九年级数学上册 4 锐角三角函数小结与复习课件 （新版）湘教版.ppt

小结与复习 第4章锐角三角函数 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 要点梳理 一 锐角三角函数 如图所示 在rt abc中 c 90 a b c分别是 a b c的对边 2 a的余弦 cosa 3 a的正切 tana 二 特殊角的三角函数 30 45 60 角的三角函数值sin30 sin45 sin60 cos30 cos45 cos60 tan30 tan45 tan60 1 1 解直角三角形的依据 1 在rt abc中 c 90 a b c分别是 a b c的对边 三边关系 三角关系 边角关系 sina cosb cosa sinb tana tanb a2 b2 c2 a 90 b 三 解直角三角形 2 直角三角形可解的条件和解法条件 解直角三角形时知道其中的2个元素 至少有一个是边 就可以求出其余的3个未知元素 解法 一边一锐角 先由两锐角互余关系求出另一锐角 知斜边 再用正弦 或余弦 求另两边 知直角边用正切求另一直角边 再用正弦或勾股定理求斜边 知两边 先用勾股定理求另一边 再用边角关系求锐角 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题 1 利用计算器求三角函数值 第二步 输入角度值 屏幕显示结果 也有的计算器是先输入角度再按函数名称键 四 锐角三角函数的计算 1 利用计算器求锐角的度数 还可以利用键 进一步得到角的度数 第二步 然后输入函数值 屏幕显示答案 按实际需要进行精确 第一种方法 2ndf 第二种方法 第二步 输入锐角函数值 屏幕显示答案 按实际需要选取精确值 1 仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时 从下向上看 视线与水平线的夹角叫做仰角 从上往下看 视线与水平线的夹角叫做俯角 五 三角函数的应用 以正南或正北方向为准 正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角 叫做方向角 如图所示 2 方向角 i h l 1 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角 记作 2 坡度 或坡比 坡度通常写成1 m的形式 如i 1 6 3 坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡面 水平面 3 坡角 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 考点讲练 例1在 abc中 c 90 sina 则tanb a b c d 解析 根据sina 可设三角形的两边长分别为4k 5k 则第三边长为3k 所以tanb b 求三角函数值方法较多 解法灵活 在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法 常用的方法主要有 1 根据特殊角的三角函数值求值 2 直接运用三角函数的定义求值 3 借助边的数量关系求值 4 借助等角求值 5 根据三角函数关系求值 6 构造直角三角形求值 1 在 abc中 a b都是锐角 且sina cosb 那么 abc一定是 三角形 直角 例2 解析 本题考查数的0次幂 分母有理化和特殊角的三角函数值 解 原式 针对训练 1 tan30 cos45 tan60 2 tan30 tan60 cos230 2 计算 例3 如图 在 abc中 c 90 点d在bc上 bd 4 ad bc cos adc 求 1 dc的长 2 sinb的值 分析 题中给出了两个直角三角形 dc和sinb可分别在rt acd和abc中求得 由ad bc 图中cd bc bd 由此可列方程求出cd 解 1 设cd x 在rt acd中 cos adc 又bc cd bd 解得x 6 cd 6 2 bc bd cd 4 6 10 ad 在rt acd中 在rt abc中 本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角 解决这类问题一般是构造直角三角形 利用锐角三角函数进行求解 3 如图所示 在rt abc中 c 90 ac 3 点d为bc边上一点 且bd 2ad adc 60 求 abc的周长 结果保留根号 解 在rt adc中 bd 2ad 4 bc bd dc 5 在rt abc中 abc的周长 ab bc ac 例4如图 在一次数学课外实践活动中 要求测教学楼ab的高度 小刚在d处用高1 5m的测角仪cd 测得教学楼顶端a的仰角为30 然后向教学楼前进40m到达ef 又测得教学楼顶端a的仰角为60 求这幢教学楼ab的高度 分析 设cf与ab交于点g 在rt afg中 用ag表示出fg 在rt acg中 用ag表示出cg 然后根据cg fg 40 可求ag 解 设cf与ab交于点g 在rt afg中 tan afg fg 在rt acg中 tan acg 又cg fg 40 ag ab 答 这幢教学楼ab的高度为 在生活实际中 特别在勘探 测量工作中 常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等 而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案 并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具 如 皮尺 测角仪 木尺等测量出一些重要的数据 方可计算得到 有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识 4 如图某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆ab 已知观测点c到旗杆的距离 即ce的长 为8米 测得旗杆顶的仰角 eca为30 旗杆底部的俯角 ecb为45 则旗杆ab的高度是多少米 解 如