高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象课件2 新人教A版必修4.ppt

1 4 3正切函数的性质与图象 函数y tanx的图象和性质 r 奇函数 1 判一判 正确的打 错误的打 1 正切函数的定义域和值域都是r 2 正切函数在r上是增加的 3 正切曲线是中心对称图形 有无数个对称中心 4 正切曲线有无数条对称轴 其对称轴是 解析 1 错误 正切函数的定义域为值域为r 2 错误 正切函数在上是增加的 而在整个定义域上不具备一致的单调性 3 正确 点是其对称中心 4 错误 正切曲线没有对称轴 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 函数的定义域为 2 函数y tan3x的最小正周期是 3 函数的单调增区间是 解析 1 由正切函数的相关知识得 即故所求函数的定义域为答案 2 因为所以为函数y tan3x的一个周期 且为最小的正周期 答案 3 由正切函数的单调性知解得答案 要点探究 知识点1正切函数的性质1 正切函数常用的三条性质 1 对称性 正切函数图象的对称中心是不存在对称轴 2 单调性 正切函数在每个区间内是单调递增的 但不能说其在定义域内是递增的 3 渐近线 直线x k k z 称为正切曲线的渐近线 渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分 正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线 在渐近线左侧向上无限接近渐近线 2 对函数y atan x k 0 周期的两点说明 1 一般地 函数y atan x k 0 的最小正周期 2 当 0时 函数y atan x k具有周期性 最小正周期是 知识拓展 函数y atan x a 为常数且 0 的对称性令得所以函数的对称中心为 微思考 利用正切函数的单调性比较两数的大小的关键点是什么 提示 是如何利用函数的周期性或诱导公式将两个角转化到同一个单调区间内 即时练 1 函数的定义域是 解析 选b 由题意即所以所以故选b 2 函数的值域是 解析 因为所以 1 tanx 1 即 1 1 答案 1 1 3 函数的最小正周期为 解析 由于故函数的最小正周期为答案 3 知识点2正切函数的图象1 利用正切线作函数y tanx x 的图象的步骤 1 作直角坐标系 并在y轴左侧作单位圆 2 把单位圆右半圆分成8部分 分别在单位圆中作出正切线 3 描点 横坐标是一个周期的8等分点 纵坐标是相应的正切线 4 连线 2 三点两线法 作正切曲线的简图 1 三点 分别为 k 0 其中k z 两线为直线x k 和直线x k 其中k z 两线也称为正切曲线的渐近线 即无限接近但不相交 2 作简图时 只需先作出一个周期中的两条渐近线 然后描出三个点 用光滑的曲线连接得一条曲线 最后平行移动至各个周期内即可 微思考 1 正切函数图象中相邻两条曲线的间隔是多少 提示 根据正切函数的图象及其周期性可知 两条曲线的间隔是 2 应按怎样的思路解三角不等式 提示 求解三角不等式 既可以用三角函数线 又可以用三角函数图象 先在一个周期内找到满足不等式的解 再根据周期性加上周期的整数倍即可得完整解集 同时要注意定义域对解集的限制 即时练 1 观察正切函数曲线 写出满足下列条件的x的集合 1 满足tanx 0的集合为 2 满足tanx0的集合为 解析 1 1 易知曲线上满足tanx 0的x值分别为 2 0 即 x x k k z 答案 x x k k z 2 曲线上满足tanx0的点在x轴上方 即答案 2 作出下列函数的简图 1 y tan x 2 y tanx 3 y tan x 解析 1 中函数图象与正切函数的图象关于x轴对称 函数图象如图 2 中需要把正切函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方 函数图象如图 3 中函数是偶函数 把正切函数图象位于y轴右侧部分不变 然后把右侧部分图象沿y轴翻折即得左侧部分的图象 函数图象如图 题型示范 类型一正切函数单调性的应用 典例1 1 2014 酒泉高一检测 tan1 tan2 tan3 tan4从小到大的排列顺序为 2 2014 延安高一检测 求函数的单调区间 解题探究 1 题 1 中的1 2 3 4是否在函数y tanx的同一个单调区间内 若不在 如何转化 2 题 2 中的函数如何将x的系数转化为正数 探究提示 1 函数y tanx在区间上是单调增函数 2 3 4 由tan1 tan 1 1 故可将tan1转化为tan 1 后进行比较 2 利用函数y tanx为奇函数 则可得 自主解答 1 y tanx在区间上是单调增函数 且tan1 tan 1 又所以tan2 tan3 tan4 tan1 答案 tan2 tan3 tan4 tan1 2 y 由得 所以的减区间为 方法技巧 1 运用正切函数单调性比较大小的方法 1 运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内 2 运用单调性比较大小关系 2 求函数y atan x a 都是常数 的单调区间的方法 1 若 0 由于y tanx在每一个单调区间上都是增函数 故可用 整体代换 的思想 令解得x的范围即可 2 若 0 可利用诱导公式先把y atan x 转化为y atan x atan x 即把x的系数化为正值 再利用 整体代换 的思想 求得x的范围即可 变式训练 2014 大理高一检测 函数的单调递增区间为 解析 选c 由得 x k z 所以增区间为 补偿训练 若函数则f 1 f 0 f 1 按从小到大的顺序是 解析 又利用正切函数的单调性可得f 1 f 1 f 0 答案 f 1 f 1 f 0 类型二正切函数奇偶性与周期的应用 典例2 1 2014 曲靖高一检测 以下函数为奇函数的是 a y tan x b y sin x c y cos x d y tanx 2 2014 银川高一检测 函数的周期为 3 判断下列函数的奇偶性 f x 3xtan2x 2x4 解题探究 1 题 1 中的选项a如何进行化简 2 题 2 中求该函数的周期的根据是什么 3 题 3 中可按照怎样的思路来判断函数的奇偶性 探究提示 1 利用诱导公式y tan x tanx 2 可利用公式求得周期 3 先求出函数的定义域 再判断此定义域是否关于原点对称 然后根据奇偶函数的定义寻找f x 与f x 的关系 自主解答 1 选a y tan x tanx为奇函数 2 由于 3 故函数的周期为答案 3 定义域为关于原点对称 又f x 3 x tan2 x 2 x 4 3xtan2x 2x4 f x 所以是偶函数 定义域为关于原点对称 f x 又f x sin x tan x sinx tanx f x 所以它是奇函数 方法技巧 与正切函数有关的函数的周期性 奇偶性问题的解决策略 1 一般地 函数y atan x 的最小正周期为常常利用此公式来求周期 2 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域 判断其是否关于原点对称 若不对称 则该函数无奇偶性 若对称 再判断f x 与f x 的关系 变式训练 2014 遵义高一检测 求直线y 2与正切曲线y tan3x相交的相邻两点间的距离 解题指南 直线y 2与正切曲线y tan3x相交的相邻两点间的距离即为该函数的一个周期 求出该函数的周期即可 解析 由题意直线y 2与正切曲线y tan3x相交的相邻两点间的距离是一个周期 又所以两点间的距离为 补偿训练 判断的奇偶性 解析 由得tanx 1或tanx 1 所以定义域为关于原点对称 f x 所以此函数为奇函数 易错误区 忽视正切函数的单调性致误 典例 2014 贵阳高一检测 设则m与n的大小关系为 a mnd 不能确定 解析 选c 因为正切函数为周期函数 所以又因为在上正切函数是单调递增的 所以即即m n 常见