高中数学 第四章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性课件 湘教版选修22.ppt

课标要求 1 理解导数与函数单调性之间的关系 2 会利用导数研究函数的单调性 3 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 4 3导数在研究函数中的应用 4 3 1利用导数研究函数的单调性 设函数y f x 在某个区间上的导数为f x 如果 那么函数y f x 递增 如果 那么函数y f x 递减 从导数定义看 函数的导数就是函数值关于自变量的 变化率的绝对值越大说明变得越 绝对值越小说明变得越 从函数的图象看 导数是切线的 斜率的绝对值大说明切线陡 曲线也就陡 斜率的绝对值小说明切线较平 曲线也就平缓一些 自学导引 1 f x 0 f x 0 2 变化率 快 慢 斜率 提示可导函数f x 在 a b 上递增 减 的充要条件是f x 0 f x 0 在 a b 上恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于零 这就是说 函数f x 在区间上的单调性并不排斥在区间内的个别点处有f x 0 自主探究 可导函数f x 在 a b 上递增 减 的充要条件是什么 若f x 在 a b 上连续且在区间 a b 内 f x 0 且f a 0 则在 a b 内有 a f x 0b f x f a 0 答案a 预习测评 1 函数f x x lnx的单调增区间为 a 1 0 b 0 c 1 0 d 1 1 答案b 2 函数y x3 3x的单调递减区间是 解析 y 3x2 3 3 x2 1 令y 0 即3 x 1 x 1 0 解得 1 x 1 答案 1 1 已知f x ax3 3x2 x 1在r上是减函数 则a的取值范围为 3 4 答案 3 研究导数函数注意几个关键点 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程只能在定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于零的点外 还要注意在定义域内的不连续点和不可导点 3 如果一个函数的单调区间不止一个 这些单调区间中间一般不能用 连接 可用 逗号 或 和 字隔开 要点阐释 4 注意在某一区间内f x 0 或f x 0 是函数f x 在该区间上为增 或减 函数的充分不必要条件 而不是充要条件 如f x x3 x 0时 f x 0 但f x 在r上是增函数 5 如果函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常函数 如f x 3 则f x 3 0 6 利用导数的符号判断函数的增减性 这是导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个应用 它充分体现了数形结合的思想 7 一般地 可导函数f x 在 a b 上是增 减 函数的充要条件是 对任意的x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 的任何子区间内都不恒等于零 特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时 要注意等号是否可以取到 点评用导数证明函数的单调性 在某区间内f x 0是f x 在此区间上为增函数的充分条件 而不是必要条件 根据导数与函数单调性的关系 由f x 的符号可判定或证明函数f x 在相应区间上的增减性 题型二求函数的单调区间 例2 求函数f x 3x2 2lnx的单调区间 点评确定函数的单调区间 可利用函数单调性定义 但有时往往比较繁杂 如果函数y f x 可导 则可借助导数来求函数的单调区间 通常是先求出函数f x 的导数 然后再解不等式f x 0或f x 0确定递增区间和递减区间 另外 单调区间一般不能写成并集的形式 2 求函数f x x2 2lnx的单调区间 题型三已知单调性求参数的取值范围 点评利用导数判断函数的单调性 就要通过先求出导函数 根据已知条件判断导函数在某个区间上的正负 这其中 如果含有参数就会用到分类讨论 同时要注意函数的定义域 否则会产生错误的判断 已知函数的单调性 求函数解析式中参数的取值范围 可转化为不等式恒成立问题 一般地 函数f x 在区间 上单调递增 或减 转化为不等式f x 0 f x 0 在区间 上恒成立 再用有关方法可求出参数的取值范围 若函数f x x3 x2 mx 1是r上的单调函数 求实数m的取值范围 3 已知向量a x2 x 1 b 1 x t 若函数f x a b在区间 1 1 上是增函数 求t的取值范围 错解一 依题意得f x x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t 则f x 3x2 2x t 若f x 在 1 1 上是增函数 则在 1 1 上f x 0 而f x 0 t 3x2 2x在区间 1 1 上恒成立 设函数g x 3x2 2x 误区警