 例6 如图所示的空间分为 三个区域 各边界面相互平行 区域存在匀强电场 电场强度E 1 0 104V m 方向垂直边界面向右 区域存在匀强磁场 磁场的方向分别为垂直纸面向外和垂直纸面向里 磁感应强度分别为B1 2 0T B2 2 0T 三个区域宽度分别为d1 5 0m d2 d3 6 25m 一质量m 1 0 10 8kg 电荷量q 1 6 10 6C的粒子从O点由静止释放 粒子的重力忽略不计 1 粒子在电场中做匀加速直线运动 由动能定理有 解 解得v 4 0 103m s 求 1 粒子离开 区域时的速度大小v 2 粒子在 区域内运动时间t 3 粒子离开 区域时速度与边界面的夹角 2 设粒子在磁场B1中做匀速圆周运动的半径为r 则 解得r 12 5m 设在 区内圆周运动的圆心角为 则 解得 30 粒子在 区运动周期 粒子在 区运动时间 解得 3 设粒子在 区做圆周运动道半径为R 则 解得R 6 25m 由几何关系可知 MO2P为等边三角形 粒子离开 区域时速度与边界面的夹角 60 粒子运动轨迹如图所示 例7 如图中甲所示 真空中两水平放置的平行金属板C D 上面分别开有正对的小孔O1和O2 金属板C D接在正弦交流电源上 C D两板间的电压UCD随时间t变化的图线如图中乙所示 t 0时刻开始 从C板小孔O1处连续不断飘入质量为m 3 2 10 21kg 电荷量q 1 6 10 15C的带正电的粒子 设飘入速度很小 可视为零 在D板外侧有以MN为边界的匀强磁场 MN与金属板C相距d 10cm 匀强磁场的大小为B 0 1T 方向如图中所示 粒子的重力及粒子间相互作用力不计 平行金属板C D之间的距离足够小 粒子在两板间的运动时间可忽略不计 求 1 带电粒子经小孔O2进入磁场后 能飞出磁场边界MN的最小速度为多大 2 从0到0 04s末时间内哪些时刻飘入小孔O1的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN 3 以O2为原点建立直角坐标系 在图甲中画出粒子在有界磁场中可能出现的区域 用斜线标出 并标出该区域与磁场边界交点的坐标 要求写出相应的计算过程 2页 题目 3页 4页 末页 解 1 设粒子飞出磁场边界MN的最小速度为v0 粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为R0 根据洛伦兹力提供向心力知 qv0B mv02 R0 要使粒子恰好飞出磁场 据图有 R0 d 所以最小速度 v0 qBd m 5 103m s 2页 题目 3页 4页 末页 2 由于C D两板间距离足够小 带电粒子在电场中运动时间可忽略不计 故在粒子通过电场过程中 两极板间电压可视为不变 CD间可视为匀强电场 要使粒子能飞出磁场边界MN 则进入磁场时的速度必须大于v0 粒子在电场中运动时CD板对应的电压为U0 则根据动能定理知 qU0 mv02 2 得 U0 mv02 2q 25V 因为电荷为正粒子 因此只有电压在 25V 50V时进入电场的粒子才能飞出磁场 根据电压图像可知 UCD 50sin50 t 25V电压对应的时间分别为 7 300s和11 300s 所以粒子在0到0 04s内能够飞出磁场边界的时间为7 300s t 11 300s 2页 题目 3页 4页 末页 3 设粒子在磁场中运动的最大速度为vm 对应的运动半径为Rm Um 50V 则有 qUm mvm2 2 qvmB mvm2 Rm Rm 0 14m 粒子飞出磁场边界时相对小孔向左偏移的最小距离为 因此 粒子能到达的区域如图所示 其中弧PBO2是以d为半径的半圆 弧O2A是以Rm为半径的圆弧 与磁场边界交点的坐标分别为 O2 0 0 A 0 04m 0 1m B 0 1m 0 1m P 0 2m 0 2页 题目 3页 4页 末页 例1 飞行时间质谱仪可以对气体分子进行分析 如图所示 在真空状态下 脉冲阀P喷出微量气体 经激光照射产生不同价位的正离子 自a板小孔进入a b间的加速电场 从b板小孔射出 沿中线方向进入M N板间的偏转控制区 到达探测器 已知元电荷电量为e a b板间距为d 极板M N的长度和间距均为L 不计离子重力及进入a板时的初速度 三 带电粒子在变化的电场磁场中的运动 1 当a b间的电压为U1时 在M N间加上适当的电压U2 使离子到达探测器 请导出离子的全部飞行时间与比荷K K ne m 的关系式 1 解 由动能定理 n价正离子在a b间的加速度 在a b间运动的时间 在MN间运动的时间 t2 L v 离子到达探测器的时间 