高中数学 第二章 推理与证明本章整合课件 新人教B版选修22.ppt

本章整合 第二章推理与证明 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 然后提出猜想的推理 我们统称为合情推理 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 归纳推理的思维过程大致如下 实验 观察 概括 推广 猜测一般性结论类比推理的思维过程大致如下 观察 比较 联想 类推 猜测新的结论 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 应用某商场橱窗里用乒乓球堆成若干堆 正三棱锥 形的展品 其中第1堆只有一层 就一个球 第2 3 4 堆最底层 第一层 分别按如图所示方式固定摆放 从第二层开始 每层的小球自然垒放在下一层之上 第n堆第n层就放一个乒乓球 以f n 表示第n堆的乒乓球总数 则f 3 f n 答案用n表示 提示 解题的关键在于寻找递推关系式 然后由递推关系式求通项 而第n堆的变化规律 结合图形 利用不完全归纳法可得 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题二演绎推理三段论推理是演绎推理的主要形式 演绎推理具有如下特点 1 演绎的前提是一般性原理 演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中 2 演绎推理中 前提与结论之间存在必然的联系 演绎推理是数学中严格证明的工具 3 演绎推理是一种收敛性的思维方法 它创造性较少 但却具有条理清晰 令人佩服的论证作用 有助于科学的理论化和系统化 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 提示 解题的关键是理解好 距离坐标 的定义 解析 根据平面轨迹的知识 可知到定直线距离为定长 非零 的点的轨迹是两条平行直线 当p q 0时满足条件的点是l1与l2的交点 因为l1与l2的交点只有一个 所以 距离坐标 为 0 0 的点只有一个 故 正确 当pq 0 且p q 0时 p q有且只有一个为0 即p 0 q 0或p 0 q 0 因p q为常数 满足条件的点是l1与平行l2且距离l2为q的直线的交点 或l2与平行l1且距离l1为p的直线的交点 故 正确 当pq 0时 p 0 且q 0 满足条件的点是平行l1且距离l1为p的两条直线与平行l2且距离l2为q的两条直线的交点 有4个 故 正确 答案 d 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题三直接证明综合法和分析法的区别与联系 分析法的特点是从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是要寻找它的充分条件 综合法的特点是从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是寻找它的必要条件 分析法与综合法各有其特点 有些具体的证明题 用分析法或综合法都可以证明出来 人们往往选择比较简单的一种 事实上 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论p 若由q可以推出p成立 就可以证明结论成立 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 应用2已知数列 an 的通项公式an 0 n n 它的前n项和记 1 求an与sn的解析式 2 试比较sn与3nan n n 的大小 提示 1 根据3 公差为1的等差数列可求出sn 再根据sn与an的关系求出an 2 先由归纳法得到sn与3nan的关系再证明 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 此不等式当n 4时成立 所以当n 4时 sn3nan 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题四反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性 从逻辑角度看 命题 若p 则q 的否定是 若p 则 q 由此进行推理 如果发生矛盾 那么就说明 若p 则 q 为假 从而可以导出 若p 则q 为真 从而达到证明的目的 反证法是高中数学中一种重要的证明方法 在不等式和立体几何的证明中经常用到 在高考题中也经常出现 它所反映出的 正难则反 的解决问题的思想方法更为重要 反证法主要证明否定性 唯一性命题 至多 至少型问题 几何问题 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 所以 在 abd中 ad bd 从而 b bad 同理 c cad 所以 b c bad cad 即 b c bac 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 因为 b c 180 bac 所以180 bac bac 则 bac 90 与题设矛盾 由 1 和 2 知假设不成立 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 应用2如图 已知两条直线l m o l m l m a 求证 l与m中至少有一条与 相交 提示结论以 至少 形式出现 直接证明较困难 可考虑用反证法 