导数问题的六大应用.doc

导数问题的六大热点导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值1217分下面例析导数的六大热点问题，供参考一、运算问题是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题例1已知为正整数.设证明：因为，所以例2 已知y(x1)2，用定义法求y 求y2x23x4的导数 已知函数f(x)，且(1)2，求a的值分析：对于运用导数的定义，即y，即可解决；对于可应用(uv)vu以及解之；对于是逆向型的复合函数导数运算问题，用及方程思想即可解决解析： y2x2 由法则，即得y4x3 (ax21)2ax，即(1)a(a1)2，解得a2二、切线问题 是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中： 曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的斜率k，倾斜角为，则tank 其切线l的方程为：yy0(xx0)若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为xx0例3 已知，函数设，记曲线在点处的切线为 求的方程； 设与轴交点为证明：；若，则 解：求的导数：，由此得切线的方程： 证明：依题意，切线方程中令y0，. 由.例4设，曲线在处切线的倾斜角的取值范围是，则到曲线对称轴距离的取值范围是（A）（B）（C）（D） 解：2axb，故点处切线斜率k2ax0btan0，1，于是点P到对称轴x的距离d|x0()|，故选(B)三、单调性问题一般地，设函数yf(x)在某个区间内可导如果f (x)0，则f(x)为增函数；如果f (x)0，则f(x)为减函数单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：运用导数判断单调区间；证明单调性；已知单调性求参数；先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题例5 设a0，是R上的偶函数（I）求a的值；（II）证明在（0，+）上是增函数。 () 解：依题意,对一切xR有f(x)=f(-x)，即，所以对一切xR成立由此得到，即又因为，所以()证明：由得 当x(0，+)时，有，此时，所以在(0，+)是增函数. 评注：对于第()问是证明函数的单调性，虽然可利用函数单调性定义直接证明，但对f(x1)f(x2)的变形要求较高，技巧性强，且运算量大，是一种“巧法”；而利用导数法，简捷明快，也成了“通法”四、极值问题即运用导数解决极值问题一般地，当函数f(x)在x0处连续，判别f(x0)为极大(小)值的方法是： 如果在x0附近的左侧0，右侧0，那么f(x0)是极大值 如果在x0附近的左侧0，右侧0，那么f(x0)是极小值例6 函数y13xx3有( )(A) 极小值1，极大值1(B) 极小值2，极大值3(C) 极小值2，极大值2(D) 极小值1，极大值3分析：本题是求已知三次函数的极值问题，考虑运用导数先确定函数的单调性，再求其极值解：由y33x20，得x1或x1当x(，1)(1，)时，y0当x(1，1)时，y0因此函数y13xx3在(，1)上单调递减，在(1，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即x1是极小值点，x1是极大值点所以极小值为1，极大值为3，故选(D)五、最值问题运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：若f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则 求，令0，求出在(a，b)内使导数为0的点及导数不存在的点 比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在a，b上的最大值，最小者便是f(x)在a，b上的是小值例7 求函数f(x)x42x25在2，2上的最大值与最小值解： 4x34x，令0，解得x11，x20，x31，均在(2，2)内计算f(1)4，f(0)5，f(1)4，f(2)13，f(2)13通过比较，可见f(x) 在2，2上的最大值为13，最小值为4六、应用问题例8 用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识解：设容器