2020届中山纪念中学高三1月月考数学（文）试题（解析版）

2020届广东省中山纪念中学高三1月月考数学（文）试题一、单选题1已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：因为对数函数，所以，即，即集合，由交集的定义知，故应选【考点】1、集合与集合间的基本运算2、对数函数；2在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：，所对应的点的坐标是，故选A【考点】复数的几何意义3设平面向量，若，则等于（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：，得，故应选D【考点】1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.4执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A7B9C10D11【答案】B【解析】列出循环的每一步，根据条件成立，循环结束，可得出输出结论.【详解】运行该程序，输入，则；，不满足判断框，则；，不满足判断框，则；，不满足判断框，则；，不满足判断框，则；，满足判断框，输出.故选：B.【点睛】本题考查程序框图，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.5齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）A B C D 【答案】A【解析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率.【详解】分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为.故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.6已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A函数的最小正周期为B函数的最大值为2C将函数的图象向左平移个单位后得的图象D将函数的图象向右平移个单位后得的图象【答案】D【解析】结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案.【详解】由题意，则，最小正周期为，最大值为，故选项A、B都不正确；将函数的图象向左平移个单位后得，故选项C不正确；将函数的图象向右平移个单位后得，故选项D正确.故选：D.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，考查三角函数的周期与最值，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.7已知，为的导函数，则的图象是（ ）ABCD【答案】A【解析】先化简f（x），再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案【详解】由f（x），它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D又，当x时，cosx，0，故函数y在区间 上单调递减，故排除C故选A【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题8已知，则曲线与曲线的（ ）A离心率相等B焦距相等C虚轴长相等D顶点相同【答案】B【解析】试题分析：两个曲线的，和，故两个曲线的相等，即焦距相等，而两个曲线的，另一个，所以离心率不同，虚轴也不同，故选B【考点】双曲线的性质9已知，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值是（ ）A3 B C D【答案】D【解析】由函数图象向右平移个单位后得到： ，由题意可得： ，（ ）解得： ，当时， 的值最小值为，故选D.10已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）A20B24C28D32【答案】A【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型即可得出.详解：均为正实数，且，则 当且仅当时取等号. 的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.11已知函数，且，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是ABCD【答案】A【解析】设，由可得，进而可得，令，可得；令，可得，所以函数在上单调递减，在，上单调递增当时，函数的单调递增区间为，不合题意；当时，函数的单调递增区间为，因为函数在区间上单调递增，所以且，即，所以实数的取值范围是，故选A12若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由 ，可得 在 恒成立，即为a（1-lnx）-x2，当 时， 2显然成立；当 时，有 ，可得 设 由 时， ，则在递减，且 ，可得 ；当 时，有 ，可得 ，设 由 时， 在 递减，由时， 在 递增，即有 在 处取得极小值，且为最小值 ，可得 ，综上可得 故选B【点睛】本题考查函数的最值的求法和应用，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，求出导数和最值. 二、填空题13若满足约束条件：则的取值范围是_【答案】.【解析】约束条件对应边际及内的区域：则【详解】请在此输入详解！14已知直线与曲线切于点，则的值为_【答案】3 【解析】将代入切线，得，又，所以，得，曲线解析式为，再将代入可得15已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为_.【答案】【解析】过点作直线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，根据抛物线的定义可知，所以，过点作直线的垂线，垂足为，当点在与抛物线的交点时，最小，从而可求出答案.【详解】如图，焦点为，抛物线的准线方程为，过点作直线的垂线，垂足为，则，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，则，根据抛物线的定义可知，所以，过点作直线的垂线，垂足为，则,当点在与抛物线的交点时，最小，为，此时，取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16函数（函数的函数值表示不超过的最大整数，如，），设函数，则函数的零点的个数为_.【答案】8【解析】令，则，易知时，且是周期为1的函数，令，可得，即只需求得函数及的图象在上的交点个数即可.【详解】令，则，由函数的定义知，时，且是周期为1的函数.令，则，即，且，作出函数及在上的图象，如下图，二者第一次相交，故时，与的图象有8个交点，时，二者无交点.所以函数及的图象在上有8个交点，即函数的零点的个数为8.故答案为：8.【点睛】本题考查函数零点个数，考查函数图象的应用，利用数形结合是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题17已知，函数.（1）求函数的值域；（2）在中，角和边满足，求边.【答案】（1）函数的值域为（2）【解析】试题分析：（1）平面向量的数量积及辅助角公式可得，则函数的值域可求；（2）由可得，再由正弦定理；余弦定理可求边试题解析：（1），则函数的值域为.（2），又，则，由，得，已知，由余弦定理，得：.【考点】平面向量的数量积，辅助角公式，正弦定理；余弦定理18某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828，【答案】（1）；（2）有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”【解析】试题分析：（1）先利用分层抽样的得到男生男生和女生的人数，再列举出基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先利用频率分布直方图得到有关数据，列出列联表，利用公式求值，再结合临界值表作出判断试题解析：(1)解：由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名分数小于等于110分的学生中，有600.05 = 3(人)，记为A1，A2，A3；女生有400.05 = 2 (人)，记为B1，B2从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，故所求的概率(2)解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生600.25 = 15(人)，女生400.375 = 15(人)据此可得22列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100所以得因为1.79 2.706.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”【考点】1.分层抽样；2.古典概型；3.频率分布直方图；4.独立性检验思想19已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）在上为减函数，证明见解析；（3）【解析】（1）由是上的奇函数，可得，可求出的值；（2）由（1）可知的表达式，任取，且，比较与0的大小关系，可得出函数的单调性；（3）由是奇函数，可将不等式转化为，再结合函数是上的减函数，可知对一切，恒成立，令即可求出答案.【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，即.经验证，故时，满足题意.（2）由（1）知，任取，且，则，函数在上是增函数，所以.又，则，即，在上为减函数.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，又因为为上减函数，所以由上式推得，即对一切，恒成立，则，即.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；求面积的最大值.【答案】(1).(2) 证明见解析，；.【解析】试题分析：（1）首先由题意得到，即.将代入可得，由，可得.得解.（2）（）注意从确定的表达式入手，探求使成立的.设，则，得到，根据直线BD的方程为，令，得，即.得到.由，作出结论.（）直线BD的方程，从确定的面积表达式入手，应用基本不等式得解.试题解析：（1）由题意知，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.（2）（）设，则，因为直线AB的斜率，又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，由，可得.所以，因此，由题意知，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常数使得结论成立.（）直线BD的方程，令，得，即，由（）知，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.【考点】椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用.21已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，的上单调递增（2）或【解析】试题分析：（1）先求函数导数，并因式分解，安装导函数是否变号进行分类讨论：当时，导函数不变号，在定义区间上单调递增；当时，导函数由负变正，单调性先减后增（2）构造差函数，结合（1）讨论单调性，确定对应最小值，解出对应的取值范围试题解析：解：（1），定义域为，当，即时，令， ，令， ， ；当，即时，恒成立，综上，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，的上单调递增（2）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值由（1）知，当，即时，在上单调递减， ， ；当，即时，在上单调递增， ， ；当，即时， ， ， ，此时不存在使成立，综上可得的取值范围是或点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）判断曲线与曲线的位置关系；（2）设点为曲线上任意一点，求的最大值.【答案】