重庆市中考数学 第二部分 题型研究 题型八 二次函数综合题课件.ppt

题型八二次函数综合题 类型一与线段 周长有关的问题 类型二与面积有关的问题 类型三与特殊三角形有关的问题 类型四与特殊四边形有关的问题 类型一与线段 周长有关的问题 典例精讲 例1如图 抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴交于点a b 1 0 与y轴交于点c 直线y x 2经过点a c 抛物线的顶点为d 对称轴为直线l 1 求抛物线的解析式及顶点d的坐标 思维教练 已知直线y x 2经过点a c 结合题干 可求得a c两点的坐标 结合b 1 0 代入即可求出抛物线解析式 将抛物线解析式配方成顶点式 即可求得顶点d的坐标 解 1 对于直线y x 2 令y 0 得x 4 令x 0得y 2 点a 4 0 点c 0 2 已知点b 1 0 将a b c三点的坐标代入抛物线的解析式得 解得 抛物线的解析式为y x2 x 2 又由抛物线y x2 x 2得 y x2 5x 2 x 2 抛物线顶点d的坐标为 2 设点e为x轴上一点 且ae ce 求点e的坐标 思维教练 已知点e在x轴上 则设e点坐标为 e 0 要求点e的坐标 已知ae ce 需先分别用含e的式子表示出ae和ce 由于a点坐标 1 中已求得 则ea 4 e 由题图可知o e c三点可构成rt coe 结合c点坐标 利用勾股定理即可表示出ce的长 建立方程求解即可 3 设点g是y轴上一点 是否存在点g 使得gd gb的值最小 若存在 求出点g的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 要求gd gb的值最小 解决方法为找其中一点的对称点 将两条线段转化成一条线段求解 即先找点b关于y轴的对称点b 再连接b d 则b d与y轴的交点即为所求的g点 可先求直线b d的解析式 再求其与y轴的交点即可 直线b d的解析式为y x 令x 0 得y 点g的坐标为 0 4 在直线l上是否存在一点f 使得 bcf的周长最小 若存在 求出点f的坐标及 bcf周长的最小值 若不存在 请说明理由 思维教练 因为bc的长为定值 要使 bcf的周长最小 即要使cf bf的值最小 由点a b关于直线l对称 可知ac与l的交点即为点f 即可得cf bf最小 根据抛物线解析式可得对称轴l为直线x 将x 代入直线y x 2 得 点f的坐标为 在rt aoc中 ao 4 oc 2 根据勾股定理得ac 2 bcf周长的最小值为bc ac 5 在y轴上是否存在一点s 使得sd sb的值最大 若存在 求出点s的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 要使sd sb的值最大 则需分两种情况讨论 s b d三点不共线时构成三角形 由三角形三边关系得到sd sb bd 当三点共线时 有sd sb bd 从而得到当点s在db的延长线上时满足条件 求出直线bd的解析式后 求出直线bd与y轴的交点坐标即可 b 1 0 d 易得直线bd的解析式为y x 当x 0时 y 即当点s的坐标为 0 时 sd sb的值最大 6 若点h是抛物线上位于ac上方的一点 过点h作y轴的平行线 交ac于点k 设点h的横坐标为h 线段hk d 求d关于h的函数关系式 求d的最大值及此时h点的坐标 思维教练 由题可得点h的横坐标为h 分别将h代入抛物线及直线ac的解析式中 即可得到点h k的纵坐标 再由点h在点k的上方 表示出hk 可得到d关于h的函数关系式 利用二次函数的性质求最值 即可得d的最大值 由可知 当h 2时 d最大 0 2 4 符合题意 当h 2时 d最大 最大值为2 此时点h的坐标为 2 1 线段 周长最值问题有两种形式 1 平行于坐标轴的线段的最值问题 常常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式 然后运用二次函数性质求最值 解决这类问题的关键是 1 确定线段的函数关系式 注意当线段平行于y轴时 用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标 