高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.5 指数与指数函数课件 文 北师大版.ppt

2 5指数与指数函数 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 分数指数幂 1 我们规定正数的正分数指数幂的意义是 a 0 m n n 且n 1 于是 在条件a 0 m n n 且n 1下 根式都可以写成分数指数幂的形式 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿 我们规定 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的运算性质 aras ar s ab r 其中a 0 b 0 r s q 知识梳理 0 没有意义 ar s ars arbr 2 指数函数的图像与性质 0 r 几何画板展示 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 1 指数函数图像的画法画指数函数y ax a 0 且a 1 的图像 应抓住三个关键点 1 a 0 1 2 指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图像 底数a b c d与1之间的大小关系为c d 1 a b 0 由此我们可得到以下规律 在第一象限内 指数函数y ax a 0 a 1 的图像越高 底数越大 知识拓展 3 指数函数y ax a 0 a 1 的图像和性质跟a的取值有关 要特别注意应分a 1与0 a 1来研究 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 a n n 2 分数指数幂可以理解为个a相乘 3 函数y 3 2x与y 2x 1都不是指数函数 4 若am an a 0 且a 1 则m n 5 函数y 2 x在r上为减函数 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 题组二教材改编 1 2 4 5 6 答案 解析 2x2y 3 7 4 已知a b c 则a b c的大小关系是 解析 1 2 4 5 6 答案 3 c b a 7 即a b 1 c b a 题组三易错自纠 解析 1 2 4 5 6 答案 3 7 2 6 若函数y a2 1 x在 上为减函数 则实数a的取值范围是 解析 1 2 4 5 6 答案 解析由题意知0 a2 1 1 即1 a2 2 3 7 7 函数y 8 23 x x 0 的值域是 解析 答案 1 2 4 5 6 3 7 解析 x 0 x 0 3 x 3 0 23 x 23 8 0 8 23 x 8 函数y 8 23 x的值域为 0 8 0 8 题型分类深度剖析 题型一指数幂的运算 自主演练 答案 解析 解析 答案 解析 答案 a2 解析原式 a2 1 指数幂的运算首先将根式 分数指数幂统一为分数指数幂 以便利用法则计算 还应注意 必须同底数幂相乘 指数才能相加 运算的先后顺序 2 当底数是负数时 先确定符号 再把底数化为正数 3 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 典例 1 函数f x 1 e x 的图像大致是 解析 题型二指数函数的图像及应用 师生共研 解析f x 1 e x 是偶函数 图像关于y轴对称 又e x 1 f x 0 符合条件的图像只有a 答案 2 若曲线 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b的取值范围是 解析 答案 1 1 解析曲线 y 2x 1与直线y b的图像如图所示 由图像可知 如果 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b应满足的条件是b 1 1 1 已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点 判断选项中的图像是否过这些点 若不满足则排除 2 对于有关指数型函数的图像可从指数函数的图像通过平移 伸缩 对称变换而得到 特别地 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论 跟踪训练 1 已知实数a b满足等式2018a 2019b 下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的关系式有a 1个b 2个c 3个d 4个 解析如图 观察易知 a b的关系为a b 0或0 b a或a b 0 解析 答案 2 方程2x 2 x的解的个数是 解析方程的解可看作函数y 2x和y 2 x的图像交点的横坐标 分别作出这两个函数的图像 如图 由图像得只有一个交点 因此该方程只有一个解 1 解析 答案 命题点1指数函数单调性的应用典例 1 2017 河南百校联考 已知f x 2x 2 x 则f a f b 的大小关系是 题型三指数函数的性质及应用 多维探究 f b f a 答案 解析易知f x 2x 2 x在r上为增函数 解析 f a f b 解析 2 设函数f x 若f a 1 则实数a的取值范围是 3 1 答案 a 3 又a 0 3 a 0 0 a 1 综上 a的取值范围为 3 1 命题点2与指数函数有关的复合函数的单调性 典例 1 已知函数f x 2 2x m m为常数 若f x 在区间 2 上是增加的 则m的取值范围是 4 答案 而y 2t在r上是增加的 所以要使函数f x 2 2x m 在 2 上是增加的 所以m的取值范围是 4 解析 几何画板展示 2 函数f x 的递减区间为 1 解析 答案 又u x2 2x 1的递增区间为 1 所以f x 的递减区间为 1 3 函数f x 4x 2x 1的递增区间是 0 解析 答案 解析设t 2x t 0 则y t2 2t的递增区间为 1 令2x 1 得x 0 又y 2x在r上是增加的 所以函数f x 4x 2x 1的递增区间是 0 命题点3指数函数性质的综合应用 典例已知函数f x 1 若a 1 求f x 的单调区间 令u x2 4x 3 x 2 2 7 则u在 2 上是增加的 在 2 上是减少的 所以f x 在 2 上是减少的 在 2 上是增加的 即函数f x 的递增区间是 2 递减区间是 2 解答 2 若f x 有最大值3 求a的值 由于f x 有最大值3 所以h x 应有最小值 1 解答 即当f x 有最大值3时 a的值为1 3 若f x 的值域是 0 求a的值 解由f x 的值域是 0 知 ax2 4x 3的值域为r 则必有a 0 解答 1 利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式 