第四节连续型随机变量及其概率密度函数

一 连续型随机变量的概率密度 若对于随机变量X的分布函数 存在非负函数f x 使得对于任意实数x有 则称X为连续型变量 f x 为X的概率密度函数 第四节连续型随机变量及其概率密度 1 定义 注 离散型 连续型 证 让 交 往方向 挤 证法1 证法2 两边取极限 这个结论的意义 2 由此可知连续型随机量X在某区间上取值的概率只与区间长度有关 而与区间是闭 开 半开半闭无关 即有 1 从积分的几何意义上说 当底边缩为一点时 曲边梯形面积退化为零 这两条性质是判定一个函数f x 是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件 性质1 性质2 几何意义 性质3 物理意义 性质4 故X的密度f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限 这里 如果把概率理解为质量 f x 相当于线密度 故称f x 为概率密度函数 不计高阶无穷小 相当于积分中值定理 注 这表示落在区间上的概率近似等于 称为概率微分 的值的大小直接影响关系到概率的大小 所以的确描述了连续型随机变量的概率分布的情况 但要注意的是 密度函数f x 在某点处a的高度 并不反映X取值的概率 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 也可以说 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 在连续型随机型变量理论中所的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似 证明 函数 是一个连续型随机变量的概率密度函数 一般只需验证f x 性质中的这两条即可 例1 证明 1 显然 2 某电子计算机在毁坏前运行的总时间 单位 小时 是一个连续型随机变量 其密度函数为 2 这台计算机在毁坏前能运行50到150小时的概率 3 运行时间少于100小时的概率 例2 求 1 解 1 2 一般称 则称X为服从参数的指数分布 3 若X具有概率密度 f x 确定了分布函数F x f x 是F x 的导函数 F x 是f x 的一个原函数 定义 二 连续型随机变量的分布函数 满足 则称 为连续型随机变量的分布函数 注 可以验证F x 具备了分布函数的性质 F x 是不减的函数 F x F x 是右连续的 设有函数F x F x 能否成为某个连续随机变量的分布函数 函数F x 在上下降 即不满足性质 1 或者 故 F x 不能是某个连续随机变量的分布函数 例3 问 即不满足性质 2 解 注意到 解 它是一个变上限的广义分 2 1 X的分布函数 例4 1 求 综合上述得 2 解 求 F x 设连续型随机变量X的密度函数为f x 例5 当 即得所求的分布函数为 设随机变量X的分布函数为 求X取值在区间 0 3 0 7 的概率 2 求X的概率密度 1 P 0 3 X 0 7 F 0 7 F 0 3 0 72 0 32 0 4 2 f x 例6 解 注意到F x 在1处导数不存在 根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质 可以在没意义的点处 任意规定的值 三 几种常见的连续型随机变量的分布 若连续型随机变量X具有概率密度f x 为 1 均匀分布 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 或等概率分布 注 若抽取其概率的背景 f x 是一种的函数 X落在区间 a b 中任意等长度的子区间的可能性是相同的 即它落在子区间的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关 证 即X落在 c d 内的概率只与 c d 的长度有关 而与 c d 在 a b 中的位置无关 均匀分布常见于下列情形 比如 在数值计算中 由于四舍五入 小数点后某一位小数引入的误差 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间 即乘客的候车时间等 由分布函数定义可得 若X服从均匀分布 则X的分布函数为 图形 某公共汽车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30 7 45等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间X是7 00到7 30之间的均匀随机变量 1 乘客候车时间少于5分钟的概率 2 乘客候车时间超过10分钟的概率 例7 试求 解 X U 0 30 设以7 00为起点0 以分为单位 为使候车时间X少于5分钟 乘客必须在7 10到7 15之间 或在7 25到7 30之间到达车站 从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30等时刻有汽车到达汽站 故所求概率为 依题意 候车时间超过10分钟 则乘客必须在7 