洛伦兹力与现代科技

洛伦兹力与现代科技 例1如图所示 在电视机中的铁环上用绝缘导线缠绕两个相同的线圈a和b a b串联后通入方向如图所示的电流I 一束电子从纸里经铁环中心射向纸外时 电子将 A 向下偏转B 向上偏转C 向左偏转D 向右偏转 B 解 运用安培定则 判断铁环中心处的磁场方向为向左 再运用左手定则 判断电子将向上偏转 一 运动电荷在磁场中的运动规律 F洛 0匀速直线运动 F洛 Bqv匀速圆周运动 F洛 Bqv 等距螺旋 0 90 在只有洛仑兹力的作用下 一 运动电荷在磁场中的运动规律 垂直磁场方向 R mvsin qBT 2 m qB平行磁场方向 螺距d 2 mcos qB 直线加速器 加速器分类 原理 带电粒子受电场力作用 当场力对粒子做正功 使其获得高能量缺点 电压不可能无限提高 特别是装置的耐压程度有一定的限制 占有得空间范围大 人类对速度的渴望从未停止过 经过前辈们的不懈研究探索 光速幸运地成为了我们世界的极限速度 但单就目前人类的科技水平 想要在宏观世界中接近或达到光速就好比是天方夜谭 不过在微观世界中 由于回旋加速器的出现 粒子已经能被加速到很高的速度 因此 回旋加速器被广泛应用于科研 医疗等诸多方面 且随着人们需求的增加 可以加速多种粒子的加速器也应运而生 超灵敏小型回旋加速器 2 回旋加速器 回旋加速器 功能回旋加速器是利用磁场使带电粒子作回旋运动 在运动中经高频电场反复加速的装置 主要结构是在磁极间的真空室内有两个半圆形的金属扁盒 D形盒 隔开相对放置 D形盒上加交变电压 其间隙处产生交变电场 置于中心的粒子源产生带电粒子射出来 受到电场加速 在D形盒内不受电场 仅受磁极间磁场的洛伦兹力 在垂直磁场平面内作圆周运动 回旋加速的条件如果D形盒上所加的变交电压的频率恰好等于粒子在磁场中作圆周运动的频率 则粒子绕行半圈后正赶上D形盒上极性变化 粒子仍处于加速状态 由于上述粒子绕行半圈的时间与粒子的速度无关 因此粒子每绕行半圈受到一次加速 绕行半径增大 经过很多次加速 粒子沿螺旋形轨道从D形盒边缘引出 能量可达几十兆电子伏特 MeV 如何使交变电压的频率恰好等于粒子在磁场中作圆周运动的频率 运动的带电粒子在磁场中所受的洛仑兹力为 F Bqv带电粒子做圆周运动的向心力为 F mv2 R将两式联立得 mv2 R BqvR mv Bq则粒子做圆周运动的周期为 T 2 R vT 2 m Bq由此可见 粒子运动的周期与其速度 半径是无关的 我们只要每隔半个周期调整两极板间的电压方向 就可以实现对带电粒子的不断加速 这也是为什么要使用交流电的原因 例2回旋加速器的D形盒的半径为R 用来加速质量为m 带电量为q的质子 使质子由静止加速到能量为E后 由A孔射出 求 1 加速器中匀强磁场B的方向和大小 2 设两D形盒间的距离为d 其间电压为U 加速到上述能量所需回旋周数 3 加速到上述能量所需时间 不计通过缝隙的时间 解 1 由qvB mv2 R E 1 2 mv2 B的方向垂直于纸面向里 2 质子每加速一次 能量增加为qU 每周加速两次 所以n E 2qU 3 周期T 2 m qB且周期与半径r及速度v都无关 t nT E 2qU 2 m qB mE q2UB 例4串列加速器是用来产生高能离子的装置 图中虚线框内为其主体的原理示意图 其中加速管的中部b处有很高的正电势U a c两端均有电极接地 电势为零 现将速度很低的负一价碳离子从a端输入 当离子到达b处时 可被设在b处的特殊装置将其电子剥离 成为n价正离子 而不改变其速度大小 这些正n价碳离子从c端飞出后进入一与其速度方向垂直的 磁感强度为B的匀强磁场中 在磁场中做半径为R的圆周运动 已知碳离子的质量m 2 0 10 26kg U 7 5 105V B 0 50T n 2 基元电荷e 1 6 10 19C 求R 设碳离子到达b处时的速度为v1 从c端射出时的速度为v2 由能量关系得 1 2 mv12 eU 1 2 mv22 1 2 mv12 neU 进入磁场后 碳离子做圆周运动 可得 nev2B mv22 R 由以上三式可得 由 式及题给数值可解得R 0 75m 解 质谱仪 电场和磁场都能对带电粒子施加影响 电场既能使带电粒子加速 又能使带电粒子偏转 磁场虽不能使带电粒子速率变化 但能使带电粒子发生偏转 质谱仪 利用磁场对带电粒子的偏转 由带电粒子的电荷量 轨道半径确定其质量的仪器 叫做质谱仪 3 质谱仪的构造 带电粒子注入器 加速电场 U 速度选择器 E B1 偏转磁场 B2 照相底片 4 质谱仪工作原理 例5质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具 它的构造原理如图 离子源S产生一个质量为m 电荷量为q的正离子 离子产生出来时速度很小 可以看做是静止的 离子产生出来后经过电压U加速 