2021高三数学北师大版（文）：圆锥曲线中的范围、最值问题含解析.doc

教学资料范本2021高三数学北师大版（文）：圆锥曲线中的范围、最值问题含解析编 辑：_时 间：_第八节圆锥曲线中的范围、最值问题(对应学生用书第165页)考点1范围问题圆锥曲线中范围问题的五个解题策略解决有关范围问题时、先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)、寻找不等关系、其方法有：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系、从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围、求新参数的范围、解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式、从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式、从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数、求其值域、从而确定参数的取值范围(20xx大连模拟)设椭圆1(ab0)的左焦点为F1、离心率为、点F1为圆M：x2y22x150的圆心(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点、过点F2且与直线l垂直的直线l1与圆M交于C、D两点、求四边形ACBD面积的取值范围解(1)由题意知、则a2c.圆M的标准方程为(x1)2y216、从而椭圆的左焦点为F1(1,0)、即c1.所以a2.由b2a2c2、得b.所以椭圆的方程为1.(2)由(1)可知椭圆右焦点F2(1,0)当直线l与x轴垂直时、此时斜率k不存在、直线l：x1、直线l1：y0、可得|AB|3、|CD|8、四边形ACBD的面积为12.当直线l与x轴平行时、此时斜率k0、直线l：y0、直线l1：x1、可得|AB|4、|CD|4、四边形ACBD的面积为8.当直线l与x轴不垂直也不平行时、设直线l的方程为yk(x1)(k0)、A(x1、y1)、B(x2、y2)联立得(4k23)x28k2x4k2120.显然0、且x1x2、x1x2.所以|AB|x1x2|.过点F2(1,0)且与直线l垂直的直线l1：y(x1)、则圆心到直线l1的距离为、所以|CD|24.故四边形ACBD的面积S|AB|CD|12.可得当直线l与x轴不垂直时、四边形ACBD面积的取值范围为(12,8)综上、四边形ACBD面积的取值范围为12,8过点F2的直线l与l1、有斜率不存在的情况、应分类求解教师备选例题(20xx石家庄模拟)已知抛物线C：y22px(p0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|2x0.(1)求抛物线C的方程；(2)过点P引圆M：(x3)2y2r2(0r)的两条切线PA、PB、切线PA、PB与抛物线C的另一交点分别为A、B、线段AB中点的横坐标记为t、求t的取值范围解(1)由抛物线定义、得|PF|x0、由题意得、解得所以抛物线C的方程为y24x.(2)由题意知、过P引圆(x3)2y2r2(0r)的切线斜率存在且不为0、设切线PA的方程为yk1(x1)2、则圆心M(3,0)到切线PA的距离dr、整理得、(r24)k8k1r240.设切线PB的方程为yk2(x1)2、同理可得(r24)k8k2r240.所以k1、k2是方程(r24)k28kr240的两根、k1k2、k1k21.设A(x1、y1)、B(x2、y2)、由得、k1y24y4k180、由根与系数的关系知、2y1、所以y124k22、同理可得y24k12.(8分)t2(kk)2(k1k2)12(k1k2)22(k1k2)3、设k1k2、则4、2)、所以t2223、其图像的对称轴为2、所以9t37.(20xx郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A(0、1)、焦点在x轴上、离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M、N.当|AM|AN|时、求m的取值范围解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)、联立解得故椭圆的标准方程为y21.(2)设P(x0、y0)为弦MN的中点、M(x1、y1)、N(x2、y2)联立得(4k21)x28kmx4(m21)0.则x1x2、x1x2.(8km)216(4k21)(m21)0、所以m214k2.所以x0、y0kx0m.所以kAP.又|AM|AN|、所以APMN、则、即3m4k21.把代入得m23m、解得0m3.由得k20、解得m.综上可知、m的取值范围为.考点2最值问题求解圆锥曲线中最值问题的两种方法(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)、再求这个函数的最值、最值通常用基本不等式法、配方法、导数法求解利用基本不等式求最值已知抛物线E：y22px(0p10)的焦点为F、点M(t,8)在抛物线E上、且|FM|10.(1)求抛物线E的方程；(2)过点F作互相垂直的两条直线、与抛物线分别相交于点A、B、C、D、P、Q分别为弦AB、CD的中点、求FPQ面积的最小值解(1)抛物线E的准线方程为x.由抛物线的定义可得|FM|t10、故t10.由点M在抛物线上、可得822p、整理得p220p640、解得p4或p16、又0p10、所以p4.故抛物线E的方程为y28x.(2)由(1)知抛物线E的方程为y28x、焦点为F(2,0)、由已知可得ABCD、所以两直线AB、CD的斜率都存在且均不为0.