复合函数定义域问题.doc

.第一讲 复合函数的定义域一、复合函数的构成设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。与表示不同的复合函数。例1设函数，求若的定义域为，则复合函数中，注意：的值域例2：若函数的定义域是0，1，求的定义域；若的定义域是-1，1，求函数的定义域；已知定义域是，求定义域要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答：函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数函数的定义域是0，1，B=0,1，即函数的值域为0，1，即，函数的定义域0，函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定义域是-3，1要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域的定义域是1，）例3：已知函数定义域是（a,b），求的定义域解：由题，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为说明： 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知复合函数直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域,即使函数的解析式形式所要求定义域真包含的值域，也应以的值域做为所求的定义域，因为要确保所求外含数与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数的外函数，如果外函数的定义域不等于内函数的值域，那么就确定不了的最值或值域。例4：已知函数,求的值域。分析：令，； 则有，复合函数是由与复合而成，而，的值域即的值域，但的本身定义域为,其值域则不等于复合函数的值域了。例5：已知函数，求函数的解析式，定义域及奇偶性。 分析：因为定义域为或 令，；则，且 所以 ，定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数。 然而只就解析式而言，定义域是关于原点对称的，且，所以是奇函数。就本题而言就是外函数其定义域决定于内函数，的值域，而不是外函数其解析式本身决定的定义域了。2求有关复合函数的解析式，例6已知 求；已知 ，求例7已知 ，求； 已知，求要点3：已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。例8已知是一次函数，满足，求；已知，求要点4： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。二、练习：已知，求和解：令，设，令，设，已知，求分析：是用替换中的而得到的，问题是用中的替换呢，还是用替换呢？所以要按、分类；注：是用替换中的而得到的，问题是用替换中的呢，还是替换呢？所以要看还是，故按、分类。Key:；注：。三、总结：复合函数的构成；设函数，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由求的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明显。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： 当为整式或奇次根式时，R； 当为偶次根式时，被开方数不小于0（即0）； 当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际