2018-2019学年成都市青羊区石室中学高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年四川省成都市青羊区石室中学高二上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1若圆的方程为x2+y22x+4y+10，则该圆的圆心和半径r分别为（ ）A（1，2）；r2B（1，-2）；r4C（-1，2）；r2D（-1，2）；r4【答案】A【解析】将圆方程化为标准形式,即可得解.【详解】将圆的方程化为标准形式:,则该圆的圆心为,半径为2,故选:A.【点睛】本题主要考查利用圆的方程确定圆心,半径,属于基础题.2从随机编号为0001，0002，5000的5000名参加成都市零诊考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的三个编号分为0018，0068，0118，则样本容量是（ ）A20B50C100D200【答案】C【解析】根据系统抽样的定义先确定样本间隔,再计算样本容量.【详解】因为样本中编号最小的三个编号分为0018,0068,0118,故样本间隔为50,则共抽取个样本,故选:C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用,属于简单题.3某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】分析题意知这是一个几何概型,故分别确定“电台整点报时”的总时间长度,“他等待的时间不多于10分钟”包含的时间长度,再进行计算即可.【详解】由题意可知这是一个几何概型,电台整点报时,则事件包含的总时间长度为60,事件“他等待的时间不多于10分钟”包含的时间长度为10,由几何概型公式得,故选:B.【点睛】本题考查了几何概型,难度不大.解决概率型题目时,先确定题目所属概率模型,再依据模型特征解题.4用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数（ ）A648B512C729D1000【答案】A【解析】0不能做首位,故按特殊位置先排法,先排百位,再排十位,个位即可.【详解】0不能做首位,故按照百位,十位,个位的顺序排列,共有种排法,故选:A.【点睛】本题考查排列组合的基本应用,属于简单题.在答题时,一般遵循特殊元素(位置)先排原则.5直线l过原点交椭圆16x2+25y2400于A、B两点，则|AB|的最大值为（ ）A8B5C4D10【答案】D【解析】依据题意,直线的斜率一定存在,故设其方程为,联立直线方程与椭圆方程,利用弦长公式即可求最值.【详解】当直线的斜率不存在时,是椭圆的短轴,显然这时的不是最大值;当直线的斜率存在时,设的方程为:,联立,整理得;,(当且仅当时取等号),时,有最大值10,故选:D.【点睛】本题考查直线与椭圆联立,求弦长的最值问题.需要一定的计算分析能力,难度不大.6阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A-10B6C14D18【答案】B【解析】模拟法：输入；不成立；不成立成立输出,故选B.【考点】本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.7从抛物线y28x上各点向x轴作垂线段，则垂线段中点的轨迹方程为（ ）Ay24xBy22xCy2xDy2x【答案】B【解析】设垂线段中点为,是抛物线上任意一点,找到二者之间的等量关系,再代入抛物线方程即可.【详解】设垂线段中点为,是抛物线上任意一点,则有,即就是垂线段中点的轨迹方程,故选:B.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,难度不大.求轨迹方程常用的方法有:直接法,定义法,相关点法等.8如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）A直线B圆C双曲线D抛物线【答案】D【解析】由于在平面内，而平面，因此有，这样结合抛物线的定义可得结论【详解】在正方体中，一定有，点为平面内到直线和到点的距离相等的点，其轨迹为抛物线故选D【点睛】本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的垂直关系属于跨章节综合题，难度不大9从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，则（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】从茎叶图来看乙中数据集中，甲比较分散，所以10已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|（ ）AB2C3D6或3【答案】C【解析】双曲线渐近线的方程为,则其夹角为,因此过F点的直线与渐近线垂直,故设出直线方程,将之与渐近线方程联立,解出M,N两点的坐标,从而求出.