第17讲 椭圆的几何性质(艺考生专用).doc

梅花香自苦寒来 宝剑锋从磨砺出谨以此案赠送给有梦想的学子第十七讲 椭圆的几何性质知识精要0P1.椭圆的范围看右图，焦点在轴上，我们很容易求出、的范围，这个任务交给你了.即： 的范围： . 的范围： .2.结合上节的内容，汇总椭圆的性质，完成下面的表格.标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于轴、轴和原点对称离心率准线焦半径 3.点与椭圆的位置关系:当时,点在椭圆外；当时,点在椭圆内；当时,点在椭圆上.4.判断直线与椭圆的位置关系. 设直线方程：，设出椭圆的方程：.说明：将直线方程和椭圆方程联立，组成一个二元方程组，消去一元，得到另一元的一元二次方程，那么直线与椭圆的相交情况，取决于这个方程有没有实根.直线与椭圆相交；直线与椭圆相切；直线与椭圆相离.5.直线与椭圆相交，求椭圆截得的弦长.QS0P我们先推出“弦长公式”如果是过焦点的弦|PS|，设点P， 点S，由焦点半径公式可求弦长.|PS|的长：如果弦不过焦点，如弦|PQ|，设点，并设直线PQ的斜率为K，由两点间的距离公式，得 也可写成： 那么怎样求呢？这要让直线方程与椭圆方程联立，消去一元，得到另一元的方程，利用“韦达定理”求出. ，将变形整理成含有“和”，故可用“韦达定理”解之.6.知识补充：直线00直线的倾斜角：规定直线向上的方向与轴的正半轴所夹的角叫做直线的倾角.说明：如图所示，角就是直线的倾斜角，直线倾斜角的范围是00，1800）直线的斜率：规定，直线倾斜角的正切值叫做直线的斜率.直线的斜率通常用字母K表示，即. 其中为直线的倾斜角. 说明：因为没有意义，所以当直线和轴垂直时，此时直线的斜率不存在.直线常见的三种形式：一般式：（化成斜截式可求斜率）斜截式：（不包括垂直轴的直线）点斜式：（直线经过点，且不包括垂直轴的直线）常见直线的位置关系：当两条直线的“斜率相等”时，两条直线平行： 写成一般式：，；写成斜截式：，；当两条直线的斜率满足“”时垂直.点到直线的距离公式：已知直线外一点，直线方程为，则点到直线的距离公式为：.两平行线间的距离公式：先将两直线化成“的系数相同的一般式”，如，则距离公式为.已知直线经过两点，求该直线的斜率公式：.6.例题讲解直线与椭圆的位置关系及弦长问题例1 已知椭圆及直线当为何值时，直线与椭圆有公共点？若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程给你个机会，显摆一下吧.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围 知识补充：恒成立问题比较一下例1中和练习两题的条件，它们有何不同？一个是“存在公共点”，一个是“恒有公共点”，区别就在于一个“恒”字.注意了，“存在公共点”条件是“解不等式”，“恒成立”条件可不是解不等式，而是求“最值”.正面我们来讨论一下求最值的方法：解决恒成立问题，只有两法：一是“分离常数法”，二是“构造函数法”，这两个方法的区别就在于计算量不同，一般来说“分离常数法”较好计算.遇到一个恒成立问题，如果其中一个常数“不需讨论”就能分离开来，优先选择此法，反之就选择构造函数法.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求ABF2的面积已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆交于和，且，求椭圆方程.说明：同学们，直线和圆锥曲线综合命题是历年来高考考查的热点，所以直线和圆锥联立，利用“韦达定理”解题又是这种题型常用到的手段之一，故此，但我们也清楚，此类问题在计算量上总是让一些学生望而生畏，裹足不前.同学们，要想突破圆锥曲线的束缚，考场上拿高分，必须熟悉直线和圆锥曲线联立能解决的各种题型，后面我们会陆续精彩登场.知识补充：中点坐标公式：已知两点和，则线段的中点坐标公式为； 在圆锥曲线中，垂直条件会时常出现，两个向量垂直，则其对应的向量“数量积= 0”，如果两个向量用坐标表示，你知道两个向量的“数量积”公式？ 已知，如果，则战胜高考，成就自己：1.【2012高考新课标文4】设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 2.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为A. B. C. D.3.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2. 若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为A. B. C. D. 4.【2012高考四川文15】椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_ _.【答案】1.C； 2.C； 3.B； 4.精选作业1. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是 ( )A. 或 B. C. D. 或 2. 椭圆的一个焦点坐标是(2,0), 且椭圆的离心率, 则椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D.3. 2014四川卷 已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C 于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标4. 2014北京卷 已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论5. 2014重庆卷 如图14所示，设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D 在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径 图14 62014安徽卷 设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为 7. 2014福建卷 设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5 B. C7 D68. 2014广东卷 已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程9. 2014江西卷 过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)n相交于A，B 两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_10.2014辽宁卷 已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_11.2014全国卷 已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21 C.1 D.112.2014新课标全国卷 已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程13.2014新课标全国卷 设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M 是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.14. 2014天津卷 设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的