函数中的分类讨论思想自备.doc

函数中的分类讨论思想1.函数中的分类讨论思想函数中的分类讨论大致分为二类,一类是函数是分段函数,必须进行分类讨论;一类是数学的性质是分类的,典型的例子是含有参数的问题.1 （06北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是（A） （B） （C）（D）解：依题意，有0a1且3a10，解得0a，又当x7a1，当x1时，logax0，所以7a10解得x故选C分类根据： 2关于的方程，给出下列四个命题：故选A存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是A0 B1 C2 D3解：关于x的方程可化为（1）或（1x0 (a为常数，a)【解】 2a10时，a； 4a0 。 所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当a0时，x0，解得：x0；当a0，解得: x4a；当a时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0时，x6a；当a0时，x0；当a0时，x4a；当a时，6ax1，由得x 1时，在（1，2），（2，+）上单增；在（m，1）单减8.已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （）求的单调区间； （）由（I）得（ 故 令，则或 当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为分类根据： 9已知函数， （）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围：，即，或时，方程有两个不同实根，当或时， ， 当时，在，上为增函数，在上为减函数。，即时，则对所有都有，故此时在上为增函数，即时，则对所有且都有，故此时在上为增函数综上知：当时，在上为增函数，当，或时，在，上为增函数，在上为减函数。若函数在区间内是减函数即只需即解之得满足条件，所以实数的取值范围是10.已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点 解：（1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行 ， ， 设，则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点. 综上，分类根据：二次函数对称轴11：若不等式x2-2mx+2m+10对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解析：设f(x)=x2-2mx+2m+1。不等式x2-2mx+2m+10对满足0x1的所有实数x都成立函数f(x)在0x1上的最小值大于0。而f(x)的对称轴为x=m,原问题又化归为二次函数的动轴定区间的分类讨论问题。(1)当m0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，解得 m1时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值 解得 m1综合(1)(2)(3) 得 注：此型题目还可以用参数分离法。12 设a为实数，记函数的最大值为g(a)。（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)（）求g(a)要使有意义，必须且，即，且 的取值范围是。由得：，。（II）由题意知即为函数，的最大值，直线是抛物线的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，有=2；（3）当时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，若即时，若即时，。综上所述，有=。分类根据;二次函数定义13已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。14 已知函数（1） 用a表示b，c （2） 若。15 设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立解(I) 函数的定义域为.令，则在上递增，在上递减，.当时，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得16、已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.解：若 , ,显然在上没有零点, 所以 . 令 , 解得 当 时, 恰有一个零点在上; 当，即时，在上也恰有一个零点. 当在上有两个零点时, 则 或解得或 综上所求实数的取值范围是 或 .18 已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于， 令，则等价于在（0，+）单调减少， . 从而 故a的取值范围为（-，-2. 9. 已知f(x)=x-2x+2，其中xt,t+1，tR， 函数f(x)的最小值为t的函数g(t),试计算当t -3,2时g(t)的最大值. 解 由f(x)=x-2x+2，得f(x)=(x-1) +1，图象的对 称轴为直线x=1. 当t+11时，区间t,t+1在对称轴的左侧，函数f(x)在x=t+1处取得最小值f(t+1); 当0t0且a1)在区间0,+)上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ）A.( 0, B. , 1)C.( 0, D. ,+)解析 令a=t因为f(x)在x0,+)上单调递增当a1时,a单调递增,t1,+),f(t)=t(3a+1)t则1 满足题意 解得a .当0a1时,ax单调递减,t(0,1,f(t)=t(3a+1)t则1 满足题意,解得a ,1)综合可得a ,1)6.已知函数f(x)=x+3ax1,a为实常数. （1）a在什么范围内时，y=f(x)与y=3只有一个公共点？ （2）若(x)= | |在2,0)(0,2上有最小值2，求a的值.解析（1）f (x)=3x+3a=3(x+a).当a0时，f (x)0，所以f(x)在R上单调递增，此时y=f(x)与y=3只有一个公共点；当a0时，f (x)=3(x+ )(x ) .由f (x)=0，得x= , x= , 在xR上列表：xf (x)00f(x)极大值极小值因为y=f(x)与y=3只有一个公共点，所以f(x)极大值 3.所以f ( )3，得 a1，y=f(x)与y=3只有一个公共点.2）(x)= | | = | | = | x+ |.由(x)=(x