北京市昌平临川育人学校2017届高三数学上学期期末考试试题理.docx

北京临川育人学校20162017学年上学期期末考试高三理科数学试卷一、选择题1设集合A=x|x23x0，B=x|x|2，则AB=（）A（2，0）B（2，3）C（0，2）D（2，3）2把复数z的共轭复数记作，已知（34i）=1+2i，则z=（）A +iB+iCiD3设命题p：x0，xlnx则p为（）Ax0，xlnxBx0，xlnxCx00，x0lnx0Dx00，x0lnx04已知向量、，其中|=，|=2，且（），则向量和的夹角是（）ABCD5如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的为某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）AB1CD26已知2sin2=1+cos2，则tan（+）的值为（）A3B3C3或3D1或37执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是（）A8B13C21D348如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，ACGF，且ABC是边长为2的正三角形，DEFG是边长为4的正方形，M，N分别是AD，BE的中点，则MN=（）AB4CD59已知f（x）=asinx+cosx，若f（+x）=f（x），则f（x）的最大值为（）A1BC2D210设数列an的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=2，则a7=（）A16B32C64D12811设双曲线=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则=（）ABCD12已知f（x）是函数f（x），（xR）的导数，满足f（x）=f（x），且f（0）=2，设函数g（x）=f（x）lnf3（x）的一个零点为x0，则以下正确的是（）Ax0（4，3）Bx0（3，2）Cx0（2，1）Dx0（1，0）二、填空题13已知实数x，y满足，若xy的最大值为6，则实数m=14二项式（）n的展开式中各项系数之和为，则展开式中的常数项为15已知an是公差不为0的等差数列，bn为等比数列，满足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若对于每一个正整数n，均有an=a1+logabn，则常数a=16已知ABC的三个顶点均在抛物线y2=x上，边AC的中线BMx轴，|BM|=2，则ABC的面积为三、解答题17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB（1）求cosA（2）若a=3，求ABC的面积的最大值18如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA1，CC1的中点，且BEB1F（1）求证：B1F平面BEC1；（2）求二面角ABC1E的平面角的余弦值19某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：30，27，9，14，33，25，21，12，36，23，乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39（1）根据两组数据完成甲乙运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；（不要求计算出具体数值，给出结论即可）（2）若从甲运动员的十次比赛的得分中选出2个得分，记选出的得分超过23分的个数为，求的分布列和数学期望20在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4上的一点P（x0，y0）（x0，y00）处的切线l分别交x轴，y轴于点A，B，以A，B为顶点且以O为中心的椭圆记作C，直线OP交C于M，N两点（1）若椭圆C的离心率为，求P点的坐标（2）证明四边形AMBN的面积S821已知函数f（x）=aex+bxlnx图象上x=1处的切线方程为y=2exe（）求实数a和b的值；（）求函数g（x）=f（x）ex2的最小值选考题（二选一）选修4-1：几何证明选讲 选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，直线，（t为参数）与抛物线y2=2px（p0）相交于横坐标分别为x1，x2的A，B两点（1）求证：x02=x1x2；（2）若OAOB，求x0的值选修4-5：不等式选讲024已知a，bR+，设x=，y=，求证：（1）xyab；（2）x+ya+b北京临川育人学校20162017学年上学期期末考试高三理科数学答案 命题 李永刚一、选择题1设集合A=x|x23x0，B=x|x|2，则AB=（）A（2，0）B（2，3）C（0，2）D（2，3）【考点】交集及其运算【分析】化简集合A、B，再求AB【解答】解：集合A=x|x23x0=x|x0或x3=（，0）（3，+），B=x|x|2=x|2x2=（2，2），AB=（2，0）故选：A2把复数z的共轭复数记作，已知（34i）=1+2i，则z=（）A +iB+iCiD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求得，则z可求【解答】解：，故选：C3设命题p：x0，xlnx则p为（）Ax0，xlnxBx0，xlnxCx00，x0lnx0Dx00，x0lnx0【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断【解答】解；命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论p：x0lnx0故选：D4已知向量、，其中|=，|=2，且（），则向量和的夹角是（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由（），则（）=0，即有=，再由向量的数量积的定义和性质，即可得到夹角【解答】解：由于|=，|=2，且（），则（）=0，即有=，则2=，则有cos=，即有向量和的夹角为故选A5如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的为某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）AB1CD2【考点】由三视图求面积、体积【分析】依三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利用椎体的体积公式求出答案【解答】解：依三视图知该几何体为三棱锥PABC，且PD平面ABD，ADBD，C是AD的中点，PD=AD=BD=2，所以其体积，故选：A6已知2sin2=1+cos2，则tan（+）的值为（）A3B3C3或3D1或3【考点】两角和