2013年江苏省南通市高考数学三模试卷.doc

2013年江苏省南通市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1（5分）（2013南通三模）已知集合A=（2，1，B=1，2），则AB=_2（5分）（2013南通三模）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为_3（5分）（2013南通三模）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是_4（5分）（2013南通三模）“MN”是“log2Mlog2N”成立的_条件5（5分）（2013南通三模）根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度（单位：km/h）绘制的频率分布直方图如图所示该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h120km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为_6（5分）（2014揭阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为_7（5分）（2013南通三模）从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为_8（5分）（2013南通三模）在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：（x1）2+y2=4上的任意一点，点Q（2a，a3）（aR），则线段PQ长度的最小值为_9（5分）（2013南通三模）函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，02）在R上的部分图象如图所示，则f（2013）的值为_10（5分）（2013南通三模）各项均为正数的等比数列an中，a2a1=1当a3取最小值时，数列an的通项公式an=_11（5分）（2013南通三模）已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D若AB=BC，则实数t的值为_12（5分）（2013南通三模）过点P（1，0）作曲线C：y=ex的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1，过点H1再作曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2，依次下去，得到第n+1（nN）个切点Tn+1则点Tn+1的坐标为_13（5分）（2013南通三模）在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，CD=若，则的值为_14（5分）（2013南通三模）已知实数a1，a2，a3，a4满足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4a2=0，且a1a2a3，则a4的取值范围是_二、解答题15（14分）（2013南通三模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，四条侧棱长均相等（1）求证：AB平面PCD；（2）求证：平面PAC平面ABCD16（14分）（2013南通三模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知（1）求角B的大小；（2）设T=sin2A+sin2B+sin2C，求T的取值范围17（15分）（2013南通三模）某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4mm，中间留有厚度为x的空气隔层根据热传导知识，对于厚度为d的均匀介质，两侧的温度差为T，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中k为热传导系数假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等（注：玻璃的热传导系数为4103Jmm/C，空气的热传导系数为2.5104Jmm/C）（1）设室内，室外温度均分别为T1，T2，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，且试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用T1，T2及x表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x的大小？18（15分）（2013南通三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值19（16分）（2013南通三模）已知数列an是首项为1，公差为d的等差数列，数列bn是首项为1，公比为q（q1）的等比数列（1）若a5=b5，q=3，求数列anbn的前n项和；（2）若存在正整数k（k2），使得ak=bk试比较an与bn的大小，并说明理由20（16分）（2013南通三模）设f（x）是定义在（0，+）的可导函数，且不恒为0，记若对定义域内的每一个x，总有gn（x）0，则称f（x）为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有，则称f（x）为“n阶不减函数”（为函数gn（x）的导函数）（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”f（x），如果存在常数c，使得f（x）c恒成立，试判断f（x）是否为“2阶负函数”？并说明理由2013年江苏省南通市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1（5分）（2013南通三模）已知集合A=（2，1，B=1，2），则AB=（2，2）考点：并集及其运算菁优网版权所有专题：计算题分析：已知集合A=（2，1，B=1，2），根据并集的定义进行求解解答：解：集合A=（2，1，B=1，2），AB=（2，2），故答案为：（2，2）点评：本题主要考查并集及其运算，一般在高考题中出现在前三题的位置中，属于基础题目2（5分）（2013南通三模）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为1考点：复数求模菁优网版权所有专题：计算题分析：直接移项已知方程，两边求模，化简即可解答：解：因为复数z满足（3+4i）z+5=0，所以（3+4i）z=5，两边求模可得：|（3+4i）|z|=5，所以|z|=1故答案为：1点评：本题考查复数的模的求法，复数积的模等于复数模的积