2 去掉偏转电压U2 在M N间区域加上垂直于纸面的匀强磁场 磁感应强度B 若进入a b间所有离子质量均为m 要使所有的离子均能通过控制区从右侧飞出 a b间的加速电压U1至少为多少 2 解 假定n价正离子在磁场中向N板偏转 洛仑兹力充当向心力 设轨迹半径为R 由牛顿第二定律 离子刚好从N板右侧边缘穿出时 由几何关系 由以上各式得 当n 1时U1取最小值 题目 把握运动性质来分析结合几何图形求突破 明确场区范围 把握叠加场特征 由运动性质可知E qv0B 求E 撤去磁场 粒子将做类平抛运动 水平位移x 竖直位移y 圆半径R构成直角三角形 利用勾股定理R2 x2 y2 撤去磁场 粒子将做圆周运动 求出运动半径r 画出运动轨迹 由几何知识sina R 2r 求a 进而利用时间公式求t 例2 例3 在坐标系xOy平面的第一象限内 有一个匀强磁场 磁感应强度大小恒为B0 方向垂直于xOy平面 且随时间作周期性变化 如图所示 规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正 一个质量为m 电荷量为q的正粒子 在t 0时刻从坐标原点以初速度v0沿x轴正方向射入 不计重力的影响 经过一个磁场变化周期T 未确定 的时间 粒子到达第 象限内的某点P 且速度方向仍与x轴正方向平行同向 则 1 粒子进入磁场后做圆周运动的半径是多大 2 若O P连线与x轴之间的夹角为45 则磁场变化的周期T为多大 3 因P点的位置随着磁场周期的变化而变化 试求P点的纵坐标的最大值为多少 1 粒子进入磁场后做圆周运动的轨道半径为r 解 2 O P连线与x轴之间的夹角为45 由运动的对称性 粒子经两个四分之一圆弧到达P点 设圆周运动周期为T0 由 得 3 设两段圆弧的圆心O1O2的连线与y轴夹角为 P点的纵坐标为y 圆心O2到y轴之间的距离为x 则由几何关系 得 y 2r 2rcos 保证粒子在第一象限内运动 x r 当 30 时 y取最大 题目 例4 如图所示 MN为纸面内竖直放置的挡板 P D是纸面内水平方向上的两点 两点距离PD为L D点距挡板的距离DQ为L 一质量为m 电量为q的带正电粒子在纸面内从P点开始以v0的水平初速度向右运动 经过一段时间后在MN左侧空间加上垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场 磁场维持一段时间后撤除 随后粒子再次通过D点且速度方向竖直向下 已知挡板足够长 MN左侧空间磁场分布范围足够大 粒子的重力不计 求 1 粒子在加上磁场前运动的时间t 2 满足题设条件的磁感应强度B的最小值及B最小时磁场维持的时间t0的值 解 1 微粒从P点至第二次通过D点的运动轨迹如图所示 由图可知在加上磁场前瞬间微粒在F点 圆和PQ的切点 在t时间内微粒从P点匀速运动到F点 t PF v0 由几何关系可知 PF L R 又R mv0 qB 由 式可得 t L v0 m qB 2 微粒在磁场中作匀速圆周运动时 由 式可知 当R最大时 B最小 在微粒不飞出磁场的情况下 R最大时有 DQ 2R 即L 2R 可得B的最小值为 Bmin 2 mv0 qL 微粒在磁场中做圆周运动 故有 t0 n 3 4 T n 0 1 2 3 又 T 2 m qB 即可得 t0 n 3 4 L v0 n 0 1 2 3 题目 例5 例6 如图 甲 所示 M N为竖直放置 彼此平行的两块平板 两板间距离为d 两板中央各有一个小孔O O 正对 在两板间有垂直于纸面方向的磁场 磁感应强度随时间的变化如图 乙 所示 有一正离子在t 0时垂直于M板从小孔O射入磁场 已知正离子质量为m 带电荷量为q 正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0 不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响 不计正离子所受重力 求 1 磁感应强度B0的大小 2 若射入磁场时速度正离子能否从O 点射出 若不能 它将打到N板上离O 点多远处 3 要使正离子从O 孔垂直于N板射出磁场 正离子射入磁场时速度v0应为多少 解 1 正离子射入磁场 洛仑兹力提供向心力 做匀速圆周运动的周期 联立 两式得磁感应强度 2 联立 并将代入得 R 0 4d 正离子在MN间的运动轨迹如图所示 不能从O 点射出 将打到图中的B点 由图中可知 故BO 间的距离为 题目 3 要使正离子从O 孔垂直于N板射出磁场 v0的方向应如图所示 