高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程导学案.docx

二圆锥曲线的参数方程庖丁巧解牛知识巧学一、椭圆的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：(1)椭圆=1(ab0)的参数方程是(为参数，且0a0)的参数方程是(为参数,且02).以(x0，y0)为中心，半长轴为a，半短轴为b，焦点连线平行于x轴的椭圆的参数方程是（是参数）. 方法点拨 在利用研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acos,bsin).二、双曲线的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：(1)双曲线=1的参数方程为（为参数）；(2)双曲线=1的参数方程为（为参数）.以(x0，y0)为中心，半实轴为a，半虚轴为b，焦点连线平行于x轴的双曲线的参数方程为(为参数，00)的参数方程：(p0,t为参数,tR),其中参数t可视为该抛物线y2=2px(p0)上任一点P与抛物线顶点O所连直线OP的斜率的倒数.设抛物线上任一点P(x,y),则t=.以(x0，y0)为顶点，焦参数为p，对称轴平行于x轴的抛物线的参数方程是（t是参数）,其中参数t是抛物线上任意一点与顶点连线的斜率的倒数. 辨析比较 抛物线y2=-2px(p0)的参数方程：x=(p0,t为参数,tR)；抛物线x2=2py(p0)的参数方程：(p0,t为参数,tR)；抛物线x2=-2py(p0)的参数方程：(p0,t为参数,tR).问题探究问题1 举一些现实生活中的例子,说明圆锥曲线的参数方程同圆锥曲线的普通方程相比有何特点，圆锥曲线的参数方程在解题中有什么样的作用?探究：弹道曲线是炮弹飞行的轨迹.在军事上，当炮弹发射出去后，需要知道各个时刻炮弹的位置，很显然相应的位置与炮弹发射出去后的时间有着密切的关系，通过建立适当的坐标系，选择时间作为参数，很容易建立起相应的参数方程，这比根据已知条件直接去找炮弹飞行的普通方程方便得多，并且根据实际军事需要，这样也容易知道各个时刻炮弹所处的位置，有利于为现代战争赢得时间.这正是抛物线的参数方程在实际生活中的具体应用.当然圆锥曲线的参数方程的应用还不止这些，再比如：在研究人造地球卫星的运行轨道时，常常也用其参数方程的形式来予以研究.问题2 在使用圆锥曲线的参数方程解题时，需要能够正确地把普通方程转化为参数方程.那么，在把普通方程转化为参数方程时，是否会出现不同的结果呢?探究：会.例如:椭圆=1的参数方程可以是x=的形式，也可以是的形式，它们二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样，对于双曲线、抛物线亦是如此.典题热题例1已知A、B分别是椭圆=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心G的轨迹的普通方程.思路分析：本题有两种思考方式，求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cos,3sin)的形式，从而予以求解.图2-2-1解：由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cos,3sin).点G的坐标为(x,y)，则由题意可知点A(6，0)、B(0，3).由重心坐标公式,可知有由此消去,得到+(y-1)2=1即为所求. 深化升华 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例2实数x、y满足=1，试求x-y的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.思路分析：本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换，但容易看到会出现开方，很不利于求x-y的最大值与最小值.这时，根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解，借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.解：由已知可设则x-y=(4cos+1)-(3sin-2)=(4cos-3sin)+3=5cos(+)+3，其中cos=,sin=.当cos(+)=1,即+=2k,kZ时，cos=cos(2k-)=cos=，sin=sin(2k-)=-sin=.x=4+1=,y=3()-2=时，x-y的最大值为8.同理,当x=,y=时，x-y的最小值为-2. 误区警示 本题易错点主要有两点:(1)对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程；(2)在使用参数方程运算时不考虑的实际取值.例3点P在圆x2+(y-2)2=上移动，点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标.思路分析：点P与点Q都是动点，PQ的表达式中会有两个参变量，最大值与最小值都难求.点P在圆上，圆是一个中心对称图形.当椭圆上的点到圆心距离最远时，它到圆上的点也会是最远，故先将求PQ转化为求圆心O与Q的距离.点Q在椭圆上，可利用椭圆的参数方程表示点P的坐标.解：设Q(2cos,sin),O(0,2),则OQ2=(2cos)2+(sin-2)2=4cos2+sin2-4sin+4=-3(sin+)2+8+，故当sin=时，OQ2取最大值为，此时，OQ=.当sin=1时，OQ2取最小值为1，此时，OQ=1.又圆的半径为，故圆上的点P与Q的最大距离为PQ=+.P与Q的最小距离为PQ=1-=.PQ取最大值时，sin=,cos=，Q的坐标为()或(,)；PQ取最小值时，sin=1,cos=0，点Q的坐标为(0,1). 深化升华 本题的解法再次体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,并且对于椭圆的参数方程要求更高了，因为所给方程不是椭圆的标准方程的形式.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例4设P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标.思路分析：由于P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一动点，因此四边形OAPB的形状不定，则不能用特殊四边形的面积公式来求其最值，只能考虑把四边形分解为几个三角形，利用三角形的知识来求其面积的最大值.解：点P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点,设P(6cos,2sin),(0,)(图略).法一:直线AB方程为=1,即x+3y-6=0.欲使SOAPB最大,只需P到AB的距离最大.dP-AB=(0,),sin(+)0.当=时,dmax=.(SAPB)max=6(-1).(SOAPB)max=62+6(-1)=.法二:SOAPB=SPOA+SPOB=26cos