高中数学第一章1.1正弦定理和余弦定理自主训练.docx

1.1 正弦定理和余弦定理自主广场我夯基 我达标1.在ABC中，A=60,a=,则等于( )A. B. C. D.思路解析:由比例的运算性质,知=，由题意，已知A、a，可得.答案:B2.ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为( )A. B. C. D.思路解析:pq(a+c)(c-a)=b(b-a) b2+a2-c2=ab，利用余弦定理，得2cosC=1，即cosC=C=.答案:B3.在ABC中，若，则ABC是( )A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形思路解析:设=k，则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC，代入，得.于是sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,A=B.同理,B=C，C=A.答案:B4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c等于( )A.1 B.2 C. D.思路解析:由正弦定理，得sinB=，又ab，所以AB，故B=30.所以C=90.故c=2.也可以利用b2+c2-a2=2bccosA求解.答案:B5.在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c.若sinAsinBsinC=578,则abc=_,B的大小是_.思路解析:，sinAsinBsinC=578,abc=578.令a=5,b=7,c=8，则cosB=.B=.答案:578 6.在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，则AC=_.思路解析:已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理.由正弦定理,得，解得AC=.答案: 7.已知钝角ABC的三边a=k,b=k+2,c=k+4，求k的取值范围.思路分析：由三角形中大边对大角的性质,可知角C为最大角，即C为钝角，则cosC0,结合余弦定理可求解.注意已知三边a，b，c，必须首先能构成一个三角形，方法是两边之和大于第三边.解：cba,角C为钝角.由余弦定理，得cosC=0.k2-4k-120,即-2k6.又由三角形两边之和大于第三边，即k+(k+2)k+4，得k2.2k6.8.ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,角C等于角A的2倍，a+b=10,cosA=，求:(1)的值;(2)b的值.思路分析：由C=2A，得sinC=sin2A，利用二倍角公式结合正弦定理可求的值；利用余弦定理及的值联立求b.解：(1)C=2A,sinC=sin2A=2sinAcosA.由正弦定理,得=2cosA=2=.(2)cosA=,又a+b=10，c=，联立，解得当a=5,b=5时，三角形为等腰三角形，由A=B及C=2A可得A=45，这与cosA=矛盾，不合题意，b的值为.我综合 我发展9.在ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.求证：.思路分析：分析所给的等式左右两边的差异，利用正弦定理、余弦定理实现边、角的统一.证明：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，得a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.整理,得.依正弦定理，有,，.10.在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长,且.(1)求sinB；(2)若b=，且a=c，求ABC的面积.思路分析：本题所给已知条件中，既有边又有角，第一个问题是求其中一内角的正弦，由此容易想到利用正弦定理、余弦定理，把已知条件中的边角之间的关系全部转化为角之间的关系，从而将问题解决.第二个问题容易想到利用三角形相应的面积公式，围绕着公式去考虑需要些什么条件.解：(1)由正弦定理得，又，即sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，sin(B+C)=3sinAcosB.又sin(B+C)=sin(-A)=sinA0，sinA=3sinAcosB.cosB=.又0B，sinB=.(2)在ABC中，由余弦定理,得a2+c2-ac=32，又a=c，=32,a2=24.SABC=.11.某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得公路上与C相距31千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米后到达D处，此时测得C、D间的距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？思路分析：此题主要涉及到方位角，对于方位角不仅要分清东南西北四个基本方向，而且对于一些方位术语也要有清楚的认识才行，否则就容易出错.此题画图分析较好.解：由题意,知CAD=60，cosB=，sinB= .在ABC中，AC=24.由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcosA,即312=AB2+242-2AB24cos60.AB2-24AB-385=0，AB=35或-11(舍).故AD=AB-BD=15千米，此人所在D处距A还有15千米.12.在ABC中，三个内角A、B、C及其对边a、b、c满足.(1)求角A的大小；(2)若a=6，求ABC面积的最大值.思路分析：为了求角A的大小，可以把已知式子边角统一，显然由正弦定理边化角容易实现；要求三角形面积的最大值，需把此面积表示出来，根据三角形的面积公式，转化为求BC的最大值，根据余弦定理可以解决.解：(1)根据正弦定理，已知等式可化为，A+B+C=180，sinB=sin(A-B)-sin(A+B)=sinAcosB-cosAsinB-sinAcosB-cosAsinB=-2cosAsinB.又sinB0，cosA=,A=120.(2)根据余弦定理，得a2=b2+