，考查计算能力3（5分）（2013南通三模）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是2400考点：程序框图菁优网版权所有专题：图表型分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出解答：解：经过第一次循环得到结果为s=400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=2400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=3400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=4400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=5400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=6400，此时不满足判断框的条件，执行输出s，即输出2400故答案为：2400点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题4（5分）（2013南通三模）“MN”是“log2Mlog2N”成立的必要不充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：常规题型分析：当MN时，不确定两个数字的正负，不一定得到log2Mlog2N，即前者不一定推出后者；当log2Mlog2N时，根据对数函数的单调性知有MN，即后者可以推出前者，得到结论解答：解：当MN时，不确定两个数字的正负，不一定得到log2Mlog2N，即前者不一定推出后者；当log2Mlog2N时，根据对数函数的单调性知有MN，即后者可以推出前者，“MN”是“log2Mlog2N”成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是理解对数函数的单调性和对数函数的定义域，本题是一个易错题，容易忽略函数的定义域，本题是一个基础题5（5分）（2013南通三模）根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度（单位：km/h）绘制的频率分布直方图如图所示该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h120km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为15考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图菁优网版权所有专题：概率与统计分析：利用频率等于纵坐标乘以组距求出正常行驶的频率；利用所有的频率和为1，求出非正常行驶的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出这100辆汽车中非正常行驶的汽车的辆数解答：解：正常行驶在60km/h120km/h的频率为20（0.0100+0.0150+0.0175）=0.85，非正常行驶的频率有10.85=0.15；所以这100辆汽车中非正常行驶的汽车有1000.15=15故答案为：15点评：本题考查频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查所有的频率和为16（5分）（2014揭阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为4考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案解答：解：依题意可知抛物线的准线方程为y=点A与抛物线焦点的距离为3，纵坐标为1，点A到准线的距离为+1=3，解得p=4抛物线焦点（0，2），准线方程为y=2，焦点到准线的距离为：4故答案为：4点评：本题主要考查了抛物线的定义的运用考查了学生对抛物线基础知识的掌握属基础题7（5分）（2013南通三模）从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为考点：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：所有的取法共有 =36种方法，用列举法求得其中，满足条件的取法共有三种方法，由此求得所求事件的概率解答：解：从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数a和b，所有的取法共有 =36种方法，其中，满足个数恰是另一个数的3倍的取法有1和3，2和6，3和9，共三种方法，故其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 =，故答案为 点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题8（5分）（2013南通三模）在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：（x1）2+y2=4上的任意一点，点Q（2a，a3）（aR），则线段PQ长度的最小值为考点：直线与圆相交的性质菁优网版权所有专题：直线与圆分析：根据点Q的坐标可得点Q在直线 x2y6=0上，求出圆心（1，0）到直线 x2y6=0的距离，再将此距离减去半径，即得所求解答：解：设点Q（x，y），则 x=2a，y=a3，x2y6=0，故点Q在直线 x2y6=0上由于圆心（1，0）到直线 x2y6=0的距离为d=，故则线段PQ长度的最小值为 2，故答案为 2点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于中档题9（5分）（2013南通三模）函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，02）在R上的部分图象如图所示，则f（2013）的值为考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，球的函数的解析式，再利用诱导公式求得f（2013）的值为解答：解：由函数的图象可得A=5，周期T=11（1）=12，=再由五点法作图可得 （1）+=0，=，故函数f（x）=5sin（x+）故f（2013）=5sin（+）=5sin=5sin（336）=5sin（）=5sin=，故答案为 