高考数学一轮复习 第六章 数列 第一节 数列的概念及简单表示法课件 文.ppt

第一节数列的概念及简单表示法 总纲目录 教材研读 1 数列的定义 考点突破 2 数列的分类 3 数列的表示法 考点二an与sn关系的应用 考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式 考点三由递推关系求数列的通项公式 4 数列的通项公式 考点四数列的性质 1 数列的定义按照 一定顺序排列的一列数叫做数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 项 教材研读 2 数列的分类 3 数列的表示法数列有三种表示法 它们分别是 列表法 图象法和 通项公式法 4 数列的通项公式如果数列 an 的第n项与 序号n之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 5 已知数列 an 的前n项和sn 则an 1 已知n n 给出4个表达式 an an an an 其中能表示数列 0 1 0 1 0 1 0 1 的通项公式的是 a b c d a 答案a检验知 都可以是所给数列的通项公式 2 数列 1 的一个通项公式为 a an b an 1 n c an 1 n 1d an b 答案b 3 已知数列 an 的通项公式为an n2 8n 15 则3 a 不是数列 an 中的项b 只是数列 an 中的第2项c 只是数列 an 中的第6项d 是数列 an 中的第2项或第6项 d 答案d令an 3 即n2 8n 15 3 解得n 2或6 故3是数列 an 中的第2项或第6项 4 在数列 an 中 a1 1 an 1 n 2 则a5 a b c d d 答案da1 1 a2 1 2 a3 1 a4 1 3 a5 1 5 下列图形的点数构成数列 an 则a8等于 a 17b 22c 25d 28 b 答案b解法一 由题图知 a1 1 a2 4 a3 7 从第2个图开始 每一图的点数比它的上一个图多3 则有a8 a7 3 a6 3 3 a5 3 3 3 a4 3 3 3 3 a3 3 3 3 3 3 7 5 3 22 解法二 由a1 1 a2 4 a3 7 知 an 的一个通项公式为an 3n 2 所以a8 3 8 2 22 故选b 6 已知数列 an 的前n项和sn 2n2 n 则an 4n 1 答案4n 1 典例1根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 3 4 1 考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式 考点突破 解析 1 符号问题可通过 1 n或 1 n 1来调整 原数列各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6 故原数列的一个通项公式为an 1 n 6n 5 2 将数列变形为 1 0 1 1 0 01 1 0 001 故原数列的一个通项公式为an 3 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4 项的分子分别比分母少3 因此把第1项变为 则原数列可化为 原数列的一个通项公式为an 1 n 4 将数列变为 对于分子3 5 7 9 是相应项数的2倍加1 可得分子的一个通项公式为bn 2n 1 对于分母2 5 10 17 联想到数列1 4 9 16 即数列 n2 可得分母的一个通项公式为cn n2 1 原数列的一个通项公式为an 方法技巧 1 根据所给数列的前几项求其一个通项公式时 需仔细观察分析 抓住以下几方面的特征 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项符号特征 2 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法 它蕴含着 从特殊到一般 的思想 由不完全归纳得出的结果是不可靠的 要注意代值检验 对于正负符号变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 1 1根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 3 5 7 2 2 5 10 17 3 4 1 3 3 5 5 7 7 9 9 5 1 2 2 4 3 8 4 16 5 典例2 1 已知数列 an 的前n项和为sn n2 2n 2 则数列 an 的通项公式为 a an 2n 3b an 2n 3c an d an 2 2015课标全国 16 5分 设sn是数列 an 的前n项和 且a1 1 an 1 snsn 1 则sn 考点二an与sn关系的应用 答案 1 c 2 解析 1 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 3 由于n 1时 a1 1不符合上式 故an 2 an 1 sn 1 sn