设直线AB的斜率为k、则直线CD的斜率为、故直线AB的方程为yk(x2)联立方程组、消去x、整理得ky28y16k0.设A(x1、y1)、B(x2、y2)、则y1y2、因为P(xP、yP)为弦AB的中点、所以yP(y1y2)、由yPk(xP2)得xP22、故P.同理可得Q(4k22、4k)故|QF|4、|PF|.因为PFQF、所以FPQ的面积S|PF|QF|4888216、当且仅当|k|、即k1时、等号成立所以FPQ的面积的最小值为16.求点Q的坐标时、可根据直线AB与CD的斜率关系、把点P坐标中的k换成、即可得到点Q的坐标教师备选例题已知点A(0、2)、椭圆E：1(ab0)的离心率为、F是椭圆E的右焦点、直线AF的斜率为、O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点当OPQ的面积最大时、求l的方程解(1)设F(c,0)、由条件知、得c.又、所以a2、b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意、故设l：ykx2、P(x1、y1)、Q(x2、y2)将ykx2代入y21、得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0、即k2时、x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d、所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t、则t0、SOPQ.因为t4、当且仅当t2、即k时等号成立、且满足0.所以、当OPQ的面积最大时、l的方程为yx2或yx2.利用二次函数求最值(20xx合肥模拟)已知直线l：xy10与焦点为F的抛物线C：y22px(p0)相切(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A、B两点、求A、B两点到直线l的距离之和的最小值解(1)直线l：xy10与抛物线C：y22px(p0)相切、联立消去x得y22py2p0、从而4p28p0、解得p2或p0(舍)抛物线C的方程为y24x.(2)由于直线m的斜率不为0、可设直线m的方程为tyx1、A(x1、y1)、B(x2、y2)联立消去x得y24ty40、0、y1y24t、即x1x24t22、线段AB的中点M的坐标为(2t21,2t)设点A到直线l的距离为dA、点B到直线l的距离为dB、点M到直线l的距离为d、则dAdB2d22|t2t1|2、当t时、A、B两点到直线l的距离之和最小、最小值为.本例第(2)问的关键是根据梯形中位线定理得到dAdB2d.教师备选例题(20xx齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F、过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A、B两点、且|AB|8.(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C不同于R(1,2)的D、E两点、若直线DR、ER分别交直线l：y2x2于M、N两点、求|MN|取最小值时直线DE的方程解(1)由题意知、设A(xA、yA)、B(xB、yB)、F、直线AB的方程为xy、联立得y22pyp20、解得y(1)p.则|AB|4p8、p2、抛物线的方程为y24x.(2)设D(x1、y1)、E(x2、y2)、由题意知、直线DE的斜率存在且不为0.设直线DE的方程为xm(y1)1(m0)、联立消去x得y24my4(m1)0、y1y24m、y1y24(m1)|y2y1|4.设直线DR的方程为yk1(x1)2、联立解得xM.又k1、xM.同理得xN.|MN|xMxN|22.令m1t、t0、则mt1.|MN|222.当t2、m1时、|MN|取得最小值此时直线DE的方程为x(y1)1、即xy20.(20xx黄山模拟)已知点M(1、n)在抛物线y22px(p0)上、且点M到抛物线焦点的距离为2.直线l与抛物线交于A、B两点、且线段AB的中点为P(3,2)(1)求直线l的方程(2)点Q是直线yx上的动点、求的最小值解(1)由题意知、抛物线的准线方程为x、所以12、解得p2、所以抛物线的方程为y24x.设A(x1、y1)、B(x2、y2)、则y4x1、y4x2、则yy4(x1x2)、即1、所以直线l的方程为y2x3、即xy10.(2)因为点A、B都在直线l上、所以A(x1、x11)、B(x2、x21)、设Q(m、m)、(x1m、x1(m1)(x2m、x2(m1)(x1m)(x2m)x1(m1)x2(m1)x1x2m(x1x2)m2x1x2(m1)(x1x2)(m1)22x1x2(2m1)(x1x2)m2(m1)2、联立得x26x10、则x1x26、x1x21、所以2(2m1)6m2m22m12m210m32、当m时、取得最小值、为.利用导数求最值(20xx浙江高考)如图、已知抛物线x2y、点A、B、抛物线上的点P(x、y).过点B作直线AP的垂线、垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k、kx、因为x、所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)、|PQ|(xQx)、所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3、因为f(k)(4k2)(k1)2、所以f(k)在区间上单调递增、上单调递减、因此当k时、|PA|PQ|取得最大值.|PA|PQ|用含k的高次多项式表示、宜用导数求最值在平面直角坐标系xOy中、抛物线C：x22py(p0)的焦点为F、点A在C上、若|AO|AF|.(1)求