江苏省宿迁市高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2.1 圆的标准方程2课件 苏教版必修2.ppt

圆的方程 学习内容 一 圆的定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合 或轨迹 是圆 定点是圆心 定长就是半径 二 圆的方程1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 圆心 a b 半径为r 圆的标准方程突出了圆心和半径 2 圆的一般方程 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 圆心 半径r 圆的一般方程反应了圆方程形式的特点 缺x y项 x2 y2项系数相等且不为0 一般地 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0b 0d2 e2 4af 03 圆的参数方程x x0 rcos y y0 rsin 为参数 三 点p x0 y0 与圆x2 y2 dx ey f 0 或 x a 2 y b 2 r2 的关系点p在圆上x02 y02 dx0 ey0 f 0 或 x0 a 2 y0 b 2 r2 点p在圆内x02 y02 dx0 ey0 f0 或 x0 a 2 y0 b 2 r2 四 直线和圆的位置关系1 直线和圆的位置关系及判定方法 设d为圆心导直线的距离 直线和圆相交d0 直线和圆相切d r 或 0 直线和圆相离d r 或 0 2 直线和圆相交被截得的弦长问题 利用 3 直线和圆相切切线问题 过圆上一点求切线方程的方法 只有1条 当切线斜率存在时利用点斜式求切线方程 当k不存在时 切线x x0 过圆外一点p x0 y0 的切线 2条 求切线方法有两个 设切线的点斜式方程y y0 k x x0 利用圆心到直线的距离 r 求k 设切线的点斜式方程y y0 k x x0 与圆方程联立 利用 0 求k 若只求出一个k 说明另一条直线的斜率不存在 求过切点a b的弦所在的直线方程写过acbp的圆的方程 再求出它与已知圆的公共弦所在的直线方程 即为所求 4 直线和圆相离如何求圆上的点到直线的最近距离 最远距离如图 过圆心c作l的垂线分别交圆于p1 p2 则p1 p2到l的距离分别为最远距离 最近距离 五 圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d 两圆的半径分别为r r 则1 d r r外切2 d r r 内切3 d r r外离4 d r r 内含5 r r d r r相交 六 圆系方程1 过圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0与圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0的交点的圆的方程 x2 y2 d1x e1y f1 x2 y2 d2x e2y f2 0 1 当 1 时 表示两圆的公共弦所在的直线方程 2 过圆c x2 y2 dx ey f 0与直线l ax by c 0的交点的圆的方程 x2 y2 dx ey f ax by c 0 学习要求 1 掌握圆的方程及直线和圆的位置关系 2 学会求圆的方程的方法及判断直线和圆的位置关系的方法及求圆切线的方法 学习指导 1 本讲重点 圆的方程及直线和圆的位置关系 求圆的切线方程 2 本讲难点 求圆的切线方程 用待定系数法求圆方程 3 剖析 加深对概念的理解 才能灵活运用知识解决问题 典型例题解析 例1 求下列圆的方程 与y轴相切 被直线y x截得的弦长为 圆心在x 3y 0上 经过p 2 4 q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 圆心在x y 4 0上 并且经过两圆c1 x2 y2 4x 3 0和c2 x2 y2 4y 3 0的交点 过a 2 2 b 5 3 c 3 1 的圆 与x轴相切于点a 3 0 并且在y轴上截得的弦长为6 过直线3x 4y 7 0和圆 x 2 2 y 1 2 4的交点且过点 1 2 的圆的方程 解 圆心在x 3y 0上 设所求圆的圆心o 3a a 圆o 到直线y x的距离 设c为弦中点rt o bc中 a 1 圆心o 3 1 或o 3 1 r 3 所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 圆心半径 由题意 即d2 4f 36 1 又 p 2 4 q 3 1 在圆上 2d 4e f 0 2 3d e f 10 3 由 2 3 联立得d 2d 6e 4或e 8f 8f 0 所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0或x2 y2 6x 8y 0 设所求圆的方程为x2 y2 4x 3 x2 y2 4x 3 0即 1 x2 1 y2 4x 4 y 3 1 0 1 圆心 圆心在直线x y 4 0上 代入 式得所求圆的方程为x2 y2 6x 2y 3 0 设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0由已知4 4 2d 2e f 0d 625 9 5d 3e f 0 e 29 1 3d e f 0f 3 所求圆的方程为x2 y2 6x 2y 3 0 设圆心 3 b 则圆的方程为 x 3 2 y b 2 b2由b2 32 32 18 设所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 4 3x 4y 7 0将 1 2 代入得 所求圆的方程为 例2 过圆o x2 y2 13外一点p 4 7 作 o的切线pa pb a b是切点 求 1 pa pb的方程 ab的方程 解 设所求切线的方程为y 7 k x 4 则或k 18 所求切线的方程为2x 3y 13 0或18x y 65 0 op的中点m为 以m为圆心 为半径的圆它与 o的公共弦 即ab的方程为4x 7y 13 0 例3 若圆x2 y2 x 6y c 0与直线x 2y 3 0的两交点为p q 满足op oq o为原点 求c值 解 设p x1 y1 q x2 y2 op oq y1y2 x1x2 0 由x2 y2 x 6y c 0得5y2 20y 12 c 0 x 2y 3 0 y1 y2 4代入 式得 c 3代入 得y2 4y 3 0 16 12 0 c 3 例4 若实数对 x y 满足方程 x 3 2 y 2 2 2求 的最小值 的最小值 2x y的范围 a 1 0 b 1 0 求p x y 使 ap 2 bp 2取最小值 求p x y 到直线x y 1 0的最大值与最小值 解 设即y kx由得即最小值为 设即y 2 k x 1 即kx y k 2 0由得k2 8k 7 0 1 k 7 kmin 1即 方法一 设2x y t即2x y t 0由得 方法二 令则 方法一 令 ap 2 bp 2的最小值为 方法二 ap 2 bp 2 2 x2 y2 2x2 y2 po 2 po 2 x2 y2的最小值为 ap 2 bp 2的最小值为 例5 求两圆x2 y2 2x 6y 9 0 x2 y2 6x 2y 1 0的外公切线及内公切线方程 解 设外公切线的交点为p x0 y0 p分c1c2得比为 圆x2 y2 2x 6y 9 0的圆心c1 1 3 圆x2 y2 6x 2y 1 0的圆心c2 3 1 半径分别为r1 1 r2 3 p 3 4 设外公切线的方程为y 4 k x 3 即kx y 3k 4 0 外公切线的方程为y 4 0或4x 3y 0 设内公切线的交点m x0 y0 则 设内公切线方程为即2kx 2y 5 0 内公切线方程为3x 4y 10 0或x 0 例6 圆x2 y2 8内有一点p0 1 2 ab为过点p0的弦 当ab被点p0平分时 写出直线ab方程 过p0的弦的中点轨迹方程 斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程 解 由已知 op0 ab ab的方程为即 x 2y 5 0 b 方法一 设ab中点为p x y 即 当x 0时 p 0 2 也满足 式当x 1时 p 1 0 满足 式综上 所求轨迹方程为 方法二 op ab p的轨迹是以 op0 为直径的圆 圆心为op0的中点半径为 所求p的轨迹为 设平行弦中点