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高二数学选修2 3 正态分布 在函数 当 0 1时 正态总体称为标准正态总体 其对应的函数表示式为 其相应的曲线称为标准正态曲线 正态曲线的基本特征 两头低 中间高 左右对称 1 曲线在x轴的上方 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 它关于直线x 对称 正态曲线的性质 4 曲线与x轴之间的面积为1 3 曲线在x 处达到峰值 最高点 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 5 当x 时 曲线下降 并且当曲线向左 右两边无限延伸时 以x轴为渐近线 向它无限靠近 正态曲线的性质 正态曲线下的面积规律 x轴与正态曲线所夹面积恒等于1 对称区域面积相等 s x s x s x 正态曲线下的面积规律 对称区域面积相等 s x1 x2 x1 x2x2x1 s x1 x2 s x2 x1 若x n 则对于任何实数a 0 概率为如图中的阴影部分的面积 对于固定的和而言 该面积随着的减少而变大 这说明越小 落在区间的概率越大 即x集中在周围概率越大 特别地有 例1分别求正态总体n 2 在区间 2 2 3 3 内取值的概率 我们从下图看到 正态总体在以外取值的概率只有4 6 在以外取值的概率只有0 3 由于这些概率值很小 一般不超过5 通常称这些情况发生为小概率事件 练习 一台机床生产一种尺寸为10mm的零件 现从中抽测10个 它们的尺寸分别如下 单位 mm 10 2 10 1 10 9 8 9 9 10 3 9 7 10 9 9 10 1 如果机床生产零件的尺寸服从正态分布 求正态分布的概率密度函数式 例1 在某次数学考试中 考生的成绩服从一个正态分布 即 n 90 100 1 试求考试成绩位于区间 70 110 上的概率是多少 2 若这次考试共有2000名考生 试估计考试成绩在 80 100 间的考生大约有多少人 练习 1 已知一次考试共有60名同学参加 考生的成绩x 据此估计 大约应有57人的分数在下列哪个区间内 90 110 b 95 125 c 100 120 d 105 115 c 2 已知x n 0 1 则x在区间内取值的概率等于 a 0 9544b 0 0456c 0 9772d 0 0228 d 3 设离散型随机变量x n 0 1 则 0 5 0 9544 4 若已知正态总体落在区间的概率为0 5 则相应的正态曲线在x 时达到最高点 0 3 5 已知正态总体的数据落在 3 1 里的概率和落在 3 5 里的概率相等 那么这个正态总体的数学期望是 1 例3 若x n 5 1 求p 6 x 7 例2 已知 且 则等于 a 0 1b 0 2c 0 3d 0 4 a 例5 某年级的一次信息技术测验成绩近似的
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