数值实验-迭代法的设计和运行.docx

数值实验1.1 迭代法的设计和运行（1）一、实验目的迭代法是解各种方程和方程组的基本方法，它通过构造一个定常的迭代格式，重复计算而产生一个收敛的解的序列，逐步逼近问题的真解。对于同一个问题，常可设计不同的迭代格式，这些格式的计算效果可能相差很大，对初始值选择的要求不同，收敛速度也不同。本实验的目的有两个。1、选取相同的初值，采用不同的迭代格式，判断不同收敛格式的收敛性及其收敛快慢及精度。2、对于某个选定的迭代格式，选取不同的初值，分析迭代结果关于初值的依赖关系及不同初值对收敛速度和精度的影响。二、实验步骤及结果1、选取相同初值，采用不同的迭代格式，判别收敛性迭代格式：恍恍惚惚和黑乎乎Hhhh； ；为了比较不同迭代格式对不同初值的依赖关系，选择和进行比较。2.1.1、选取初值时的结果序号迭代格式1迭代格式2迭代格式311.11.11.124.9290.169821.40033-2020.158151.360848.08E+060.158151.36585-5.27E+200.158151.365261.47E+620.158151.36527-3.15E+1861.36528 NaN1.365291.3652101.3652111.3652121.3652图2.1 初值，迭代格式计算结果图2.2初值，迭代格式计算结果图2.3初值，迭代格式计算结果比较三种结果可以看出，迭代格式1是不收敛的，而且当时就已经超出了计算机的计算范围；而迭代格式2和3都是收敛的，但是两种格式最终的收敛值是不同的，格式2收敛于0.15815，格式3收敛于1.3652；从图上可看出，格式2和3的收敛速度在初值为时事相近的。2.1.2、选取初值时的结果序号迭代格式1迭代格式2迭代格式311.31.31.322.3430.178991.37363-22.4780.158161.364249.32E+030.158151.36545-8.11E+110.158151.365265.33E+350.158151.36527-1.51E+1071.36528 Inf1.36529 NaN1.3652101.3652111.3652121.3652图2.4 初值，迭代格式计算结果图2.5初值，迭代格式计算结果图2.6初值，迭代格式计算结果比较三幅图和计算得到的数据，可以看出，取不同初值对最后的计算结果和收敛性都没有显著影响。2、取同一个迭代公式，选取不同初值，考察初值对于迭代格式收敛性、稳定性、收敛速度的影响。2.2.1取迭代格式研究，并分别取初值研究。序号初值 1.1初值 1.2初值 1.3初值 1.411.11.21.31.424.9293.7122.3430.8163-202-92.551-22.4787.609248.08E+067.58E+059323.5-654.575-5.27E+20-4.36E+17-8.11E+112.79E+0861.47E+628.30E+525.33E+35-2.17E+257-3.15E+186-5.72E+158-1.51E+1071.02E+768NaNNaNInf-1.05E+2289NaNNaN图2.7 初值，迭代格式计算结果由于迭代格式发散，因此当最后计算结束时计算值接近于计算机的最大表示范围，绘图时，以最大值为参考单位，本例中为，故未达最大值之前的数据全部接近于0，导致绘图结果对于不同的初值不敏感，因此，这里只画出了的图像，其余几幅图和本图是一样的。2.2.2取迭代格式研究，并分别取初值研究,计算结果：序号初值 1.1初值 1.2初值 1.3初值 1.411.10000 1.20000 1.30000 1.40000 20.16982 0.17385 0.17899 0.18562 30.15815 0.15816 0.15816 0.15816 40.15815 0.15815 0.15815 0.15815 50.15815 0.15815 0.15815 0.15815 60.15815 0.15815 0.15815 0.15815 从这个数据表明显可以看到，迭代格式对于不同初值，收敛速度不同。而且初值越小，收敛速度越快，但收敛快慢没有太大差别。图2.8迭代格式计算结果，图中四条曲线自下向上分别对应于初值2.2.3取迭代格式研究，并分别取初值研究,计算结果：序号初值 1.1初值 1.2初值 1.3初值 1.411.10000 1.20000 1.30000 1.40000 21.40030 1.38680 1.37360 1.36080 31.36080 1.36250 1.36420 1.36580 41.36580 1.36560 1.36540 1.36520 51.36520 1.36520 1.36520 1.36520 61.36520 1.36520 1.36520 1.36520 71.36521.36521.36521.365281.36521.36521.36521.365291.36521.36521.36521.3652101.36521.36521.36521.3652111.36521.36521.36521.3652121.36521.3652从图表可以看出，初值越接近1.36，收敛得越快。表格中，最接近1.36，从数据上可以看出，收敛最快。图2.9 迭代格式计算结果，图中四条曲线的起始点自下向上分别对应于初值从图上可以看出，远离迭代终值，收敛速度最慢，随着初值依次增大，收敛速度增大，且和最接近终值，收敛最快，从数据表上可知收敛更快。三、计算结果分析从以上改变迭代格式和初值所得到的数据中，可以得到以下几个结论：1、对于收敛的迭代格式，改变初值会对收敛的速度和进度产生影响。在相同的精度的情况下，初值越接近于真值，收敛的速度越快，相同次数达到的精度越高。2、对于不收敛的迭代格式，改变初值对发散速度影响不显著，而且在经过几步计算之后就超过计算机的计算阈值。3、在初值一致的情况下，改变迭代格式对于收敛性、收敛速度、收敛值都有影响。从本例中可以看到，迭代格式1不收敛，而迭代格式2和迭代格式3收敛，但二者的收敛值不一样。根据理论分析知道，本例的正确结果应该介于11.5之间，故正确的收敛值应该是1.3652。迭代格式2的收敛结果是错误的，事实上，将0.15815代入方程，结果为-9.896。4、从本例可知，在进行迭代法计算事，除了要设计出迭代格式以外，还要证明迭代格式的收敛性，在保证收敛新的前提下，还应该考虑采用不同的方法来提高计算的速度和进度。本例中，格式1发散，不可用；格式2虽然收敛，但是经过一步计算以后，迭代值已经不在迭代区间1,1.5中，因此才有最后迭代收敛但结果却不正确的情形；格式3收敛，收敛结果正确，不过收敛的速度还是不够快，本例中去初值时收敛最快，不过也要迭代4次，应该考虑更快的迭代格式。四、其他迭代格式1、取迭代初值，计算结果为：序号初值 1.2初值 1.3初值 1.411.20000 1.30000 1.40000 21.51190 1.41940 1.33810 31.25800 1.32340 1.38720 41.45680 1.39940 1.34790 51.29610 1.33850 1.37920 61.42280 1.38690 1.35420 71.32091.34821.374181.40151.37891.358291.33691.35441.3708101.38821.37391.3608111.34721.35831.3688121.37981.37081.3624131.35371.36081.3675141.37451.36871.3634151.35791.36241.3667161.37111.36751.3641171.36061.36351.3661181.3691.36661.3645191.36231.36411.3658201.36761.36611.3648211.36331.36451.3656221.36671.36581.3649231.3641.36481.3655241.36621.36561.365251.36451.36491.3654261.36581.36551.3651271.36471.3651.3653281.36561.36541.3652291.36491.36511.3653301.36551.36531.3652311.3651.36521.3653321.36541.36531.3652331.36511.36521.3653341.36531.36531.3652351.36521.36521.3652361.36531.3653371.36521.3652381.36531.3652391.3652401.3653411.3652421.3652图4.1 迭代格式计算结果，图中曲线为对应于初值这种迭代格式可以保