【详解】由题知,双曲线的渐近线方程为:,渐近线的夹角为,则过F点的直线与渐近线垂直,不妨设过的直线为:,联立,解得,联立,解得,则,故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质应用,需要学生熟悉双曲线的性质并灵活应用,并具备一定的计算分析能力.11过抛物线x22py（p0）的焦点F作斜率为的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴的左侧），则（ ）ABCD【答案】A【解析】设出直线的方程,代入抛物线方程中,求出,两点的纵坐标,再利用抛物线的定义即可得出结论.【详解】设直线的方程为:,联立,整理得,从而,则,故选:A.【点睛】本题考查抛物线的定义及其简单的性质应用,难度不大.12在平面直角坐标系上，矩形ABCD，顶点A（6，2），若点B，D是圆（x3）2+（y3）212上两动点，点C是圆（x3）2+（y3）214上动点，则这样的ABCD有多少个（ ）A0个B2个C4个D无数个【答案】D【解析】以为直径画圆,交圆于,两点,可推出过圆心,所以四边形是矩形,又由的任意性可知,这样的有无数个.【详解】如图所示,任取圆上一点,以为直径画圆,交圆于,两点,因为点在圆上,所以,所以过圆心,为圆的一条直径,所以四边形是矩形,又由的任意性可知,这样的有无数个,故选:D.【点睛】本题考查圆的应用问题,考查数形结合思想,属于中档题.二、填空题13双曲线16y29x21的渐近线方程为_【答案】yx【解析】将双曲线方程化为标准形式,求出,即可得出结论.【详解】将双曲线方程化为标准形式:,可得,故其渐近线方程为:,故答案为: yx.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程,属于基础题.14乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有_项【答案】60【解析】展开后的每一项都是由三个式子中任取一项相乘得到的,因而根据分步乘法原理即可得出结论.【详解】根据多项式的乘法法则,可知展开后的每一项都是由这三个式子,每一个中任取一项相乘后得到的,而在中有3种取法,在中有4种取法,在中有5种取法,由分步乘法原理可得,总共有种情况,故答案为:60.【点睛】本题考查分步计数原理的运用,属于简单题.15圆H：（x1）2+（y2）22上有一动点P，圆内有一点A（），求APH最大时的余弦值_【答案】【解析】延长交圆于点,过点作于点,则,又可推出,则可求出的最大值,从而得出结论.【详解】如图所示,延长交圆于点,过点作于点,当最大时,取得最小值,取到最大值,又当与不垂直时,当与垂直时,所以,所以,当且仅当,即时,取到最大值,因此,最大时,余弦值为,故答案为:.【点睛】本题考查了直线与圆相交的有关性质应用,结合了三角函数的相关知识,需要学生对各类知识融会贯通,灵活运用.16已知实数x，y满足，（x、yZ），每一对整数（x，y）对应平面上一个点，以其中任意两个不同点分别为向量的起点和终点，得到一组模长或方向不同的向量，从这组向量中随机取出一个向量，其模长不超过2的概率_【答案】【解析】作出可行域后,可求出基本事件有24个,而满足模长不超过2的向量有12个,即可得出概率.【详解】作出满足约束条件的可行域,如图中阴影部分所示,则满足题设条件的向量共有24个,其中模长为1的有4个,模长为的有4个,模长为2的有4个,模长为的有8个,模长为的有2个,模长为3的有2个,所以模长不超过2的向量共有12个,所以从这组向量中随机取出一个向量,其模长不超过2的概率为,故答案为:.【点睛】本题主要考查古典概型,结合了线性规划等基础知识,需要一定的计算和分析能力.三、解答题17某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高4米在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是多少米？【答案】3.84米【解析】试题分析：本题利用解析法解决先建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0），把点B（10，4）代入抛物线方程，求得p，得到抛物线方程，进而把x=2代入抛物线方程求得y，可得最高支柱的高度解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0），过定点B（10，4），代入x2=2py，得p=x2=25y当x=2时，y=，最长支柱长为4|y|=4=3.84（m），故在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是：3.84米点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程解应用题需要把文字语言转化为形式化数学语言本题就是要利用解析法解决，介入一个抛物线方程，利用抛物线的性质来解决问题18学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），所得数据整理后，列出了如下频率分布表分组频数频率40，50）A0.0450，60）40.0860，70）200.4070，80）150.3080，90）7B90，10020.04合计C1（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C的值；（2）补全频率分布直方图，并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数；（3）现从分数在80，90），90，100的9名同学中随机抽取两名同学，求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率【答案】（1）2，0.14，50（2）65， 69.5（3）【解析】(1)利用频率分布表,结合频率,直接求出,的值;(2)求出众数,中位数,画出频率分布直方图即可;(3)利用古典概型概率的求法,求解概率即可.