正离子在两板之间可运动n个周期即nT0 则 d 4nR n 1 2 3 联立 式得 n 1 2 3 题目 第2页 在如图 a 所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场 磁感应强度大小为B 已知正方形边长为L 一个质量为m 带电量为 q的粒子 不计重力 在t 0时刻平行于oc边从o点射入磁场中 1 若带电粒子从a点射出磁场 求带电粒子在磁场中运动的时间及初速度大小 2 若磁场的磁感应强度按如图 b 所示的规律变化 规定磁场向外的方向为正方向 磁感应强度的大小为B0 假使带电粒子能从oa边界射出磁场 磁感应强度B变化周期T的最小值 3 若所加磁场与第 2 问中的相同 要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场 满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度v0 解析 1 若带电粒子从a点射出磁场 则做圆周运动的半径为所需时间又根据得 2 要使粒子从oa边射出 其临界状态轨迹如图所示则有sin 300 在磁场变化的半个周期内 粒子在磁场中旋转1500角 运动时间而所以磁场变化的最小周期为 3 若使粒子从b点沿着ab方向射出磁场 轨迹如图 在磁场变化的半个周期内 粒子在磁场中旋转的角度为2 其中 450 即所以磁场变化的周期为每一个圆弧对应的弦长OM为 n 2 4 6 圆弧半径为r 由 得 n 2 4 6 例1 如图所示 质量为m 带电量为 q的小球从距地面高为h的位置以一定的初速度水平抛出 在距抛出点水平距离l处有一管口略比小球直径大一些的竖直细管 管上口距地面h 2 为使小球能无碰撞地通过管子 在管口上方空间加一个水平向左的匀强电场 求 1 小球的初速度v0 2 电场强度E的大小 3 小球落地时的动能 二 带电粒子在复合场中运动 如图所示 BCDG是光滑绝缘的圆形轨道 位于竖直平面内 轨道半径为R 下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接 整个轨道处在水平向左的匀强电场中 现有一质量为m 带正电的小滑块 可视为质点 置于水平轨道上 滑 间的动摩擦因数为0 5 重力加速度为g 块受到的电场力大小为 滑块与水平轨道 例2 1 若滑块从水平轨道上距离B点s 3R的A点由静止释放 滑块到达与圆心O等高的C点时速度为多大 2 在 1 的情况下 求滑块到达C点时受到轨道的作用力大小 3 改变s的大小 使滑块恰好始终沿轨道滑行 且从G点飞出轨道 求滑块在圆轨道上滑行过程中的最小速度大小 1 设滑块到达C点时的速度为v 由动能定理有 解 解得 而 2 设滑块到达C点时受到轨道的作用力大小为F 则 解得 3 要使滑块恰好始终沿轨道滑行 则滑至圆轨道DG间某点 由电场力和重力的合力提供向心力 此时的速度最小 设为vn 则有 解得 例3 如图所示 在水平地面上方有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强场区域 磁场的磁感应强度为B 方向水平并垂直纸面向里 一质量为m 带电荷量为q的带正电微粒在此区域内沿竖直平面 垂直于磁场方向的平面 做速度大小为v的匀速圆周运动 重力加速度为g 求 1 求此区域内电场强度的大小和方向 2 若某时刻微粒在场中运动到P点时 速度与水平方向的夹角为60 且已知P点与水平地面间的距离等于其做圆周运动的半径 求该微粒运动到最高点时与水平地面间的距离 3 当带电微粒运动至最高点时 将电场强度的大小变为原来的1 2 方向不变 且不计电场变化对原磁场的影响 且带电微粒能落至地面 求带电微粒落至地面时的速度大小 解 1 由于带电微粒可以在电场 磁场和重力场共存的区域内沿竖直平面做匀速圆周运动 表明带电微粒所受的电场力和重力大小相等 方向相反 因此电场强度的方向竖直向上 设电场强度为E 则有mg qE 即E mg q 2页 题目 3页 末页 2 设带电微粒做匀速圆周运动的轨道半径为R 根据牛顿第二定律和洛仑兹力公式有 依题意可画出带电微粒做匀速圆周运动的轨迹如图所示 由几何关系可知 该微粒运动至最高点与水平地面的距离 2页 题目 3页 末页 3 将电场强度的大小变为原来的1 2 则电场力变为原来的1 2 即F电 mg 2 带电微粒运动过程中 洛仑兹力不做功 所以它从最高点运动至地面的过程中 只有重力和电场力做功 设带电微粒落地时的速度大小为vt 根据动能定理有 解得 2页 题目 