2019-2020学年蚌埠市第二中学高二12月月考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省蚌埠市第二中学高二12月月考数学（文）试题一、单选题1将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周 ，所得的几何体包括（ ）A一个圆柱、两个圆锥B两个圆台、一个圆柱C两个圆柱、一个圆台D一个圆台、两个圆锥【答案】A【解析】先将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，根据旋转体的定义，可直接得出结果.【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥.故选：A【点睛】本题主要考查旋转几何体的定义，熟记定义即可，属于常考题型.2已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】B【解析】先写出命题的逆命题，再由原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假来判断命题的真假性【详解】当两个三角形全等时，面积一定相等，所以原命题为真命题，逆否命题为真命题原命题的否命题为“若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等”，当三角形底乘以高为定值时，面积一定相等，故否命题为假命题，逆命题为假命题真命题的个数为1个答案选B【点睛】本题考查四种命题真假性的判断，需记住原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假的基本原则3若直线倾斜角是（）A30B120C60D150【答案】B【解析】将直线的一般方程化为斜截式，由方程得出斜率，根据斜率公式求出倾斜角即可.【详解】直线的斜截式方程为：，所以斜率：；由斜率公式：，解得：.故选B.【点睛】本题考查直线方程的互化以及斜率公式，熟练掌握方程之间的互化，注意特殊角三角函数值以及倾斜角的取值范围.4双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD【答案】A【解析】由双曲线可得：即，双曲线的渐近线方程是故选：A5 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为 ( )A3BC D【答案】B【解析】由题意：圆锥的轴截面是边长为a的等边三角形，其面积为，对于轴截面有：，=4，a=2，故圆锥的母线l=2，底面半径r=1，则圆锥的高h=故圆锥的体积V=，故选：B6直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果.【详解】若直线斜率不存在，即不经过第二象限，若直线斜率存在，即，所以，综上实数的取值范围为，选C.【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题7“4k10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可.【详解】方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，解得：7k10，故“4k10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选:B【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查充分必要条件，是一道基础题.8直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为ABCD【答案】A【解析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CPl时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9下列说法正确的是( )A直线平行于平面，则平行于内的任意一条直线B直线不垂直于平面，则不垂直于内的任意一条直线C直线与平面相交，则不平行于内的任意一条直线D直线不垂直于平面，则过的平面不垂直于【答案】C【解析】依次判断每个选项判断错误，利用反证法判断正确得到答案.【详解】A. 直线平行于平面，则平行于内的部分直线，错误；B. 直线不垂直于平面，则垂直于内的部分条直线，错误；C. 若平行于内的一条直线，则平行于或，这与直线与平面相交矛盾，正确；D. 直线不垂直于平面，则过的平面可能垂直于，错误；故选：【点睛】本题考查了直线平面相关命题的判断，意在考查学生的推断能力.10已知三棱锥的侧棱长相等，底面正三角形的边长为，平面时，三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】证明，得出，可得出的外接圆直径为，并计算出三棱锥的侧棱长，然后利用公式可得出外接球的半径，并利用球体表面积公式可得出外接球的表面积.【详解】如下图所示：由题意可知，则，.平面，平面，的外接圆直径为，易知三棱锥的侧面都是等腰直角三角形，设三棱锥的外接球半径为，则，得.因此，三棱锥的外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，分析出几何体的结构，找出合适的模型计算出外接球的半径是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为（ ）ABC2D3【答案】D【解析】求出圆心关于的对称点为，则的最小值是【详解】解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，圆心关于的对称点为， 解得故故选【点睛】本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题12已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（ ）AB,CD）【答案】D【解析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r，设P（x，y），因为两切线，如下图，PAPB，由切线性质定理，知：PAAC，PBBC，PAPB，所以，四边形PACB为正方形，所以，PC2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13点关于平面对称的点的坐标是_【答案】【解析】试题分析：点关于平面对称点的坐标，就是求出关于平面对称的值，可得，故答案为.