当线段平行x轴时 用右端点的横坐标减去左端点的横坐标 2 确定函数最值 注意函数自变量取值范围要确定正确 2 将军饮马 型问题或其变形问题 这类问题一般是已知两个定点和一条定直线 然后在定直线上确定一点 使得这个点到两定点距离和最小 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等 这类问题的解决方法是 作其中一个定点关于已知直线的对称点 连接对称点与另一个定点 它们与已知直线的交点即为所求的点 然后通过求直线解析式及直线交点坐标 计算最小值或点坐标 类型二与面积有关的问题 典例精讲 例1如图 在直角坐标系中 直线y x 3与x轴相交于点a 与y轴相交于点c 点b在x轴的正半轴上 且ab 4 抛物线y ax2 bx c经过点a b c 1 求抛物线的解析式 思维教练 要求抛物线的解析式 需知过抛物线的三点a b c的坐标 利用直线y x 3求得a c两点的坐标 结合已知的ab 4 求得b点坐标 代入求解即可 2 求 abc的面积 思维教练 要求 abc的面积 需知 abc的一条边的长度和这条边上高的长度 由于 abc的边ab已知 底边ab上的高为oc 即为点c的纵坐标 代入三角形的面积公式计算即可 解 点c坐标为 0 3 oc 3 s abc ab oc 4 3 6 3 点d为抛物线的顶点 de是抛物线的对称轴 点e在x轴上 在抛物线上存在点q 使得 qae的面积与 cbe的面积相等 请直接写出点q的坐标 思维教练 qae与 cbe的底边ae be 要使两三角形面积相等 只要高相等 因为 cbe底边be上的高为3 所以点q的纵坐标为3和 3时 满足条件 分别代入抛物线解析式求解即可 解 q点的坐标为 2 3 或 0 3 或 1 3 或 1 3 解法提示 如解图 依题意 ae be 当 qae的边ae上的高为3时 qae的面积与 cbe的面积相等 当y 3时 x2 2x 3 3 解得x1 2 x2 0 点q的坐标为 2 3 或 0 3 例2题解图 当y 3时 x2 2x 3 3 解得x 1 点q的坐标为 1 3 或 1 3 综上所述 点q的坐标为 2 3 或 0 3 或 1 3 或 1 3 4 在 3 的条件下 连接ad cd 求四边形aocd和 acd的面积 思维教练 要求四边形aocd和 acd的面积 由于四边形aocd是不规则图形 则可利用s四边形aocd s aod s cod计算 由于 acd的底与高不容易计算 所以可利用s acd s四边形aocd s aoc计算 5 在 3 的条件下 在直线ac上方的抛物线上 存在一点p 不与d重合 使 acd的面积等于 acp的面积 请求出点p的坐标 思维教练 要求点p的坐标 先确定点p的位置 由于 acd与 acp的底ac相等 则只要等高 面积即相等 可过点d作ac的平行线与抛物线相交 交点即为所求点 即可求得点p坐标 解 如解图 过点d作直线dp ac 交抛物线于点p 连接ap pc bd 则s acd s acp dp ac 且直线ac的解析式为y x 3 可设直线dp的解析式为y x n 把点d 1 4 代入 得 1 n 4 n 5 dp的解析式为y x 5 例2题解图 dp的解析式为y x 5 联立得解得 d 1 4 点p不与点d重合 点p的坐标为 2 3 6 在直线ac上方的抛物线上 是否存在一点m 使 mac的面积最大 若存在 请求出点m的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 要使 mac面积最大 可先把 mac的面积用含字母的式子表示出来 再利用二次函数的性质讨论其最值 进而求得m点坐标 mn x2 2x 3 x 3 x2 3x s mac s amn s cmn mn 3 x2 3x x 2 0 3 x 0 当x 时 s mac的最大值为 当x 时 点m的坐标为 1 解决二次函数与三角形面积最值综合题 常见方法有 1 若三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴 首先计算这条边的两个顶点的坐标 