10考研高等数学强化讲义(第四章)全.doc

第四章 常微分方程41 基本概念和一阶微分方程 （甲）内容要点 一、基本概念 1常微分方程和阶 2解、通解和特解 3初始条件 4齐次线性方程和非齐次线性方程例1为二阶、线性、非齐次方程，如果要求，这就是初始条件，从而得到特解。例2为二阶非线性方程 二、变量可分离方程及其推广 1 2齐次方程： 令则代入后得 ，则 三、一阶线性方程及其推广 1 通解 2（数学三不考，数一、二要考） 令 则为一阶线性方程 四、全微分方程及其推广（数学一） 1，满足 2，但存在，使 五、差分方程（数学三） （乙）典型例题 例1求的通解。 解： 令，则 ， 例2求微分方程的通解 解：此题不是一阶线性方程，但把看作未知函数，看作自变量，所得微分方程即是一阶线性方程， 例3设是的一个解，求此微分方程满足的特解 解：将代入微分方程求出，方程化为 先求出对应齐次方程的通解根据解的结构立刻可得非齐次方程通解 再由得， 故所求解 例4设，其中，在内满足以下条件，且， （1）求所满足的一阶微分方程 （2）求出的表达式 解：（1）由 可知所满足的一阶微分方程为 （2） 将代入，可知 于是 例5求微分方程的通解 解：令，原方程化为 化简为 再令，则，方程化为 ， ， 最后再返回也返回，即可。例6设连续，求解：方程两边对求导，得为一阶线性非齐次方程 （初始条件f（0）=0）口诀（35）：微分方程要规范；变换、求导、函数反43 微分方程的应用 一、微分方程在几何问题方面的应用 例1 求通过的曲线方程，使曲线上任意点处切线与轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。 解：设曲线上任意一点，则其切线方程为，故切线与轴交点的坐标为，由题意所以。这样， 令 解得 ，即，则 例2 设函数在上连续，若曲线，直线，与轴围成平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积，试求所满足的微分方程，并求的解。 解：由题意可知 则 两边对求导， 令，得 ， 令， 这样，当，时 两边积分后得，方程通解为 ，再由，可得 二、其它应用（略）42 特殊的高阶微分方程 （甲）内容要点 一、可降阶的高阶微分方程（数学三不考，数学一、二要考）方程类型解法及解的表达式通解令，则，原方程 一阶方程，设其解为，即，则原方程的通解为令，把看作的函数，则 把的表达式代入原方程，得一阶方程， 设其解为，即，则原方程的通解为 二、线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。 二阶齐次线性方程 （1） 二阶非齐次线性方程 （2） 1若，为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（为任意常数）仍为同方程的解，特别地， 当（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解为。 2若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。 3设与分别是与 的特解，则是 的特解 三、二阶常系数齐次线性方程 ， 为常数 特征方程 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当，特征方程有两个不同的实根 则方程的通解为 （2）当，特征方程有二重根， 则方程的通解为 （3）当，特征方程有共轭复根， 则方程的通解为 四、二阶常系数非齐次线性方程 方程 其中为常数 通解 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？ 我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解，常见的的形式和相对应地的形式如下： 1，其中为次多项式 （1）若不是特征根，则令 其中为待定系数。 （2）若是特征方程的单根，则令 （3）若是特征方程的重根，则令 2其中为次多项式，为实常数 （1）若不是特征根，则令 （2）若是特征方程单根，则令 （3）若是特征方程的重根，则令 3或 其中为次多项式，皆为实常数 （1）若不是特征根，则令 其中 为待定系数 为待定系数 （2）若是特征根，则令 五、欧拉方程（数学一） ，其中为常数称为阶欧拉方程，令代入方程，变为是自变量，是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程 （乙）典型例题 例1求的通解 解：令，则，原方程化为 属于一阶线性方程 例2求下列微分方程的通解 解： 令，则，原方程化为 当时， 当时， 例3求的通解 解： 先求相应齐次方程的通解，其特征方程为 特征根为，因此齐次方程通解为 设非齐次方程的特解为，由于为特征根，因此设，代入原方程可得，故原方程的通解为 例4求方程的通解 特征根为，因此齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为，由于题目中，不是特征根，因此设，代入原方程可得 解联立方程得，因此 故原方程的通解为 例5解 解： 令，则，原方程变为 解出 例6设函数在内具有二阶导数，且，是的反函数。（数学三可以不看） （1）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程； （2）求变换后的微分方程满足初始条件，的解。 解： （1）由反函数导数公式知 即。 上式两端关于求导，得。 所以。 代入原微分方程得 （*） （2）方程（*）所对应的齐次方程的通解为 设方程（*）的特解为， 代入方程（*）求得，故，从而的通解是 。 由，得， 故所初值问题的解为 。 例7设，其中连续，求 解：由表达式可知是可导的，两边对求导，则得 再对两边关于求导，得 即 属于常系数二阶非齐次线性方程。 对应齐次方程通解， 非齐次方程特解设代入方程求出系数，则得，故的一般表达式 由条件和导数表达式可知，可确定出，