高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课件1 北师大版选修11.ppt

双曲线及其标准方程 请同学们回忆 椭圆的定义是什么 如果把上述定义中 距离的和 改为 距离的差 那么点的轨迹会发生怎样的变化 复习引入 平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 思考 数学实验 1 取一条拉链 2 如图把它固定在板上的两点f1 f2 3 设 4 在点m处放一只笔 拉动拉链 m 如图 a mf1 mf2 f2f 2a 如图 b mf2 mf1 2a 由上面两式可得 mf1 mf2 2a 差的绝对值 mf1 mf2 2a 差的绝对值 上面两条曲线合起来叫做双曲线 每一条叫做双曲线的一支 注意 常数2a要小于 f1f2 且大于0 双曲线的定义 定点f1 f2 双曲线的焦点 f1f2 2c 双曲线的焦距 平面内与两定点f1 f2的距离的差的绝对值等于常数2a 大于0且小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 1 平面内与两定点的距离的差等于常数2a 小于 f1f2 且大于0 的点的轨迹是 2 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数 等于 f1f2 的点的轨迹是 3 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹是 双曲线的一支 是在直线f1f2上且以f1 f2为端点向外的两条射线 不存在 设m x y 是双曲线上任意一点 f1f2 2c f1 c 0 f2 c 0 根据双曲线的定义 又设点m与f1 f2的距离的差的绝对值等于常数2a a 0 即 mf1 mf2 2a 双曲线的标准方程 如图使轴经过点f1 f2且以线段f1 f2的中点作为原点 建立直角坐标系 由双曲线定义知2c 2a 即c a 我们把由此得到的方程叫做双曲线的标准方程 注意 3 c2 a2 b2 c最大 2 a b无大小关系 化简得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 因此c2 a2 0 令c2 a2 b2 b 0 得 b2x2 a2y2 a2b2 1 焦点在轴 焦点坐标 焦点在y轴上的双曲线标准方程是 焦点在x轴上的双曲线标准方程是 谁正谁对应a2 焦点在谁轴 mf1 mf2 2a 0 2a f1f2 f c 0 f 0 c c2 a2 b2 双曲线的标准方程 椭圆的标准方程 2 a b c大小满足勾股定理 1 焦点坐标相同 焦距相等 1 椭圆中a最大 a2 b2 c2 在双曲线中c最大 c2 a2 b2 2 椭圆方程中 双曲线方程中 3 判断焦点位置的方法不同 例1 已知双曲线的焦点为f1 5 0 f2 5 0 双曲线上一点p到f1 f2的距离的差的绝对值等于8 求双曲线的标准方程 2a 8 c 5 a 4 c 5 b2 52 42 9 所以所求双曲线的标准方程为 解 根据题意可知 双曲线的焦点在x轴上 设方程 例2 已知双曲线 1 求此双曲线的左 右焦点f1 f2的坐标 2 如果此双曲线上一点p与焦点f1的距离等于16 求点p与焦点f2的距离 解 1 根据双曲线的方程 可知此双曲线的焦点在x轴上 由a2 36 b2 45得c2 a2 b2 36 45 81所以c 9 焦点f1 f2的坐标分别为 9 0 9 0 2 因为点p在双曲线上 所以 pf1 pf2 2a 由a 6 pf1 16 得16 pf2 12或 12因此 pf2 4 或 pf2 28 x2与y2的系数的大小 x2与y2的系数的正负 c2 a2 b2 ab 0 小结 1 推导双曲线的标准方程 2 利用待定系数法求双曲线的标准方程 3 类比法 焦点