进入磁感应强度为B的匀强磁场 沿着半圆周运动而达到记录它的照相底片P上 测得它在P上的位置到入口处S1的距离为x 则下列说法正确的是 A 若某离子经上述装置后 测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x 则说明离子的质量m一定变大B 若某离子经上述装置后 测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x 则说明加速电压U一定变大C 若某离子经上述装置后 测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x 则说明磁感应强度B一定变大D 若某离子经上述装置后 测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x 则说明离子所带电荷量q可能变小 解 由加速过程得半径公式得故U m q B都有可能变化导致x 2r增大 所以ABC不对 霍尔效应的解释 外部磁场的洛仑兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧 在导体板的另一侧会出现多余的正电荷 从而形成横向电场对电子施加与洛仑兹力方向相反的静电力 当静电子与洛仑兹力达到平衡时 导体上下两侧之间就会形成稳定的电势差 设电流I是由电子的定向流动形成的 电子的平均定向速度为v 电量为e 回答下列问题 例7如图所示 厚度为h 宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的匀强磁场中 当电流通过导体板时 在导体板的上侧面A和下侧面A 之间会产生电势差 这种现象称为霍尔效应 实验表明 当磁场不太强时 电势差U 电流I和B的关系为U KIB d式中的比例系数K称为霍尔系数 1 达到稳定状态时 导体板上侧面A的电势 下侧面的电势 填高于 低于或等于 2 电子所受洛仑兹力的大小为 3 当导体板上下两侧之间的电势差为U时 电子所受静电力的大小为 4 由静电力和洛仑兹力平衡的条件 证明霍尔系数K 其中n代表导体板单位体积中电子的个数 解析 1 由题知电流是由电子向左的定向移动形成 电子在导体板中定向移动时要受洛仑兹力 由左手定则知电子向上侧移动 使得上侧出现多余负电荷 而下侧出现多余正电荷 形成两侧之间的电势差 结果上侧的电势低于下侧A 的电势 低于 BeV 2 由洛仑兹力公式知电子所受洛仑兹力的大小为f Bev 3 上 下两侧面可以看成是平行的 其间的电场认为是匀强电场 由匀强电场知其场强E U h所以电子所受静电力F电 Ee eU h又因电子达到稳定 电场力与洛仑兹力平衡 即F电 Bev 4 因电子稳定 电场力与洛仑兹力平衡 即eU h Bev得U hvB 且通过导体的电流强度I nevdh将U及I的表达式代入U KIB d 得K 1 ne这是一道综合性试题 它展示了一种新型发电机的原理 磁流体发电机原理 例8有一个未知的匀强磁场 用如下方法测其磁感应强度 如图所示 把一个横截面是矩形的铜片放在磁场中 使它的上 下两个表面与磁场平行 前 后两个表面与磁场垂直 当通入从左向右的电流I时 连接在上 下两个表面上的电压表示数为U 已知铜片中单位体积内自由电子数为n 电子质量m 带电量为e 铜片厚度 前后两个表面厚度 为d 高度 上 下两个表面的距离 为h 求磁场的磁感应强度B 解 达到动态平衡时有 qvB qE qU h B U vh I nevS nevhd vh I ned B Udne I 例9磁镜是一种利用磁场对带电粒子的运动进行约束的一种装置 其中磁感线的分布是两端收缩 中间发散 如图所示 试说明当带电粒子从A处垂直纸面方向进入磁镜时带电粒子的运动情况 解析 这种磁场应是以中心线为轴 将图示平面旋转而成的在空间分布的旋转体 带电粒子进入磁镜后应从受力分析入手 将力和运动分解为平行于中心轴线和垂直于中心轴线两个方向考虑 带电子粒子进入磁场后受磁场力F 将它分解为平行于中心轴线和垂直于中心轴线两个分力Fx Fy Fx使粒子沿平行于中心轴线方向向中部加速运动 Fy使粒子绕中心轴线做圆周运动 当粒子运动到磁镜左端时 Fx变为向右 所以带电粒子将在磁镜中做螺旋式往复运动 解题回顾 这一技术原理有着广泛的应用 例如 受控热核反应中需要容纳几百万高温的等离子体 如果用固体容器 是没有哪种材料能耐如此高温的 即使有 等离子体与容器壁接触就会冷却 也就没有足够能量来进行热核反应 因此目前所有受控热核反应都是用磁镜来对高温等离子体进行磁约束的 如国际上研究受控核聚变使用的托卡马克装置和我国的 中国环流器1号 和 中国环流器2号 均有类似磁镜的装置 在三维空间分析带电粒子运动的能力和方法 在分析许多现象中尤为重要 