高三数学一轮复习 第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课件 文.ppt

文数课标版 第三节等比数列及其前n项和 1 等比数列的定义如果一个数列从 第二项起 每一项与前一项的比等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 公比 通常用字母 q表示 定义的表达式为 q n n 教材研读 2 等比数列的通项公式等比数列 an 的通项公式为an a1qn 1 3 等比中项若 g2 ab ab 0 那么g叫做a与b的等比中项 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am qn m n m n 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n n 则 akal aman 3 若 an bn 项数相同 是等比数列 则 an 0 an bn 仍是等比数列 5 等比数列的前n项和公式等比数列 an 的公比为q q 0 其前n项和为sn 当q 1时 sn na1 当q 1时 sn 6 等比数列前n项和的性质公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 其公比为qn 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 满足an 1 qan n n q为常数 的数列 an 为等比数列 2 g为a b的等比中项 g2 ab 3 如果数列 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n是等差数列 4 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 5 数列 an 的通项公式是an an 则其前n项和为sn 1 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比q a b 2c 2d 答案d由通项公式及已知得a1q 2 a1q4 由 得q3 解得q 故选d 2 已知等比数列 an 的前三项依次为a 1 a 1 a 4 则an a 4 b 4 c 4 d 4 答案b由题意得 a 1 2 a 1 a 4 解得a 5 故a1 4 a2 6 所以q 则an 4 3 在等比数列 an 中 已知a7a12 5 则a8a9a10a11 a 10b 25c 50d 75答案b a7a12 5 a8a9a10a11 a8a11 a9a10 a7a12 2 25 4 已知在等比数列 an 中 a2 a3 ak 则k 答案7解析设 an 的公比为q a2 a3 q a1 1 由ak a1 解得k 7 5 设sn为等比数列 an 的前n项和 8a2 a5 0 则 答案 11解析设数列 an 的公比为q 则8a1q a1q4 0 又a1 0 q 0 q 2 11 考点一等比数列的基本运算典例1 1 2016山西太原一模 已知等比数列 an 单调递减 若a3 1 a2 a4 则a1 a 2b 4c d 2 2 在等比数列 an 中 a3 7 前3项之和s3 21 则公比q的值为 a 1b c 1或 d 1或 3 2015课标 13 5分 在数列 an 中 a1 2 an 1 2an sn为 an 的前n项和 若sn 126 则n 答案 1 b 2 c 3 6 考点突破 方法指导解决等比数列有关问题的常用思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 2 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 当q 1时 an 的前n项和sn na1 当q 1时 an 的前n项和sn 1 1已知等比数列 an 的前n项和为sn 且a1 a3 a2 a4 则 a 4n 1b 4n 1c 2n 1d 2n 1答案d设等比数列 an 的公比为q 由 可得 2 q 代入 解得a1 2 an 2 sn 4 2n 1 选d 1 2设数列 an 的前n项和sn满足6sn 1 9an n n 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 当n 1时 由6a1 1 9a1 得a1 当n 2时 由6sn 1 9an 得6sn 1 1 9an 1 两式相减得6 sn sn 1 9 an an 1 即6an 9 an an 1 an 3an 1 数列 an 是首项为 公比为3的等比数列 其通项公式为an 3n 1 3n 2 2 bn bn 是首项为3 公比为的等比数列 tn b1 b2 bn 考点二等比数列的性质及应用典例2 1 2016广东广州综合测试 已知数列 an 为等比数列 若a4 a6 10 则a7 a1 2a3 a3a9的值为 a 10b 20c 100d 200 2 2016吉林长春调研 在正项等比数列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 则n 3 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s6 s3 1 2 则s9 s3 答案 1 c 2 14 3 3 4解析 1 a7 a1 2a3 a3a9 a7a1 2a7a3 a3a9 2a4a6 a4 a6 2 102 100 故选c 2 设数列 an 的公比为q 由a1a2a3 4 q3与a4a5a6 12 q12可得q9 3 由 于an 1anan 1 q3n 3 324 因此q3n 6 81 34 q36 所以3n 6 36 解得n 14 3 由题意可知q 1 故由等比数列的性质知 s3 s6 s3 s9 s6仍成等比数列 于是 s6 s3 2 s3 s9 s6 将s6 s3代入可得 易错警示 1 在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 可以减少运算量 提高解题速度 2 在应用相应性质解题时 要注意性质成立的前提 有时需要进行适当变形 此外 解题时注意对设而不求思想的运用 2 1已知x y z r 若 1 x y z 3成等比数列 则xyz的值为 a 3b 3c 3d 3答案c由题意知y2 3 y 又 y与 1 3符号相同 y 又y2 xz 所以xyz y3 3 考点三等比数列的判定与证明典例3设数列 an 的前n项和为sn n n 已知a1 1 a2 a3 且当n 2时 4sn 2 5sn 8sn 1 sn 1 1 求a4的值 2 证明 为等比数列 解析 1 当n 2时 4s4 5s2 8s3 s1 即4 a1 a2 a3 a4 5 a1 a2 8 a1 a2 a3 a1 整理得a4 因为a2 a3 所以a4 2 证明 当n 2时 有4sn 2 5sn 8sn 1 sn 1 即4sn 2 4sn sn 4sn 1 4sn 1 sn 1 所以4 sn 2 sn 1 4 sn 1 sn sn sn 1 即an 2 an 1 an n 2 经检验 当n 1时 上式成立 因为 为常数 且a2 a1 1 所以数列是以1为首项 为公比的等比数列 方法技巧证明数列 an 各项不为零 是等比数列的常用方法 一是定义法 证明 q n 2 q为非零常数 二是等比中项法 证明 an 1 an 1 n 2 若判定一个数列不是等比数列 则可以举反例 也可以用反证法 3 1在数列 an 中 an 2an 1 n 2 3 4 是 an 是公比为2的等比数列 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件答案b因为当an 0时 也有an 2an 1 n 2 3 4 但 an 是等差数列 不是等比数列 因此充分性不成立 当 an 是公比为2的等比数列时 有 2 n 2 3 4 即an 2an 1 n 2 3 4 所以必要性成立 3 2设数列 an 的前n项和为sn 数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 若an sn n 1 设cn an 1 求证 数列 cn 是等比数列 2 求数列 bn 的通项公式 解析 1 证明 由a