3页 末页 例4 如图所示 坐标系xOy位于竖直平面内 在该区域内有场强E 12N C 方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B 2T 沿水平方向且垂直于xOy平面指向纸里的匀强磁场 一个质量m 4 10 5kg 电量q 2 5 10 5C带正电的微粒 在xOy平面内做匀速直线运动 运动到原点O时 撤去磁场 经一段时间后 带电微粒运动到了x轴上的P点 取g 10m s2 求 1 P点到原点O的距离 2 带电微粒由原点O运动到P点的时间 解 微粒运动到O点之前受到重力 电场力和洛仑兹力作用 在这段时间内微粒做匀速直线运动 说明三力合力为零 由此可得 FB2 FE2 mg 2 电场力FE Eq 3 10 4N重力mg 4 10 4N 洛仑兹力FB Bqv 5 10 4N 联立求解 代入数据得v 10m s 微粒运动到O点之后 撤去磁场 微粒只受到重力 电场力作用 其合力为一恒力 且方向与微粒在O点的速度方向垂直 所以微粒在后一段时间内的运动为类平抛运动 可沿初速度方向和合力方向进行分解 代入数据得 设沿初速度方向的位移为s1 沿合力方向的位移为s2 如图示 因为s1 vt 联立求解 代入数据可得P点到原点O的距离 OP 15m O点到P点运动时间 t 1 2s 题目 理综天津卷11 电场强度E的大小和方向 小球从A点抛出时初速度v0的大小 A点到x轴的高度h 例5 18分 如图所示 直角坐标系xOy位于竖直平面内 在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场 磁场的磁感应为B 方向垂直xOy平面向里 电场线平行于y轴 一质量为m 电荷量为q的带正电的小球 从y轴上的A点水平向右抛出 经x轴上的M点进入电场和磁场 恰能做匀速圆周运动 从x轴上的N点第一次离开电场和磁场 MN之间的距离为L 小球过M点时的速度方向与x轴正方向夹角为 不计空气阻力 重力加速度为g 求 1 小球在电场 磁场中恰能做匀速圆周运动 其所受电场力必须与重力平衡 恒力不能充当圆周运动的向心力 有 重力的方向竖直向下 电场力方向应为竖直向上 由于小球带正电 所以电场强度方向竖直向上 2 小球做匀速圆周运动 O 为圆心 MN为弦长 设半径为r 由几何关系知 由 式得 小球做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力提供 设小球做圆周运动的速率为v 有 由速度的合成与分解知 如图所示 题目 3 设小球到M点时的竖直分速度为vy 它与水平分速度的关系为 由匀变速直线运动规律 由 式得 题目 第2页 三 带电粒子在复合场中运动的典型问题 1 质谱仪 2 速度选择器 3 加速器 直线加速器 回旋加速器 4 磁流体发电机 电磁流量计 霍尔效应 磁强计 一 磁偏转与显像管 电视机的显像管中 电子束的偏转是用磁偏转技术实现的 电子束经过电压为U的加速电场后 进入一圆形匀强磁场区 如图所示 磁场方向垂直于圆面 磁场区的中心为O 半径为r 当不加磁场时 电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点 为了让电子束射到屏幕边缘P 需要加磁场 使电子束偏转一已知角度 此时磁场的磁感应强度B应为多少 二 质谱仪 v E B1 qvB2 mv2 r 例1 一个质量为m 电荷量为q的粒子 从容器下方的小孔S1飘入电势差为 的加速电场 然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 的匀强磁场中 最后打到照相底片 上 求 求粒子进入磁场时的速率 求粒子在磁场中运动的轨道半径 偏 转 质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的 他用质谱仪发现了氖20和氖22 证实了同位素的存在 现在质谱仪已经是一种十分精密的仪器 是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具 加速 qU mv2 2 又R mv qB 可见 此仪器可以用来测定带电粒子的荷质比 也可以在已知电量的情况下测定粒子质量 这样的仪器叫质谱仪 例2 质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具 它的构造原理如图 离子源S产生的各种不同正离子束 速度可看作为零 