2020届天津市南开中学高三数学开学统练试题（解析版）

2020届天津市南开中学高三数学开学统练试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】求出后可求.【详解】，故，故选:D.【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题.2设，则“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件3已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积为ABCD【答案】D【解析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，又，分别为、中点，又，平面，平面，为正方体一部分，即 ，故选D解法二:设，分别为中点，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，为中点，又，两两垂直，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决4已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为ABC2D【答案】D【解析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，故选D【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度5已知，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用等中间值区分各个数值的大小【详解】，故，所以故选A【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较6设，表示不超过的最大整数若存在实数，使得，同时成立，则正整数的最大值是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】因为表示不超过的最大整数由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4【考点】函数的值域，不等式的性质7已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可。【详解】因为为奇函数，；又，又，故选C。【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。8已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立【详解】，即，（1）当时，当时，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析二、填空题9展开式中的常数项为_.【答案】【解析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项【详解】，由，得，所以的常数项为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的10设，则的最小值为_.【答案】【解析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值【详解】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立11 在四边形中， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则_.【答案】.【解析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，。因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为。由得，所以。所以。【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。12已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则_【答案】4【解析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决13已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点14已知，函数在区间1,4上的最大值是5，则a的取值范围是_【答案】【解析】，分类讨论：当时，函数的最大值，舍去；当时，此时命题成立；当时，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：；，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论三、解答题15 在中，内角所对的边分别为.已知，.（）求的值；（）求的值. 【答案】() ；() .【解析】()由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值()利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.【详解】()在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.()由()可得，从而，.故.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.16设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.【答案】（）见解析；（）【解析】()由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；()由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】()因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，故，从面.所以，随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望.()设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由()知：.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17如图，平面，.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（）见证明；（）（）【解析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系()利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；()分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；()首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.()依题意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面. ()依题意，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.()设为平面BDF的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意所以，线段的长为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.18设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（）求椭圆的方程；（）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.【答案】（）（）或.【解析】()由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；()联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】() 设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.()由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19设是等差数列，是等比数列.已知.（）求和的通项公式；（）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答案】（）；（）（i）（ii）【解析】()由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；()结合()中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.【详解】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式为.()(i).所以，数列的通项公式为.(ii).【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.20设函数为的导函数.（）求的单调区间；（）当时，证明；（）设为函数在区间内的零点，其中，证明.【答案】（）单调递增区间为的单调递减区间为.（）见证明；（）见证明【解析】()由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；()构造函数，结合()的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论；()令，结合()，()的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的