与差的正切函数【分析】由倍角公式求得sin与cos的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可【解答】解：2sin2=1+cos2，4sincos=1+2cos21，即2sincos=cos2，当cos=0时，此时，当cos0时，此时，综上所述，tan（+）的值为1或3故选：D7执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是（）A8B13C21D34【考点】程序框图【分析】框图首先给变量a，b，k赋值，a=1，b=1，k=0，然后执行一次运算k=k+1，判断k6是否成立，成立则执行用a+b替换c，用b替换a，用c替换b，用k+1替换k，不成立输出c的值，然后再判断k6是否成立，依次判断执行【解答】解：框图首先给变量a，b，k赋值，a=1，b=1，k=0，执行k=0+1=1；判断16成立，执行c=1+1=2，a=1，b=2，k=1+1=2；判断26成立，执行c=1+2=3，a=2，b=3，k=2+1=3；判断36成立，执行c=2+3=5，a=3，b=5，k=3+1=4；判断46成立，执行c=3+5=8，a=5，b=8，k=4+1=5；判断56成立，执行c=5+8=13，a=8，b=13，k=5+1=6；判断66不成立，跳出循环，输出c=13故选B8如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，ACGF，且ABC是边长为2的正三角形，DEFG是边长为4的正方形，M，N分别是AD，BE的中点，则MN=（）AB4CD5【考点】点、线、面间的距离计算【分析】取BD中点P，连结MP，NP，利用余弦定理，求出MN【解答】解：如图，取BD中点P，连结MP，NP，则MPAB，NPDE，又ACGF，ACNP，CAB=60，MPN=120，故选A9已知f（x）=asinx+cosx，若f（+x）=f（x），则f（x）的最大值为（）A1BC2D2【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】由题意得f（x）的对称轴为，及f（x）=sin（x+），由此得到f（x）的最值的关系式，得到a=1，由此得到f（x）的最大值【解答】选B解：由题意得f（x）的对称轴为，f（x）=asinx+cosx=sin（x+）当时，f（x）取得最值即，得a=1，f（x）的最大值为故选B10设数列an的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=2，则a7=（）A16B32C64D128【考点】等差数列的前n项和【分析】由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2=2an+1，从而得到an从第二项起是公比为2的等比数列，由此能求出结果【解答】解：数列an的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=2，由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2+an+1+an+1=0，即an+2=2an+1，an从第二项起是公比为2的等比数列，故选：C11设双曲线=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则=（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的a，b，c，可得两焦点的坐标和渐近线方程，可设PF1与直线平行，求得平行线的方程代入双曲线的方程，求得P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，得F1（2，0），F2（2，0），渐近线为，由对称性，不妨设PF1与直线平行，可得，由得，即有，=+（）2=故选B12已知f（x）是函数f（x），（xR）的导数，满足f（x）=f（x），且f（0）=2，设函数g（x）=f（x）lnf3（x）的一个零点为x0，则以下正确的是（）Ax0（4，3）Bx0（3，2）Cx0（2，1）Dx0（1，0）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出f（x）的表达式，得到g（x）的表达式，设h（x）=f（x）g（x），求出h（0）和h（1）的值，从而求出x0的范围【解答】解：设f（x）=kex，则f（x）满足f（x）=f（x），而f（0）=2，k=2，f（x）=2ex，g（x）=3lnf（x）=3（x+ln2）=3x+3ln2，设h（x）=f（x）g（x），则h（x）=2ex+3x3ln2，h（0）=23ln20，h（1）=2e33ln20，即在（1，0）上存在零点，故选：D二、填空题13已知实数x，y满足，若xy的最大值为6，则实数m=8【考点】简单线性规划【分析】依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线xy=6，结合图形可知，要使直线xy=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+ym=0必经过直线xy=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1m=0，即m=8【解答】解：由约束条件作出可行域如图，图形可知，要使直线xy=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+ym=0必经过直线xy=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1m=0，即m=8故答案为：814二项式（）n的展开式中各项系数之和为，则展开式中的常数项为【考点】二项式系数的性质【分析】先x=1，求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项【解答】解：令x=1，根据题意有，解得n=6；（）6展开式的通项公式为：，令，解得r=3；所以，展开式的常数项为：故答案为：15已知an是公差不为0的等差数列，bn为等比数列，满足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若对于每一个正整数n，均有an=a1+logabn，则常数a=【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【分析】设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题意列式求得d，q的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求，代入an=a1+logabn，求解即可得到a值【解答】解：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