经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场 到达记录它的照相底片P上 设离子在P上的位置到入口处S1的距离为x 可以判断 A 若离子束是同位素 则x越大 离子质量越大B 若离子束是同位素 则x越大 离子质量越小C 只要x相同 则离子质量一定相同D 只要x相同 则离子的荷质比一定相同 AD 1932年 美国物理学家劳仑斯发明了回旋加速器 从而使人类在获得具有较高能量的粒子方面迈进了一大步 为此 劳仑斯荣获了诺贝尔物理学奖 三 回旋加速器 组成 两个D形盒 大型电磁铁 高频交流电源电场作用 用来加速带电粒子磁场作用 用来使粒子回旋从而能被反复加速 回旋加速器分析 回旋加速器中的D形盒 它的作用是静电屏蔽 使带电粒子在做匀速圆周运动的过程中不受电场的干扰 回旋加速器中所加交变电压的频率f 与带电粒子做匀速圆周运动的频率相等 回旋加速器最后使粒子得到的能量 在粒子电量q 质量m和磁感应强度B一定的情况下 回旋加速器的半径R越大 粒子的能量就越大 小结 回旋加速器利用两D形盒窄缝间的电场使带电粒子加速 利用D形盒内的磁场使带电粒子偏转 带电粒子所能获得的最终能量与B和R有关 与U无关 交变电压的周期 粒子获得最大速度 粒子获得最大动能 例3 已知D形盒的直径为D 匀强磁场的磁感应强度为B 交变电压的电压为U 求 1 从出口射出时 粒子的动能Ek 2 要增大粒子的最大动能可采取哪些措施 实际并非如此 例如 用这种经典的回旋加速器来加速粒子 最高能量只能达到20兆电子伏 这是因为当粒子的速率大到接近光速时 按照相对论原理 粒子的质量将随速率增大而明显地增加 从而使粒子的回旋周期也随之变化 这就破坏了加速器的同步条件 例4 一回旋加速器 可把质子加速到v 使它获得动能EK 1 能把 粒子加速到的速度为 2 能把 粒子加速到的动能为 3 加速 粒子的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为 四 速度选择器 在电 磁场中 若不计重力 则 在如图所示的平行板器件中 电场强度E和磁感应强度B相互垂直 具有不同水平速度的带电粒子射入后发生偏转的情况不同 这种装置能把具有某一特定速度的粒子选择出来 所以叫速度选择器 试求出粒子的速度为多少时粒子能沿虚线通过 思考 其他条件不变 把粒子改为负电荷 能通过吗 电场 磁场方向不变 粒子从右向左运动 能直线通过吗 速度选择器 1 速度选择器只选择速度 与电荷的正负无关 2 带电粒子必须以唯一确定的速度 包括大小 方向 才能匀速 或者说沿直线 通过速度选择器 否则偏转 3 注意电场和磁场的方向搭配 v 将向洛伦兹力方向偏转 电场力将做负功 动能将减小 洛伦兹力也将减小 轨迹是一条复杂曲线 若速度小于这一速度 电场力将大于洛伦兹力 带电粒子向电场力方向偏转 电场力做正功 动能将增大 洛伦兹力也将增大 若大于这一速度 练习 在两平行金属板间有正交的匀强电场和匀强磁场 一个带电粒子垂直于电场和磁场方向射入场中 射出时粒子的动能减少了 为了使粒子射出时动能增加 在不计重力的情况下 可采取的办法是 A 增大粒子射入时的速度B 减小磁场的磁感应强度C 增大电场的电场强度D 改变粒子的带电性质 BC 练习2 如图所示是粒子速度选择器的原理图 如果粒子所具有的速率v E B 那么 A 带正电粒子必须沿ab方向从左侧进入场区 才能沿直线通过B 带负电粒子必须沿ba方向从右侧进入场区 才能沿直线通过C 不论粒子电性如何 沿ab方向从左侧进入场区 都能沿直线通过D 不论粒子电性如何 沿ba方向从右侧进入场区 都能沿直线通过 练习3 正交的匀强磁场和匀强电场的磁感应强度和电场强度分别为B和E 一带电的粒子 以速度v1垂直射入 而以速度v2射出 则 A v1 E Bv2 v1B v1 E B v2 v1C v1 E Bv2 v1D v1 E B v2 v1 BC 厚度为h 宽度为d的金属板放在垂直于磁感应强度为B的匀强磁场中 当电流流过导体板时 在导体板上下侧面间会产生电势差U 这种现象叫霍尔效应 上表面 下表面哪个面的电势高 下表面 流体为 定向移动的电荷 电势差是多少 思考 如果电流是正电荷定向移动形成的 则电势哪端高 五 霍耳效应 例1 如图所示 厚度为h 宽为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的均匀磁场中 当电流通过导体板时 在导体板的上侧面A和下侧面A 之间会产生电势差 这种现象称为霍尔效应 实验表明 当磁场不太强时 电势差U 电