高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题三 三角函数及解三角形 1.3.1 三角函数的图象与性质课件 理 新人教版.ppt

第一讲三角函数的图象与性质 知识回顾 1 三角函数的图象及性质 k z k z 2k 2k k z 2k 2k k z k z k 0 k z x k k z 2 三角函数图象的两种变换方法 横坐标 横坐标 纵坐标 纵坐标 易错提醒 1 忽视定义域 求解三角函数的单调区间 最值 值域 以及作图象等问题时 要注意函数的定义域 2 忽视图象变换顺序 在图象变换过程中 注意分清是先相位变换 还是先周期变换 变换只是对于其中的自变量x而言的 如果x的系数不是1 就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 3 忽视a 的符号 在求y asin x 的单调区间时 要特别注意a和 的符号 若 0 需先通过诱导公式将x的系数化为正的 考题回访 1 2016 全国卷 若将函数y 2sin2x的图象向左平移个单位长度 则平移后图象的对称轴为 解析 选b 平移后图象的解析式为y 2sin2 令得对称轴方程 x k z 2 2014 全国卷 在函数 y cos 2x y cosx y cos y tan中 最小正周期为 的所有函数为 a b c d 解析 选a 由y cosx是偶函数可知y cos 2x cos2x 最小正周期为 即 正确 y cosx 的最小正周期也是 即 也正确 y cos最小正周期为 即 正确 y tan的最小正周期为 即 不正确 即正确答案为 3 2016 全国卷 函数y sinx cosx的图象可由函数y sinx cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到 解析 函数y sinx cosx 2sin 根据左加右减原则可得只需将y sinx cosx的图象向右平移个单位即可 答案 4 2014 全国卷 函数f x sin x 2sin cosx的最大值为 解析 f x sin x 2sin cosx sinxcos cosxsin 2sin cosx sinxcos cosxsin sin x 1 故最大值为1 答案 1 热点考向一三角函数的定义域 值域 最值命题解读 主要考查三角函数的定义域 值域 最值的求法 以及根据函数的值域和最值求参数的值 以选择题 填空题为主 典例1 1 2016 茂名一模 函数y lg sinx 的定义域为 2 2016 葫芦岛一模 已知函数f x cosx sin cos2x x r 则f x 在闭区间上的值域为 解题导引 1 构建不等式组 利用三角函数的图象求解 2 利用三角函数的恒等变换及三角函数的单调性求解 规范解答 1 要使函数有意义必须有即解得 k z 所以2k x 2k k z 所以函数的定义域为答案 答案 规律方法 1 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构建并解简单的三角不等式 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2 三角函数值域 最值 的三种求法 1 直接法 利用sinx cosx的值域 2 化一法 化为y asin x k的形式 限制 x 的范围 根据正弦函数单调性写出函数的值域 最值 3 换元法 把sinx或cosx看作一个整体 可化为求函数在给定区间上的值域 最值 问题 题组过关 1 2016 济宁一模 函数f x sinx cosx x 的值域是 解析 因为f x sinx cosx 2sin 又x 所以所以2sin 1 2 答案 1 2 2 2016 大庆一模 若f x 2sin x 0 1 在区间上的最大值是 则 解析 由0 x 得0 x 则f x 在上单调递增 且在这个区间上的最大值是 所以2sin 且所以 解得 答案 加固训练 1 已知函数f x 2sin x在区间上的最小值为 2 则 的取值范围是 解析 选d 当 0时 由 x 得 x 由题意知 所以 当 0时 由 x 得 x 由题意知 所以 2 综上知 2 2 2016 长沙一模 已知函数f x sin 其中x 若f x 的值域是 则a的取值范围是 解析 若 x a 则 2x 2a 2x 2a 因为当2x 或2x 时 所以要使f x 的值域是 则有 2a 即 2a 所以 a 即a的取值范围是 答案 3 当x 时 函数y 3 sinx 2cos2x的最大值是 解析 因为 x 所以 sinx 1 y 3 sinx 2cos2x 2sin2x sinx 1当sinx 1或 时 ymax 2 答案 2 热点考向二三角函数的单调性 奇偶性 对称性和周期性命题解读 主要考查三角函数的奇偶性及对称性 周期性或求函数的单调区间 