然后利用坐标的差表示这条边的长 若平行于x轴 用右边的点的横坐标减去左边点的横坐标可得边长 若平行于y轴 用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标可得边长 再确定另一顶点到这条边的距离 一般是另一点的横 纵 坐标与已知边的点的横 纵 坐标的差 然后运用三角形面积公式计算 2 若三角形的边都不与坐标轴平行 解决问题的一般步骤为 根据三角形两定点确定这条边所在直线的解析式 过动点作坐标轴的平行线 与这条直线交于一点 分别用抛物线及直线的解析式表示出这两个点的坐标 并表示它们之间的距离 以所求距离为底边 以两定点的坐标差的绝对值为高 列出三角形面积的函数关系式 根据二次函数的性质确定最值 对应的点坐标 2 对于二次函数与四边形面积的综合题 常常会将其转化为三角形面积进行计算 7 点h是抛物线第二象限内一点 作hg x轴 试确定h点的位置 使 hga的面积被直线ac分为相等的两部分 思维教练 设hg与ac相交于点i hga要被分成面积相等的两部分 由于高ag一样 只需hi与ig相等即可 可设h点坐标 分别表示出线段hi与ig 利用其相等列方程求解即可 解 如解图 设hg与ac相交于点i h x x2 2x 3 则i x x 3 则hi x2 2x 3 x 3 x2 3x ig x 3 当hi ig时 ahi和 aig等底同高则面积相等 即 hga的面积被直线ac分为相等的两部分 x2 3x x 3 整理得x2 4x 3 0 解得x1 1 x2 3 不合题意 舍去 点h的坐标为 1 4 例2题解图 8 点h是抛物线第二象限内一点 作hg x轴 试确定h点的位置 使 hga的面积被直线ac分为1 2的两部分 思维教练 同上 利用hi与ig为1 2或2 1关系列方程求解即可 解 如解图 由 7 可知 可分两种情况讨论 若h1i1 2i1g1 则有 x2 3x 2 x 3 整理得x2 5x 6 0 解得x1 2 x2 3 不合题意 舍去 h1 2 3 例2题解图 若2h2i2 i2g2 则有2 x2 3x x 3 整理得2x2 7x 3 0 解得x1 x2 3 不合题意 舍去 h2 综上所述 点h的坐标为h1 2 3 或h2 与图形面积数量关系有关的问题1 如果是面积的倍数关系 一般需要用等积变形来解决 即过三角形的一个顶点作它对边的平行线或是从图形中寻找出这样的直线 利用等底同高来进行等积变形 从而实现三角形顶点的转移 2 如果过某个顶点的线段平分三角形的面积 则该线段一定过该顶点对边的中点 9 在对称轴左侧的抛物线上 是否存在点r 使得s rbc 若存在 求出点r的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 先假设存在点r 使得s rbc 过点r作bc的垂线交bc于点k 可得bc rk 此时点r k坐标不容易计算 可考虑作rh y轴与bc的延长线相交于点f 利用 rkf与 boc相似 得到rf ob bc rk 9 设出r点坐标利用此关系式列方程求解 bc rk bo rf rf 9 由b 1 0 c 0 3 可求出直线bc的解析式为y 3x 3 设r x x2 2x 3 则f x 3x 3 rf 3x 3 x2 2x 3 x2 x x2 x 9 解得x1 x2 不合题意 舍去 r 存在点r 使s rbc 点r的坐标为 类型三与特殊三角形有关的问题 典例精讲 例3如图 在平面直角坐标系xoy中 抛物线与x轴交于点a 1 0 b 3 0 与y轴交于点c 直线bc的解析式为y kx 3 抛物线的顶点为d 对称轴与直线bc交于点e 与x轴交于点f 1 求抛物线解析式及点d e的坐标 思维教练 要求抛物线的解析式 根据题目需知经过抛物线上的三点a b c的坐标 由直线bc解析式得到点c的坐标 结合题干 抛物线与x轴交于点a b 故设抛物线的解析式为y a x 1 x 3 将点c的坐标代入 即可求解 解 直线bc的解析式为y kx 3 令x 0 得y 3 点c的坐标为 0 3 设抛物线的解析式为y a x 1 x 3 将c 0 3 代入 得 3a 3 解得a 1 抛物线的解析式为y