00到7 05或7 15到7 20之间到达车间 2 指数分布 若连续型随机变量X具有概率密度f x 为 注 则称X为服从参数的指数分布 其密度函数图形请见教材P56 关于分布函数的图形请自行完成 若X服从指数分布 则 若设X是某一元件的寿命 则上式表明 元件对它已使用过小时没有记忆 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布在十九世纪前叶由数学家高斯加以推广 所以通常也称为高斯分布 德莫佛 数学家德莫佛最早发现了二项分布的一个近似公式 这一公式被认为是正态分布的首次露面 3 正态分布 高斯 不知你们是否注意到街头的一种赌博活动 用一个钉板作赌具 高尔顿钉板试验 值得一提的是 虽然很少有人会去关心小球下落位置的规律性 人们可能不相信它是有规律的 而一旦试验次数增多并且注意观察的话 就会发现 最后得出的竟是一条优美的曲线 这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线 1 正态分布的定义 若随机变量X的概率密度为 记作 f x 所确定的曲线叫作正态曲线 和都是常数 任意 0 则称X服从参数为和的正态分布 其中 2 正态分布的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线 特点是 两头小 中间大 左右对称 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布的图形特点 由密度函数的表达式 分析正态分布的图形特点 即整个概率密度曲线都在x轴的上方 3 显然 以 为对称轴 并在处达到最大值 令 x c x c c 0 f c f c 且f c f f c f 证明 分别代入可得 以 为对称轴 并在处达到最大值 故得 这说明 曲线f x 向左右伸展时 越来越贴近x轴 即f x 以x轴为渐近线 因为当x 时 f x 0 f x 以x轴为渐近线 对f x 求导即可求得 由分布函数定义得出正态分布 若 则分布函数是 其图形为 正态分布由它的两个参数 和 唯一确定 当 和 不同时 对应的是不同的正态分布 标准正态分布 下面介绍一种最重要的正态分布 5 标准正态分布 其密度函数和分布函数常用和表示 其图形为 密度函数 分布函数 一般正态分布与标准正态分布的关系 引理 证明 作一个线性变换 标准正态分布的重要性 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 由此可得 若 即证得 则其分布函数 注 根据引理 只要将标准正态分布的分布函数制成表 就可以解决一般正态分布的概率计算问题 而现已编制了的表 可供查用 请见教材P439附表2 教材P439附表2为标准正态分布函数数值表 借助于附表2 可以查表计算一般正态分布的概率问题 关于正态分布表 表中给出的是时 x 的值 当时有 N 0 1 注 则有 则有 则有 由标准正态分布的查表计算可以求得 这说明 X的取值几乎全部集中在 3 3 区间内 超出这个范围的可能性仅占不到0 3 当X N 0 1 时 P X 1 2 1 1 0 6826 P X 2 2 2 1 0 9544 P X 3 2 3 1 0 9974 将上述结论推广到一般的正态分布 有 时 可以认为 Y的取值几乎全部集中在区间内 这在统计学上称作 3准则 三倍标准差原则 下图是用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图 红线是拟合的正态密度曲线 可见 某大学男大学生的身高应服从正态分布 人的身高高低不等 但中等身材的占大多数 特高和特矮的只是少数 而且较高和较矮的人数大致相近 这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点 除了前面介绍的身高外 在正常条件下年降雨量 各种产品的质量指标 如零件的尺寸 纤维的强度和张力 农作物的产量 如小麦的穗长 株高 测量误差 如射击目标的水平或垂直偏差 信号噪声等等 都服从或近似服从正态分布 已知自动车床生产的零件的长度X 毫米 服从正态分布 求 生产零件是合格品的概率 解 例1 所求的概率为 查附表2 例2 从旅馆到飞机场沿A路走 路程断 交通拥挤 所需时间 分钟 若现在只有30分钟 问 分别选择哪一条路为好 解 依题意 选择所需时间超过规定时间的概率较小的路线为好 当只有30分钟可用时 A路 B路 结论 此时应选择A路 例3 2 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0 99 问d至少为多少 解 2 按题意需求d满足 故采用如下方法处理 查表可知 由此可得 故得 现 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设男子身高X N 170 62 设车门高度为hcm P X h 0 01 或P X h 0 99 的最小的h 例4 问 应如何确定车门高度 解 按设计要求即求满足 因为 X N 170 62 故 查表