【详解】(1);(2)众数为最高的小矩形区间中点65,中位数为,频率直方图如下:(3)设=从分数在80,100的10名同学中随机抽取两名同学,A=两名学生分数均不低于90分,n(A)=1,根据古典概型计算公式可得.【点睛】本题考查频率分布直方图以及频率分布表的应用,难度不大.19已知椭圆C：1（ab0），椭圆C上的点到焦点距离的最大值为9，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）求椭圆C上的点到直线l：4x5y+400的最小距离？【答案】（1）（2）【解析】(1)根据题意列出方程组,求出,从而求出椭圆的标准方程.(2)由题可知直线与椭圆不相交,将直线平移,可知其与椭圆相切时,切点到直线的距离最小或最大,据此可设直线平行于直线,将之与椭圆方程联立,进而得解.【详解】(1)因为椭圆C上的点到焦点距离的最大值为9,最小值为1,所以a+c=9,ac=1,a=5,c=4,b2=a2c2=9,椭圆的标准方程为:;(2)由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭圆不相交,设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以写成4x5y+k=0,联立,整理得25x2+8kx+k2225=0,令=0,得64k2425(k2225)=0解得k1=25或k2=25,当k1=25时,直线m与椭圆交点到直线l的距离最近,此时直线m的方程为4x5y+25=0,直线m与直线l间的距离d,所以,椭圆C上的点到直线l:4x5y+40=0的最小距离是.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质的应用,需要学生有分析解决问题的能力,属于中档题.解题关键是明确当直线的平行线与椭圆相切时,切点到直线的距离最大或最小.20已知关于x的一元二次函数f（x）ax22bx+8（1）设集合P1，2，3和Q2，3，4，5，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf（x）在区间（，2上有零点且为减函数的概率？（2）设集合P1，3和Q2，5，分别从集合P和Q中随机取一个实数作为a和b，求函数yf（x）在区间（，2上有零点且为减函数的概率？【答案】（1）（2）【解析】(1)利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可;(2)作出不等式组对应的区域,求出对应区域的面积,结合几何概型的概率公式进行计算即可.【详解】(1)总事件数n=34=12,若满足y=f(x)在区间(,2上有零点且为减函数,则,即满足条件的a,b为(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),共有5个,则对应的概率P;(2)由题设条件知,若y=f(x)在区间(,2上有零点且为减函数,则,即,对应的区域如下图所示:由得,即F(2,4),由得,即E(1,3),由得,即G(,5),又A(1,5),D(3,5),则阴影部分的面积S=SAEDSGDF22(3)(54)=2,矩形ABCD的面积S=23=6,则对应的概率.【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型概率的计算,利用列举法求古典概型以及利用数形结合求解几何区域的面积是解决本题的关键.21已知线段AB的端点B的坐标是（4，2），端点A在圆C：（x+2）2+y216上运动（1）求线段AB的中点的轨迹方程H（2）判断（1）中轨迹H与圆C的位置关系（3）过点P（3，2）作两条相互垂直的直线MN，EF，分别交（1）中轨迹H于M，N和E，F，求四边形MNFE面积的最大值【答案】（1）（x1）2+（y1）24（2）两圆相交（3）【解析】(1)设,中点,根据已知关系,由相关点法即可得出圆的方程;(2)比较圆心距与两圆半径的关系,得出两圆位置关系;(3)根据圆的完美性,本题把圆和点同时向左和向下平移一个单位后,就可以把问题转换为与圆的问题求解.【详解】(1)设A(x0,y0),中点H(x,y),则,代入圆C:(x+2)2+y2=16中,化简得圆H:(x1)2+(y1)2=4;(2)两圆圆心分别为C(2,0),H(1,1),半径分别为,圆心距d,r1r2dr1+r2两圆相交;(3)根据圆的完美性,本题把圆和点同时向左和向下平移一个单位