【考点】空间直角坐标系的性质及应用.14双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为 【答案】【解析】试题分析：双曲线的一个顶点的坐标为(0,2)，则可知双曲线焦点在y轴上，且a=2，实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,则2a+2b= 2c且有c=a+b,即2+b= c, c=4+b,解得b=2,c=2 .双曲线标准方程为.【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。点评：基础题，理解双曲线的几何性质，注意离心率的表达形式。15过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程_.【答案】【解析】设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合为弦的中点，求出弦所在直线的斜率，即可得到直线的方程【详解】解：设直线与椭圆的交点为，为的中点，所以，又、两点在椭圆上，则，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题16如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF，则下列结论中正确的序号是_ACBEEF平面ABCDAEF的面积与BEF的面积相等三棱锥ABEF的体积为定值【答案】【解析】利用线面垂直的性质判断正确，利用线面平行的判定定理判断正确，利用同底不同高判断错误，利用等底等高证明正确.【详解】由于，故平面，所以，所以正确.由于，所以平面，故正确.由于三角形和三角形的底边都是，而高前者是到的距离，后者是到的距离，这两个距离不相等，故错误.由于三棱锥的底面三角形的面积为定值.高是点到平面也即点到平面的距离也是定值，故三棱锥的体积为定值.故正确.综上所述，正确的时.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，考查平面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题.三、解答题17已知命题，命题：关于的方程有实数根.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2).【解析】（1）根据命题为真，计算得到答案.（2）判断为假命题且为真命题，计算得到和，求交集得到答案.【详解】（1）命题：关于的方程有实数根为真命题，则 （2）为假命题，为真命题，则为假命题且为真命题.为假命题，故；为真命题，则，故【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的推断能力.18已知直线，直线.（1）若，求；（2）若，求与的交点的坐标.【答案】(1)；(2).【解析】（1）根据平行得到，计算得到答案.（2）根据垂直得到，解得，再计算交点得到答案.【详解】（1）若，则由，即，解得或.当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合，故舍去；（2）若，则由，得.所以两直线方程为：，：，联立方程组，解得，所以与的交点的坐标为.【点睛】本题考查了直线的垂直和平行，意在考查学生的计算能力.19如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，、分别是棱，的中点.设是棱的中点，（1）证明：直线平面.（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明平行四边形得到，再证明平面平面得到答案.（2）计算，再计算，再计算，根据等体积法计算得到距离.【详解】（1）是棱的中点，则，且，故平行四边形易知：，且，故平面平面 平面，故直线平面（2）， 在中： ，【点睛】本题考查了线面平行，利用等体积法计算距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20已知圆，圆.（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（2）若圆上存在四个点到直线的距离为1，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）（-20,20）.【解析】（1）化简得到，根据计算得到答案.（2）根据题意得到圆心到直线的距离，代入圆心到直线的距离公式计算得到答案.【详解】（1）由圆，得，则，圆与圆相交，得，即或；（2）圆上存在四个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离 即【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.21如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，点为上一动点，且，.（1）试证明不论点在何位置，都有；（2）求的最小值；（3）设平面与平面的交线为，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）先证明平面，再由平面得到；（2）将侧面和侧面沿着展开至同一平面上，利用、三点共线结合余弦定理求出的最小值，即线段的长度；（3）先证平面，然后利用直线与平面平行的性质定理证明.试题解析：（1）底面是正方形，底面，面，又，平面,不论点在何位置都有平面，；（2）将侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内，如下图示，则当、三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段的长，设，则，在中，在三角形中，有余弦定理得：，；（3）连结，又，又面，平面，平面平面，.【考点】1.直线与平面垂直；2.空间几何体侧面展开图的应用；3.余弦定理；4.直线与平面平行的性质定理22设、分别为椭圆的左、右两个点，若椭圆上的点到、两点的距离之和为4，（1）求椭圆的方程（2）直线过点且与椭圆交于，两点.是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存