如示波器的原理等 一 洛伦兹力的应用回旋加速器 1 构造 如图所示 D1 D2是半圆金属盒 D形盒的缝隙处接 电源 D形盒处于匀强磁场中 交流 相等 磁感应强度B 无关 例1质量m 电量 q的粒子在环中沿顺时针方向做半径为R的圆周运动 A B为两块中心开有小孔的极板 原来电势都为零 每当粒子飞经A板时 A板电势升高为 U B板电势仍保持为零 粒子在两板间电场中得到加速 每当粒子离开B板时 A板电势又降为零 粒子在两板间隙的电场中一次次加速 绕行半径不变 1 设t 0时粒子静止在A板小孔处 在电场作用下加速 并绕行第一圈 求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能EKn 2 为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动 磁场必须周期性递增 求粒子绕行第n圈时的磁感应强度Bn 3 求粒子绕行n圈所需的总时间tn 设极板间距远小于R 4 在图 2 中画出A板电势与时间t的关系 从t 0起画到粒子第4次离开B板时即可 5 在粒子绕行的整个过程中 A板电势是否可以始终保持为 U 为什么 解 1 每通过AB一次 动能增加qU 通过n次获得的总动能为 EKn nqU 1 2mvn2 2 R mvn Bnq 3 每转一转的时间为 4 半径不变 速度越来越大 所以周期越来越小 加速的时间越来越小 u t图如右图 5 不可以 如始终为 U 则电场力对粒子运动一周所做的总功为零 12 2011天津 20分 回旋加速器在核科学 核技术 核医学等高新技术领域得到了广泛应用 有力地推动了现代科学技术的发展 1 当今医学成像诊断设备PET CT堪称 现代医学高科技之冠 它在医疗诊断中 常利用能放射电子的同位素碳11为示踪原子 碳11是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮14获得 同时还产生另一粒子 试写出核反应方程 若碳11的半衰期 为20min 经2 0h剩余碳11的质量占原来的百分之几 结果取2位有效数字 2 回旋加速器的原理如图 D1和D2是两个中空的半径为R的半圆金属盒 它们接在电压一定 频率为f的交流电源上 位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子 初速度可以忽略 重力不计 它们在两盒之间被电场加速 D1 D2置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中 若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P 求输出时质子束的等效电流I与P B R f的关系式 忽略质子在电场中运动的时间 其最大速度远小于光速 3 试推理说明 质子在回旋加速器中运动时 随轨道半径r的增大 同一盒中相邻轨道的半径之差是增大 减小还是不变 1 设碳11原有质量为m0 经过t 2 0h剩余的质量为mt 2 设质子质量为m 电荷量为q 质子离开加速器时速度大小为v 设在t时间内离开加速器的质子数为N 则质子束从回旋加速器输出时的平均功率 12 2011天津 20分 回旋加速器在核科学 核技术 核医学等高新技术领域得到了广泛应用 有力地推动了现代科学技术的发展 3 试推理说明 质子在回旋加速器中运动时 随轨道半径r的增大 同一盒中相邻轨道的半径之差是增大 减小还是不变 3 方法一 设k k N 为同一盒子中质子运动轨道半径的序数 相邻的轨道半径分别为rk rk 1 rk rk 1 在相应轨道上质子对应的速度大小分别为vk vk 1 D1 D2之间的电压为U 因U q m B均为定值 令 相邻轨道半径rk 1 rk 2之差 因为rk 2 rk 比较 说明随轨道半径r的增大 同一盒中相邻轨道的半径之差 减小 12 2011天津 20分 回旋加速器在核科学 核技术 核医学等高新技术领域得到了广泛应用 有力地推动了现代科学技术的发展 3 试推理说明 质子在回旋加速器中运动时 随轨道半径r的增大 同一盒中相邻轨道的半径之差是增大 减小还是不变 方法二 设k k N 为同一盒子中质子运动轨道半径的序数 相邻的轨道半径分别为rk rk 1 rk rk 1 在相应轨道上质子对应的速度大小分别为vk vk 1 D1 D2之间的电压为U 质子每加速一次 其动能增量 以质子在D2盒中运动为例 第k次进入D2时 被电场加速 2k 1 次速度大小为 同理 质子第 k 1 次进入D2时 速度大小为 同理 对于相邻轨道半径rk 1 rk 2 因为rk 2 rk 比较 例2有一个未知的匀强磁场 用如下方法测其磁感应强度 如图所示 把一个横截面是矩形的铜片放在磁场中 使它的上 下两个表面与磁场平