点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题10（5分）（2013南通三模）各项均为正数的等比数列an中，a2a1=1当a3取最小值时，数列an的通项公式an=2n1考点：等比数列的通项公式菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：设出等比数列的公比，代入a2a1=1后求出首项和公比的关系，把a3用公比表示，利用二次函数求最值求出使a3最小的q的值，则通项公式可求解答：解：设等比数列的公比为q（q0），由a2a1=1，得a1（q1）=1，所以=（q0），而，当q=2时有最大值，所以当q=2时a3有最小值4此时所以数列an的通项公式an=2n1故答案为2n1点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了利用配方法求二次函数的最值，是基础题11（5分）（2013南通三模）已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D若AB=BC，则实数t的值为考点：函数奇偶性的判断；函数的零点菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用分析：由f（x）是偶函数可得x0时恒有f（x）=f（x），根据该恒等式即可求得a，b，c的值，从而得到f（x），令t=f（x），可解得A，B，C三点的横坐标，根据AB=BC可列关于t的方程，解出即可解答：解：因为f（x）是偶函数，所以x0时恒有f（x）=f（x），即x2bx+c=ax22x1，所以（a1）x2+（b2）xc1=0，所以，解得a=1，b=2，c=1，所以f（x）=，由t=x2+2x1，即x2+2x1t=0，解得x=1，故xA=1，xB=1+，由t=x22x1，即x22x1t=0，解得x=1，故xC=1，因为AB=BC，所以xBxA=xCxB，即2=22，解得t=，故答案为：点评：本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查数形结合思想，属中档题12（5分）（2013南通三模）过点P（1，0）作曲线C：y=ex的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1，过点H1再作曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2，依次下去，得到第n+1（nN）个切点Tn+1则点Tn+1的坐标为（n，en）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：设T1（x1，），可得切线方程代入点P坐标，可解得x1=0，即T1（0，1），可得H1（0，0），在写切线方程代入点H1（0，0），可得T2（1，e），H2（1，0），由此可得推得规律，从而可得结论解答：解：设T1（x1，），此处的导数值为，故切线方程为y=（xx1），代入点P（1，0）可得0=（1x1），解得x1=0，即T1（0，1），H1（0，0），同理可得过点H1再作曲线C的切线方程为y=（xx2），代入点H1（0，0），可得0=（0x2），可解得x2=1，故T2（1，e），H2（1，0），依次下去，可得Tn+1的坐标为（n，en）故答案为：（n，en）点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，归纳推理是解决问题的关键，属中档题13（5分）（2013南通三模）在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，CD=若，则的值为13考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由题意求得，= ，= ，把、相加求得2=，由此可得 =2由 求得+=15+，把它代入 的表达式可得 的值解答：解：如图所示：=+，= ；=+，= 把、相加求得2=，由AB=1，CD=，平方可得 24=1+2+3，=2设AB和CD相较于点O，=（）（）=+，+=15+=（）（）=+=15+=15+（）+（）=15+=15+=15+=15=152=13，故答案为 13点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题14（5分）（2013南通三模）已知实数a1，a2，a3，a4满足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4a2=0，且a1a2a3，则a4的取值范围是考点：进行简单的演绎推理菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：先根据题意a1+a2+a3=0得a10 a30 a1|a2|a3|a2|对于方程a1a42+a2a4a2=0，将a4看成未知数，解二次方程得a4=，设=x，由a1|a2|知1x1，利用a4=x的单调性结合x的取值范围，即可得出a4的取值范围解答：解：a1+a2+a3=0得a10，a30，a1|a2|a3|a2|a4=，设=x，由a1|a2|知1x1，a4=x，由x2+4x0，得0x1，当a4=x+时，有当x=1，a4取最大，最大值a4=+；当a4=x时，有当x=1，a4取最小，最小值a4=；则a4的取值范围是 故答案为：点评：本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法、进行简单的演绎推理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于验证题二、解答题15（14分）（2013南通三模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，四条侧棱长均相等（1）求证：AB平面PCD；（2）求证：平面PAC平面ABCD考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：（1）由矩形ABCD，对边平行得到ABCD，结合线面平行的判定定理得到AB平面PCD；（2）连结BD，交AC于点O，连结PO，由在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，可得POAC，POBD，进而由线面垂直的判定定理得到PO平面ABCD，进而由面面垂直的判定定理得到平面平面PAC平面ABCD解答：证明：（1）在矩形ABCD中，ABCD，又AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB平面PCD （6分）（2）如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，又PA=PB=PC=PD，故POAC，POBD，（9分）又ACBD=O，AC，BD平面ABCD，所以PO平面ABCD，（12分）又PO平面PAC，所以平面PAC平面ABCD （14分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，属于中档题16（14分）（2013南通三模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知（1）求角B的大小；（2）设T=sin2A+sin2B+sin2C，求T的取值范围考点：余弦定理；正弦定理菁优网版权所有专题：计算题；解三角形分析：（1）根据余弦定理，将题中等式化简整理，可得sinBcosC=2sinAcosBsinCcosB，称项化简得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在两边约去sinA得，结合三角形内角取值范围即可得到角B的大小；（2）根据B=代入，结合二倍角的余弦公式降次，再用辅助角公式合并可得T=sin2A+sin2B+sin2C=sin（2A）最后根据角A的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到T的取值范围解答：解：（1）在ABC中，b2=a2+c22accosB，b2a2c2=2accosB，同理可得c2a2b2=2abcosC，（3分）sinC0，可得sinBcosC=2sinAcosBsinCcosB，2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，（5分）sinA0，等式两边约去sinA，可得，0B，角B的大小 （7分）（2）B=，sin2A=（1cos2A），sin2C=（1cos2C）T=sin2A+sin2B+sin2C=A+C=，可得2C=2A，cos2A+cos2C=cos2A+cos（2A）=cos2Asin2A=sin（2A）因此，=sin（2A）（11分），可得2A，1sin（2A），可得sin（A）因此，T=sin2A+sin2B+sin2C的取值范围为（，（14分）点评：本题在ABC中给出边角关系式，求角B的大小并求三角正弦的平方和的取值范围着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题17（15分）（2013南通三模）某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4mm，中间留有厚度为x的空气隔层根据热传导知识，对于厚度为d的均匀介质，两侧的温度差为T，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中k为热传导系数假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等（注：玻璃的热传导系数为4103Jmm/C，空气的热传导系数为2.5104Jmm/C）（1）设室内，室外温度均分别为T1，T2，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，且试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用T1，T2及x表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x的大小？考点：函数模型的选择与应用菁优网版权所有专题：应用题分析：（1）直接由单位面积上通过的热量公式求得单层玻璃在单位面积上通过的热量分别求出双层玻璃在单位面积上经过玻璃及空气隔层的热量，利用合比定理转化为含有T1，T2的关于x的表达式；（2）利用在单位面积上经过两种玻璃的热量的比值等于4%求取x的值解答：解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为Q1，Q2，则，= （2）由（1）知，当=4%时，解得x=12（mm）答：当x=12mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%点评：本题考查了函数模型的选择及应用，解答的关键是对题意的理解与把握，正确读懂题意是解决该题的关键所在，是有一定难度题目18（15分）（2013南通三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值考点：椭圆的标准方程；直线的斜率；两条直线的交点坐标菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据题意，建立关于a、c的方程组，解之可得且c=1，再用平方关系算出b2=1，即可得到椭圆的方程；（2）设直线AB的方程为y=kx，与椭圆方程联解可得A的横坐标为，点B的横坐标为，同理得到点C、D的横坐标关于k的式子，由此结合直线的斜率公式化简整理，即可算出直线AC，BD的斜率之和为0，从而证出所求证的命题是真命题解答：解：（1）由题意，得c=1，故，可得b2=a2c2=1，椭圆的方程为 （5分）（2）证明：设直线AB的方程为y=kx，直线CD的方程为y=k（x1），（7分）由联解，得点A的横坐标为，点B的横坐标为，同理，联解，得点C的横坐标为，D的横坐标为（9分）记A（x1，kx1），B（x2，kx2），C（x3，k（1x3），D（x4，k（1x4），因此，直线AC，BD的斜率之和为=（13分）=0 即直线AC，BD的斜率之和为0（定值） （16分）点评：本题给出椭圆方程，求证分别经过O、F的两条直线AB、CD在满足倾角互补的情况下，直线AC、BD斜率之和为定值着重考查了椭圆的简单几何性质和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题19（16分）（2013南通三模）已知数列an是首项为1，公差为d的等差数列，数列bn是首项为1，公比为q（q1）的等比数列（1）若a5=b5，q=3，求数列anbn的前n项和；（2）若存在正整数k（k2），使得ak=bk试比较an与bn的大小，并说明理由考点：等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性；数列的求和菁优网版权所有专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由q=3，b1=1可求得b5，从而得到a5，由a1=1及通项公式可求得an，利用错位相减法即可求得数列anbn的前n项和；（2）由ak=bk，即1+（k1）d=qk1，得，作差bnan变形，然后分1nk时，当nk时，n=1三种情况讨论讨论差的符号即可作出大小比较；解答：解：（1）依题意，故，所以an=1+20（n1）=20n19，令，则，得，=（2920n）3n29，所以 （2）因为ak=bk，所以1+（k1）d=qk1，即，故，又 ，所以=，（）当1nk时，由q1知，=0；（）当nk时，由q1知，=（q1）2qk2（nk）0，综上所述，当1nk时，anbn；当nk时，anbn；当n=1时，an=bn点评：本题考查等差数列、等比数列的综合、数列求和，考查分类讨论思想，考查学生分析问