an 1 snsn 1 sn 1 sn sn 1sn 又由a1 1 知sn 0 1 是等差数列 且公差为 1 而 1 1 n 1 1 n sn 方法技巧sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求 将问题向不同的两个方向转化 1 利用an sn sn 1 n 2 转化为只含sn sn 1的关系式 再求解 2 利用sn sn 1 an n 2 转化为只含an an 1的关系式 再求解 2 1已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 sn 2an 1 则an 答案 典例3 2018广东惠州质检 设数列 an 满足a1 1 且an 1 an n 1 n n 求数列 an 的通项公式 考点三由递推关系求数列的通项公式命题方向一形如an 1 an f n 求an 解析由题意有a2 a1 2 a3 a2 3 an an 1 n n 2 以上各式相加 得an a1 2 3 n a1 1 an n 2 当n 1时也满足此式 an n n 命题方向二形如an 1 an f n 求an 典例4在数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 求数列 an 的通项公式 解析 an an 1 n 2 an 1 an 2 an 2 an 3 a2 a1 以上 n 1 个式子相乘得 an a1 当n 1时 a1 1 符合上式 an n n 命题方向三形如an 1 aan b a 0且a 1 求an 典例5已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 2 求数列 an 的通项公式 命题方向四形如an 1 a b c为常数 求an 典例6已知数列 an 中 a1 1 an 1 则数列 an 的通项公式an 答案 n n 解析因为an 1 a1 1 所以an 0 所以 即 又a1 1 则 1 所以是以1为首项 为公差的等差数列 所以 n 1 所以an n n 方法技巧由递推关系式求通项公式的常用方法 1 已知a1且an an 1 f n 可用 累加法 求an 即an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1 a1 2 已知a1且 f n 可用 累乘法 求an 即an a1 3 已知a1且an 1 aan b 则an 1 k a an k 其中k可由待定系数法确定 可转化为等比数列 an k 4 形如an 1 a b c为常数 的数列 可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解 3 1已知数列 an 满足a1 1 a2 4 an 2 2an 3an 1 n n 则数列 an 的通项公式an 3 2n 1 2 答案3 2n 1 2 3 2在数列 an 中 a1 3 an 1 an 则通项公式an 答案4 解析原递推公式可化为an 1 an 则a2 a1 a3 a2 a4 a3 an 1 an 2 an an 1 累计相加得 an a1 1 故an 4 典例7 1 数列 an 的通项公式为an 则数列 an 中的最大项的值是 a 3b 19c d 2 数列 an 满足an 1 a8 2 则a1 考点四数列的性质 答案 1 c 2 解析 1 由题意得an 运用基本不等式得 当且仅当n2 90时等号成立 结合n n 不难发现a9 a10 最大 2 由an 1 得an 1 a8 2 a7 1 a6 1 1 a5 1 2 an 是以3为周期的数列 a1 a7 方法技巧 1 解决数列单调性问题的三种方法 1 用作差比较法 根据an 1 an的符号判断数列 an 是递增数列 递减数列还是常数列 2 用作商比较法 根据 an 0或an 0 与1的大小关系进行判断 3 结合相应函数的图象直观判断 3 求数列最大项或最小项的方法 1 利用不等式组 n 2 找到数列的最大项 2 利用不等式组 n 2 找到数列的最小项 2 解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项 确定数列的周期 再根据周期性求值 同类练 1 设an 3n2 15n 18 n n 则数列 an 中的最大项的值是 a b c 4d 0 2 数列 an 满足an 1 a1 则数列的第2017项为 答案 1 d 2 解析 1 an 3 n n 由二次函数图象可得当n 2或3时 an取得最大值0 2 由已知可得a2 a3 a4 a5 则数列 an 是以4为周期的周期数列 所以a2017 a1 变式练已知 an 是递增数列 且对于任意的n n an n2 n恒成立 则实数 的取值范围是 3 答案 3 解析 对于任意的n n an n2 n恒成立 an 1 an n 1 2 n 1 n2 n 2n 1 又 an 是递增数列 an 1 an 0 且当n 1时 an 1 an最小 an 1 an a2 a1 3 0 3 深化练