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 证明假设l m都不与 相交 它们都不在平面 内 l 且m 又l m a l a m a l m 这与已知l m是相交直线矛盾 因此 l与m中至少有一条与 相交 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题五观察 猜测 归纳 证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型 此类问题未给出问题结论 需要由特殊情况入手 猜想 证明一般结论 它的解题思路是 从所给条件出发 通过观察 试验 归纳 猜想 探索出结论 然后再对归纳 猜想的结论进行证明 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 应用1在1与2之间插入n个正数a1 a2 a3 an 使这 n 2 个数成等比数列 又在1与2之间插入n个正数b1 b2 b3 bn 使这 n 2 个数成等差数列 记an a1a2a3 an bn b1 b2 b3 bn 1 求数列 an 和 bn 的通项 2 当n 7 n n 时 比较an与bn的大小 并证明你的结论 提示利用等差 等比数列的性质可求数列 an bn 的通项 应用归纳 猜想 证明的方法求解第 2 问 解 1 因为1 a1 a2 a3 an 2成等比数列 所以a1an a2an 1 a3an 2 akan k 1 1 2 2 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 应用2已知数列 an 其通项an n n 1 2 问是否存在这样的等差数列 bn 使an 1 b1 2 b2 3 b3 n bn对一切n n 都成立 并证明你的结论 提示此题是一类存在性问题 解决存在性问题的一般思路为 首先假设所探求的对象存在 然后以假设为前提条件进行逻辑推理或周密运算 如果由此得到矛盾 就说明假设不成立 最后得到否定的结论 如果得不到矛盾 就得到 肯定 的结论 即得到存在的结果 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 解假设存在符合条件的等差数列 bn 令n 1 则a1 4 b1 4 令n 2 则a2 18 b1 2b2 4 2b2 b2 7 同理可得b3 10 b4 13 于是猜想bn 3n 1 n n 满足条件 则n n 1 2 1 4 2 7 3 10 n 3n 1 证明如下 1 当n 1时 左边 1 1 1 2 4 右边 1 3 1 1 4 等式成立 2 假设当n k k 1 k n 时 等式成立 即k k 1 2 1 4 2 7 3 10 k 3k 1 那么当n k 1时 1 4 2 7 3 10 k 3k 1 k 1 3 k 1 1 k k 1 2 k 1 3 k 1 1 k 1 k2 4k 4 k 1 k 1 1 2 也就是说当n k 1时 等式也成立 根据 1 和 2 可知存在满足条件的等差数列 bn 使得等式对一切n n 都成立 其中bn 3n 1 n n 1 2 3 4 1 江西高考 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10 a 28b 76c 123d 199解析 利用归纳法 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 3 1 a4 b4 4 3 7 a5 b5 7 4 11 a6 b6 11 7 18 a7 b7 18 11 29 a8 b8 29 18 47 a9 b9 47 29 76 a10 b10 76 47 123 规律为从第三组开始 其结果为前两组结果的和 答案 c 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 陕西高考 观察下列等式1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第n个等式为 1 2 3 4 解析 观察等式左侧 第一行有1个数是1 第二行是3个连续自然数的和 第一个数为2 第三行是5个连续自然数的和 第一个数为3 第四行是7个连续自然数的和 第一个数为4 依此规律 第n行是 2n 1 个连续自然数的和 其中第一个数为n 第n行左侧为n n 1 n 2 n 2n 2 n n 1 n 2 3n 2 等式右侧 第一行1 12 第二行9 32 第三行25 52 第四行49 72 依此规律 第n行是 2n 1 2 故第n个等式为n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 答案 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 1 2 3 4 4 湖北高考 1 已知函数f x rx xr 1 r x 0 其中r为有理数 且0 r 1 求f x 的最小值 2 试用 1 的结果证明如下命题 3 请将 2 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当 为正有理数时 有求导公式 x x 1 1 2 3 4 解 1 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 当01时 f x 0 所以f x 在 1 内是增函数 故函数f x 在x 1处取得最小值f 1 0