最重要的是 同底 原则 2 求解与指数函数有关的复合函数问题 要明确复合函数的构成 涉及值域 单调区间 最值等问题时 都要借助 同增异减 这一性质分析判断 跟踪训练 1 已知函数f x 的值域是 8 1 则实数a的取值范围是a 3 b 3 0 c 3 1 d 3 解析 答案 解析当0 x 4时 f x 8 1 实数a的取值范围是 3 0 几何画板展示 2 2017 江淮十校第三次联考 函数f x x2 bx c满足f x 1 f 1 x 且f 0 3 则f bx 与f cx 的大小关系是a f bx f cx b f bx f cx c f bx f cx d 与x有关 不确定 解析 f x 1 f 1 x f x 关于x 1对称 易知b 2 c 3 当x 0时 b0 c0 1 f bx f cx 当x 0时 3x 2x 1 又f x 在 1 上是增加的 f bx f cx 当x 0时 3x 2x 1 f x 在 1 上是减少的 f bx f cx 综上 f bx f cx 解析 答案 指数函数底数的讨论 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 错解展示 现场纠错 解令t x2 2x x 1 2 1 若a 1 函数f t at在 1 0 上为增函数 若0 a 1 函数f t at在 1 0 上为减函数 纠错心得在研究指数型函数的单调性或值域问题时 当底数含参数时 要对底数分类讨论 课时作业 1 函数f x ax b的图像如图所示 其中a b为常数 则下列结论正确的是a a 1 b1 b 0c 00d 0 a 1 b 0 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由f x ax b的图像可以观察出 函数f x ax b在定义域上是减少的 所以0 a 1 函数f x ax b的图像是在f x ax的基础上向左平移得到的 所以b 0 解析 答案 2 设2x 8y 1 9y 3x 9 则x y的值为a 18b 21c 24d 27 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 2x 8y 1 23 y 1 x 3y 3 9y 3x 9 32y x 9 2y 解得x 21 y 6 x y 27 解析 3 2017 河南南阳 信阳等六市一模 已知a b 0 1 1 当x 0时 1 bx ax 则a 0 b a 1b 0 a b 1c 1 b ad 1 a b 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 当x 0时 1 bx b 1 解析 4 2018届吉林实验中学月考 设a b c ln 则a c a bb a c bc a b cd b a c 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 a b c 5 已知f x 3x b 2 x 4 b为常数 的图像经过点 2 1 则f x 的值域为a 9 81 b 3 9 c 1 9 d 1 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由f x 过定点 2 1 可知b 2 因为f x 3x 2在 2 4 上是增函数 f x min f 2 1 f x max f 4 9 故选c 6 若函数f x a 2x 4 a 0 a 1 满足f 1 则f x 的递减区间是a 2 b 2 c 2 d 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于y 2x 4 在 2 上是减少的 在 2 上是增加的 所以f x 在 2 上是增加的 在 2 上是减少的 故选b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 已知函数f x a x a 0 且a 1 且f 2 f 3 则a的取值范围是 0 1 所以函数f x 在定义域上是增加的 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 不等式 的解集为 1 4 解析原不等式等价为 2 x 4 又函数y 2x为增函数 x2 2x x 4 即x2 3x 4 0 1 x 4 解析 解析 答案 9 若直线y1 2a与函数y2 ax 1 a 0且a 1 的图像有两个公共点 则a的取值范围是 解析 数形结合法 当0 a 1时 作出函数y2 ax 1 的图像 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 当x 2 2 时 ax0 且a 1 则实数a的取值范围是 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析当x 2 2 时 ax0 且a 1 若0 a 1 y ax是减函数 则有a 2 2 11 2017 安徽江淮十校联考 已知max a b 表示a b两数中的最大值 若f x max e x e x 2 则f x 的最小值为 解析 e 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x 1时 f x ex e 当x 1时取等号 当x 1时 f x e x 2 e2 x e 因此x 1时 f x 有最小值f 1 e 12 已知函数f x b ax 其中a b为常量 且a 0 a 1 的图像经过点a 1 6 b 3 24 1 求f x 的表达式 解因为f x 的图像过a 1 6 b 3 24 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a2 4 又a 0 所以a 2 b 3 所以f x 3 2x 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 已知y f x 是定义在r上的奇函数且当x 0时 f x 则此函数的值域为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y f x 是定义在r上的奇函数 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 0 所以g x g 0 0 所以函数g x 的最小值是0 15 若函数f x ax a 0 且a 1 在 1 2 上的最大值为4 最小值为m 且函数g x 1 4m 在 0 上是增函数 则a 拓展冲刺练 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a 1时 函数f x 在 1 2 上是增加的 最小值为a 1 m 最大值为a2 4 当0 a 1时 函数f