，解得d=6，q=9，an=3+6（n1）=6n3，代入an=a1+logabn得，即loga9=6，故答案为：16已知ABC的三个顶点均在抛物线y2=x上，边AC的中线BMx轴，|BM|=2，则ABC的面积为【考点】抛物线的简单性质【分析】作AHBM交BM的延长线于H，求出|BM|，|AH|，即可求得ABC的面积【解答】解：根据题意设A（a2，a），B（b2，b），C（c2，c），不妨设ac，M为边AC的中点，又BMx轴，则，故，（ac）2=8，即，作AHBM交BM的延长线于H故故答案为：三、解答题17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB（1）求cosA（2）若a=3，求ABC的面积的最大值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）根据正弦定理将边化角，利用两角和的正弦函数公式化简得出cosA；（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值【解答】解：（1）在ABC中，3acosA=bcosC+ccosB，3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA，又A（0，），sinA0，（2）a2=b2+c22bccosA，即，b2+c2=9+bc2bc，sinA=，ABC的面积，（时取等号）18如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA1，CC1的中点，且BEB1F（1）求证：B1F平面BEC1；（2）求二面角ABC1E的平面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）分别取BC1，BC中点D，G，连结ED，AG，推导出AG面BCC1B1，从而EDB1F，BEB1F，由此能证明B1F面BEC1（）以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角ABC1E的余弦值【解答】证明：（）分别取BC1，BC中点D，G，连结ED，AG，ABCA1B1C1是直三棱柱，且底面是正三角形，AG面BCC1B1，又E，D都是中点，由题意EDAG，ED面BCC1B1，EDB1F，已知BEB1F，BEED=E，B1F面BEC1； 解：（）由（）知B1F面BEC1，B1FBC1，由题意，设BB1=a，则，代入得，以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立如图坐标系Oxyz，得A（0，1，0），则，B1F面BEC1，平面 BEC1的法向量为=（，1，），设平面ABC1的法向量为=（x，y，z），则，得，取x=1，得=（1，），设二面角ABC1E的平面角为，cos=，二面角ABC1E的余弦值为19某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：30，27，9，14，33，25，21，12，36，23，乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39（1）根据两组数据完成甲乙运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；（不要求计算出具体数值，给出结论即可）（2）若从甲运动员的十次比赛的得分中选出2个得分，记选出的得分超过23分的个数为，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列【分析】（）由某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录作出茎叶图，由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定（）根据题意的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】解：（）由某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录作出茎叶图：由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定（）根据题意的所有可能取值为0，1，2，则，所以的分布列为012P（）E（）=120在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4上的一点P（x0，y0）（x0，y00）处的切线l分别交x轴，y轴于点A，B，以A，B为顶点且以O为中心的椭圆记作C，直线OP交C于M，N两点（1）若椭圆C的离心率为，求P点的坐标（2）证明四边形AMBN的面积S8【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用直线的斜率公式，可得直线l的方程，求得A，B的坐标，可得椭圆的方程，讨论焦点位置，运用离心率公式可得P的坐标；（2）直线OP的斜率为k，依题意有k0且k1，直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为，求得A，B的坐标，椭圆方程，代入直线y=kx，求得M，N的坐标，可得|OM|，|AB|，运用四边形的面积公式和基本不等式，化简整理，即可得到结论【解答】解：（1）依题意，直线l方程为，令x=0，得，令y=0，得，即有，椭圆C的方程为，若x0y0，则椭圆的离心率，由，得，而，解得，则；若x0y0，同理可得；综上可得P点坐标为，；（2）证明：直线OP的斜率为k，依题意有k0且k1，直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为，令x=0，得，令y=0，得x=ky0+x0，可得，椭圆C的方程，联立，解出，可得，即有=，即有，|AB|=，可得S=|AB|MN|=4（k+），令t=k+（t2），则f（t）=t2（1+）=（t22）+42+4=8，即有f（t）8，故21已知函数f（x）=aex+bxlnx图象上x=1处的切线方程为y=2exe（）求实数a和b的值；（）求函数g（x）=f（x）ex2的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可求实数a和b的值；（）求函数g（x）=f（x）ex2的导数，研究函数的单调性，判断函数的极值和最值关系即可求g（x）的最小值【解答】解：（）函数的导数f（x）=aex+blnx+bx=aex+blnx+b，则f（1）=ae+b，f（x）=aex+bxlnx图象上x=1处的切线方程为y=2exe当x=1时，y=2ee=e，即切点坐标为（1，e），则切线斜率k=f（1）=ae+b=2e，f（1）=ae+bln1=ae=e，得a=1，b=e；（）a=1，b=e，f（x）=e