x2 2x 3 转化为顶点式为y x 1 2 4 抛物线的顶点d的坐标为 1 4 对称轴为x 1 将点b 3 0 代入直线y kx 3 得0 3k 3 解得 k 1 直线bc的解析式为y x 3 令x 1 得y 2 点e的坐标为 1 2 2 判断 caf的形状 并说明理由 思维教练 先确定点f的坐标 得到of oa 再由co垂直平分af即可得出结论 解 caf是等腰三角形 理由如下 抛物线的对称轴为x 1 点f的坐标为 1 0 ao of 1 即o为af的中点 co af co是线段af的垂直平分线 ca cf caf是等腰三角形 3 x轴上是否存在点g 使得 acg是以ac为底边的等腰三角形 若存在 求出点g的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 由 acg是以ac为底边的等腰三角形可考虑作ac的垂直平分线 与x轴交点为g 设出点g的坐标 然后表示出ag og oc和cg 列关系式即可求解 思维教练 由 1 知抛物线解析式 对称轴及顶点d的坐标 过点p作ph dq于点h 设出h点坐标 由等边三角形的性质可得ph dh 可得h点坐标 从而求得点p的坐标 由抛物线的对称性可知点p在对称轴两侧各有一点 求得符合条件的另一点p 的坐标即可 解得 t1 t2 1 舍 此时点p的坐标为 当点p 在dq的左侧时 根据对称性可知 此时点p 的坐标为 综上 存在点p使得 pdq是等边三角形 此时点p的坐标为 或 思维教练 要使 bch是直角三角形 需从直角考虑 分 hcb 90 hbc 90 chb 90 三种情况讨论 借助三角形相似对应边成比例即可得出结论 综上所述 存在点h使得 bch是直角三角形 点h的坐标为h1 1 4 h2 1 2 h3 1 h4 1 思维教练 要使 pcq是等腰直角三角形 根据等腰直角三角形的性质 有一个角为直角 一个锐角为45 结合 cbo bco 45 从而考虑分三种情况 pcq 90 pq y轴 cpq 90 cp x轴 cqp 90 cp x轴 分别讨论即可得出结果 类型四与特殊四边形有关的问题 典例精讲 思维教练 由a b c三点的坐标 设抛物线解析式为y ax2 bx c 将三点代入求解即可 将抛物线解析式转化为顶点式 可得顶点m的坐标和对称轴l 解 1 设抛物线解析式为y ax2 bx c 将点a 5 0 b 1 0 c 0 5 代入 得解得 抛物线的解析式为y x2 6x 5 将解析式化为顶点式得y x 3 2 4 顶点m的坐标为 3 4 对称轴l为直线x 3 思维教练 要判定四边形abc c的形状 根据平移的性质 点a平移到点b的规律与点c平移到点c 的规律一致 即可得到点c 坐标 再由ab cc ab cc 判定四边形的形状 思维教练 以点a b c c 为顶点的四边形为平行四边形 已知线段ab和ac 可分两种情况讨论 1 当线段ab为平行四边形的边时 可利用平移的性质 将线段ab沿ac平移 使点a与点c重合 将线段bc沿ba平移 使点b与点a重合 2 当线段ab为平行四边形的对角线 ac为平行四边形的边时 利用平移的性质 将线段ac沿着cb边平移 使点c与点b重合 此时点c 即为所求 思维教练 根据点k j分别为抛物线和直线ac上的点 设出点k j坐标 由kj me 从而只需kj me即可得到平行四边形 再根据点k j坐标及其相对位置 求出点k坐标 解 存在 理由如下 如解图 设点k的坐标为 e e2 6e 5 kj y轴 交ac于j 直线ac的解析式为y x 5 设点j的坐标为 e e 5 m 3 4 e 3 2 me 6 me y轴 kj y轴 kj me 要得到平行四边形 只需kj me 6 例4题解图 i 当点k在点j的下方时 kj e 5 e2 6e 5 e2 5e 则 e2 5e 6 解得e1 2 e2 3 则k1 2 3 k2 3 4 舍去 ii 当点k在点j的上方时 kj e2 6e 5 e 5 e2 5e 则e2 5e 6 解得e3 6 e4 1 则k3 6 5 k4 1 12 综上所述 满足条件的点k有3个 坐标分别为 2 3 6 5 1 12 5 设点n是抛物线上一点 点