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1 3简易逻辑及充要条件 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 1 3简易逻辑及充要条件 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 逻辑联结词 1 可以判断真假的语句叫命题 命题由 和 两部分构成 2 逻辑联结词有 不含逻辑联结词的命题叫简单命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题 复合命题的三种构成形式是 3 判断复合命题真假的方法 真值表 条件 结论 或 且 非 p或q p且q 非p 真 假 假 假 真 真 真 假 假 真 2 四种命题及关系 1 命题的四种形式原命题 若p则q 逆命题 否命题 逆否命题 若非q则非p 若q则p 若非p则非q 2 四种命题的关系 原命题与它的逆否命题一定同真或同假 同样 它的逆命题与否命题也一定同真或同假 也就是说 互为逆否的两个命题是等效的 等价的 3 充要条件 1 定义 对于 若p则q 形式的命题 如果已知p q 那么p是q的 q是p的 充分条件 必要条件 如果既有p q 又有q p 则记作p q 就说p是q的充分必要条件 简称 2 若p q 但qp 则p是q的充分但不必要条件 若q p 但pq 则p是q的 充要条件 必要但不充分条件 思考感悟1 逻辑联结词 或 与日常生活用语中的 或 意义相同吗 提示 逻辑联结词中的 或 与日常生活用语中的 或 意义有所不同 日常用语中的 或 带有 不可兼有 的意思 如工作或休息 而逻辑联结词 或 含有 同时兼有 的意思 如x 6或x 9 提示 不是 否命题 与 命题的否定 是两个不同的概念 如果原命题是 若p 则q 那么这个原命题的否定是 若p 则非q 即只否定结论 而原命题的否命题是 若p 则q 即既否定命题的条件 又否定命题的结论 2 否命题 是 命题的否定 吗 1 教材例2改编 设命题p 0 命题q x2 x 1 0的解集为R 在p或q p且q 非p中真命题的个数为 A 0B 1C 2D 3答案 B 2 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 A 若一个数是负数 则它的平方不是正数 B 若一个数的平方是正数 则它是负数 C 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 D 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 答案 B 3 2 是 函数y sin x 的最小正周期为 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件答案 A 5 设A B为两个命题 若B是非A的必要不充分条件 则A是非B的 条件答案 必要不充分 考点探究 挑战高考 用逻辑联结词 或 且 非 把两个简单命题联结起来 就是复合命题 其真假依据这两个简单命题及逻辑联结词来判定 结合本节教材例2解答 思路分析 根据数学的含义 找清两个简单命题 结合真值表判定 解 1 p 24是8的倍数 q 24是6的倍数 p q都真 本命题 p且q为真 2 p 矩形的对角线互相垂直 假 q 矩形的对角线相等 真 p或q为真 3 p 菱形是平行四边形 真 非p为假 4 p 3 0真 q 3 0假 p或q为真 5 当x 1且y 1时为大前提 p x 1 y 1 0 真 q x y 2 0 真 p且q为真 解题感受 本题考查复合命题真假的判断问题 关键是准确判断两个简单命题p与q的真假和掌握好复合命题的真值表 四种命题是指原命题 逆命题 否命题 逆否命题 主要考查它们的概念和改写等内容 其等价关系有 两个互为逆否的命题为等价命题 同真同假 结合本节教材例2解答 写出命题 若a 2 则x2 x a 0对任意x R恒成立 的逆命题与逆否命题 并判断真假 思路分析 本命题作为原命题 找清条件和结论 依照定义改写 解 原命题的逆命题是 若x2 x a 0对任意x R恒成立 则a 2 该命题为假命题 原命题的逆否命题是 若存在实数x使x2 x a 0 则a 2 该命题为真命题 思维总结 对于 否定 形式 注意词语的改写 如本题 任意x R 与 存在实数x 互动探究本命题的否命题是 答案 若a 2 则存在实数x 使x2 x a 0成立 此考点是针对具体命题进行判定 对具体命题判断时 要注意以下问题 1 确定条件是什么 结论是什么 2 尝试从条件推结论 结论推条件 3 确定条件是结论的什么条件 参考教材例1及例2 2009年高考安徽卷 下列选项中 p是q的必要不充分条件的是 A p a c b d q a b且c dB p a 1 b 1 q f x ax b a 0 且a 1 的图象不过第二象限C p x 1 q x2 xD p a 1 q f x logax a 0 且a 1 在 0 上为增函数 思路分析 抓住 p q 的形式而不能 p q 逐个验证 解析 由于a b c d a c b d 而a c b d却不一定推出a b c d 故A中p是q的必要不充分条件 B中 当a 1 b 1时 函数f x ax b不过第二象限 当f x ax b不过第二象限时 有a 1 b 1 故B中p是q的充分不必要条件 C中 因为x 1时有x2 x 但x2 x时不一定有x 1 故C中p是q的充分不必要条件 D中p是q的充要条件 答案 A 思维总结 这种题型都要从p q q p两个方面来考虑是否成立 方法技巧1 正确判断复合命题真假的步骤 1 首先确定复合命题的形式 2 然后指出其中简单命题的真假 3 根据真值表判断这个复合命题的真假 如例1 2 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时 必须保留大前提 也就是大前提不动 3 若p q 则p是q的充分条件 同时q也是p的必要条件 若p q 则p与q互为充要条件 应理解充分条件 必要条件 充要条件的形式化定义 整理出命题的 条件 与 结论 画出 图是解决 充分条件与必要条件 问题的一种好的方法 注意用集合的包含关系来判定 把满足p的条件记为集合A 满足q的条件记为B 失误防范1 否命题是既否定命题的条件 又否定命题的结论 而命题的否定是只否定命题的结论 要注意区别 2 判断p与q之间的关系时 要注意p与q之间关系的方向性 充分条件与必要条件方向正好相反 不要混淆 3 正面叙述的词语与它的否定词语要完全 相反 不能漏掉某一方面 如 都是 的否定应为 不都是 易错写为 都不是 考向瞭望 把脉高考 简易逻辑是高考命题的重点 以选择题为主 常以不等式为载体与高中数学某些基础知识点相结合命制考题 多以容易题和中档题出现 如2010年高考中 课标全国卷理第5题 湖北理第10题 判断命题的真假及充分必要条件 都不能轻易得出结论 预测2012年对这部分题有加大力度考查的趋向 A 必要而不充分的条件B 充分而不必要的条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件 1 lnx 1 是 x 1 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选A 由lnx 1可得x e x e x 1 反之不成立 lnx 1 是 x 1 的充分不必要条件 故应选A 本题考查了对数不等式及充要条件问题 属基础题 2 下列说法中 正确的是 A 命题 若am20 的否定是 对任意x R x2 x 0 C 命题 p或q 为真命题 则命题 p 和命题 q 均为真命题D 已知x R 则 x 1 是 x 2 的充分不必要条件 解析 选B 依次判断各选项 A错 原命题的逆命题为 若a b 则am2 bm2 当m 0时命题不成立 即逆命题为假命题 B正确 C错 只需p q中至少有一个为真即可 D错 应为必要但不充分条件 3 有以下四个命题 ABC中 A B 是 sinA sinB 的充要条件 若命题p 任意x R sinx 1 则非p 任意x R sinx 1 不等式10 x x2在 0 上恒成立 设有四个函数y x 1 y x y x y x3 其中在 0 上是增函数的函数有3个 其中真命题的序号是 漏填 多填或错填均不得分 解析 本题是常用逻辑用语问题 正确 但要注意 若A B不是三角形的内