以及根据函数的单调性 奇偶性 周期性求参数值或取值范围 以选择题 填空题为主 典例2 1 2015 全国卷 函数f x cos x 的部分图象如图所示 则f x 的单调递减区间为 2 已知函数f x 2cos 0 满足 且在区间内有最大值但没有最小值 给出下列四个命题 p1 f x 在区间 0 2 上单调递减 p2 f x 的最小正周期是4 p3 f x 的图象关于直线x 对称 p4 f x 的图象关于点对称 其中的真命题是 a p1 p2b p1 p3c p2 p4d p3 p4 3 2016 全国卷 已知函数f x sin x x 为f x 的零点 x 为y f x 图象的对称轴 且f x 在上单调 则 的最大值为 a 11b 9c 7d 5 解题导引 1 由周期求得 利用特殊点求得 进而求出函数的单调区间 2 利用确定函数的对称轴 然后根据给出的命题 利用三角函数的性质逐一判断 3 根据x 为f x 的零点 x 为y f x 图象的对称轴能得到w的取值范围 再根据f x 的单调性结合选项从大到小验证得答案 规范解答 1 选d 由五点作图知 解得 所以f x cos x 令2k x 2k k z 解得2k x 2k k z 故f x 的单调递减区间为 2k 2k k z 2 选c 由题意得 当时 f x 取得最大值 则cos 1 又易知t 2 0 1 故 k n 所以k 1 f x 2cos故f x 的最小正周期t 4 p2是真命题 又因此f x 的图象关于点对称 p4是真命题 3 选b 由题意知 则 2k 1 其中k z 因为f x 在上单调 所以 12 接下来用排除法 若 11 此时f x sinf x 在上单调递增 在上单调递减 不满足f x 在上单调 若 9 此时f x sin 满足f x 在上单调递减 规律方法 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 1 求单调区间的两种方法 代换法 求形如y asin x 或y acos x a 为常数 a 0 0 的单调区间时 令 x z 则y asinz 或y acosz 然后由复合函数的单调性求得 图象法 画出三角函数的图象 结合图象求其单调区间 2 判断对称中心与对称轴 利用函数y asin x 的对称轴一定经过图象的最高点或最低点 对称中心一定是函数的零点这一性质 通过检验f x0 的值进行判断 3 三角函数的周期的求法 定义法 公式法 y asin x 和y acos x 的最小正周期为 y tan x 的最小正周期为 利用图象 题组过关 1 下列函数中 最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是 a y cosb y sinc y sin2x cos2xd y sinx cosx 解析 选a 采用验证法 由y cos sin2x 可知该函数的最小正周期为 且为奇函数 2 2016 洛阳一模 若函数y cos n 图象的一个对称中心是 则 的最小值为 a 1b 2c 4d 8 解析 选b k z 得 6k 2 k z 又 n 所以 min 2 故选b 3 2016 日照一模 已知函数f x sin x 的最小正周期是 若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称 则函数f x 的图象 a 关于直线x 对称b 关于直线x 对称c 关于点对称d 关于点对称 解析 选b 因为f x 的最小正周期为 所以 2 所以f x 的图象向右平移个单位后得到的图象 又g x 的图象关于原点对称 所以 k k z k k z 又所以k 1 所以f x sin 当x 时 2x 所以a c错误 当x 时 2x 所以b正确 d错误 加固训练 1 已知函数f x acos x a 0 0 r 则 f x 是奇函数 是 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b 若f x 是奇函数 则f 0 0 所以cos 0 所以 k k z 故 不成立 若 则f x acos asin x f x 是奇函数 所以f x 是奇函数是 的必要不充分条件 2 2016 大庆一模 已知函数 y sinx cosx y 2sinxcosx 则下列结论正确的是 a 两个函数的图象均关于点成中心对称图形b 两个函数的图象均关于直线x 成轴对称图形c 两个函数在区间上都是单调递增函数d 两个函数的最小正周期相同 解析 选c 令f x sinx cosx sin g x 2sinxcosx sin2x 对于a b f 0 g 0 所以a b都不正确 对于c 由 2k x 2k k z 得f x 的单调递增区间为 k z 又由 2k 2x 2k k z 得g x 的单调递增区间为 k z 易知c正确 对于d f x 的最小正周期为2 g x 的最小正周期为 d不正确 3 2016 石家庄二模 已知函数f x sin x cos x 0 x r 若函数f x 在区间 内单调递增 且函数y f x 的图象关于直线x 对称 则 的值为 解析 f x sin x cos x sin 因为f x 在区间 内单调递增 且函数图象关于直线x 对称 所以f 必为一个周期上的最大值 所以有 2k k z 所以 2 2k k z 又 即 2 所以 2 所以 答案 热点考向三三角函数的图象及应用命题解读 主要考查三角函数的图象变换 或根据图象求解析式或参数 三种题型都有可能出现 如果是解答题 一般考查综合应用 命题角度一三角函数的图象及其变换 典例3 1 2016 临沂一模 函数f x sin x 的图象如图所示 为了得到g x sin x的图象 只需把y f x 的图象上所有点 a 向右平移个单位长度b 向右平移个单位长度c 向左平移个单位长度d 向左平移个单位长度 2 2016 安康二模 已知函数f x asin x a 是常数 a 0 0 0 的部分图象如图所示 其中m n两点之间的距离为5 则f 6 解题导引 1 先求出f x g x 的解析式 再判断平移情况 2 设m x1 2 n x2 2 利用两点间的距离求出 x1 x2 确定函数的周期 利用周期性求解 规范解答 1 选a 由图象知 所以t 又 所以 2 由f 0得 2 k k z 即 k k z 因为 所以 即f x 2 由题图可知a 2 因为m n两点分别为函数图象上相邻的最高点和最低点 设m x1 2 n x2 2 因为 mn 5 所以 5 解得 x1 x2 3 因为m n两点横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半 即 3 解得t 6 所以f 6 f 0 1 答案 1 母题变式 1 若典例 2 中条件不变 求f 2017 的值 解析 由例题解析可知 t 6 所以 6 解得 又因为f 0 1 所以2sin 1 解得sin 因为0 所以 或 结合图象 不符合题意 舍去 故 所以f x 2sin 又f 2017 f 336 6 1 f 1 而f 1 2sin 1 2 若将典例 2 中图象变为如图所示的图象 求f x 的解析式 解析 由题图知a 以m为第一个零点 n为第二个零点 列方程组解得所以所求解析式为y sin 命题角度二三角函数的图象与性质的综合应用 典例4 2016 湖州一模 已知函数f x 2sin xcos x 2sin2 x 0 的最小正周期为 1 求函数f x 的单调增区间 2 将函数f x 的图象向左平移个单位 再向上平移1个单位 得到函数y g x 的图象 若y g x 在 0 b b 0 上至少含有10个零点 求b的最小值 题目拆解 解答本题第 2 问 可拆解成三个小题 求g x 的解析式 求方程g x 0的解 求b的最小值 规范解答 1 由题意得f x 2sin xcos x 2sin2 x sin2 x cos2 x 2sin 由最小正周期为 得 1 所以f x 2sin 由2k 2x 2k k z 整理得k x k k z 所以函数f x 的单调增区间是 k z 2 将函数f x 的图象向左平移个单位 再向上平移1个单位 得到y 2sin2x 1的图象 所以g x 2sin2x 1 令g x 0 得x k 或x k k z 所以在 0 上恰好有两个零点 若y g x 在 0 b 上有10个零点 则b不小于第10个零点的横坐标即可 即b的最小值为 规律方法 1 函数表达式y asin x b的确定方法 2 三角函数图象平移问题处理策略 1 看平移要求 首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数 这是判断移动方向的关键点 2 看移动方向 移动的方向一般记为 正向左 负向右 看y asin x 中 的正负和它的平移要求 3 看移动单位 在函数y asin x 中 周期变换和相位变换都是沿x轴方向的 所以 和 之间有一定的关系 是初相 再经过 的压缩 最后移动的单位是 题组过关 1 2016 保定一模 为得到函数y sin的图象 可将函数y sinx的图象向左平移m个单位长度 或向右平移n个单位长度 m n均为正数 则 m n 的最小值是 解析 选b 由题意可知 m 2k1 k1为非负整数 n 2k2 k2为正整数 所以 m n 所以当k1 k2时 m n min 2 2016 九江一模 将函数f x sin 2x 的图象向左平移个单位后得到函数g x cos的图象 则 的值为 解析 选c 由题意得g x 又g x cos sin 所以 2k k z 即 2k k z 因为 所以 3 2016 南昌二模 函数f x asin x 的部分图象如图所示 若x1 x2 且f x1 f x2 则f x1 x2 解析 选d 观察图象可知