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三角函数 解三角形 第三章 第22讲解三角形应用举例 栏目导航 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中 视线在水平线 的角叫仰角 在水平线 的角叫俯角 如图 上方 下方 2 方位角从指北方向 转到目标方向线的水平角叫方位角 如b点的方位角为 如图 3 方向角相对于某一正方向的水平角 如图 1 北偏东 即由指北方向 旋转 到达目标方向 2 北偏西 即由指北方向 旋转 到达目标方向 3 南偏西等其他方向角类似 顺时针 顺时针 逆时针 4 坡角和坡度 比 坡角 坡面与水平面所成的 的度数 如图 角 为坡角 坡度 比 坡面的铅直高度与水平长度之比 如图 i为坡度 比 二面角 2 若点a在点c的北偏东30 点b在点c的南偏东60 且ac bc 则点a在点b的 a 北偏东15 b 北偏西15 c 北偏东10 d 北偏西10 解析如图所示 acb 90 又ac bc cba 45 而 30 90 45 30 15 点a在点b的北偏西15 b a 4 在相距2千米的a b两点处测量目标点c 若 cab 75 cba 60 则a c两点之间的距离为 千米 5 一船向正北航行 看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏东60 另一灯塔在船的南偏东75 则这艘船每小时航行 海里 8 求解距离问题的一般步骤 1 选取适当基线 画出示意图 将实际问题转化为三角形问题 2 明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素 3 确定使用正弦定理或余弦定理解三角形 一距离问题 二高度问题 高度问题一般是把它转化成三角形的问题 要注意三角形中边角关系的应用 若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合 例2 要测量电视塔ab的高度 在c点测得塔顶a的仰角是45 在d点测得塔顶a的仰角是30 并测得水平面上的 bcd 120 cd 40m 则电视塔的高度为 m 40 三角度问题 解决角度问题的注意点 1 首先应明确方位角或方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意画出正确的示意图 这是最关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正 余弦定理的 联袂 使用 例3 在一次海上联合作战演习中 红方一艘侦察艇发现在北偏东45 方向 相距12海里的水面上 有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75 方向前进 红方侦察艇以每小时14海里的速度沿北偏东45 方向拦截蓝方的小艇 若要在最短的时间内拦截住 求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 d b b 错因分析 空间想象能力较弱 不会迁移空间角的应用 例1 如图 为测量山高mn 选择a和另一座山的山顶c为测量观测点 从点a测得点m的仰角 man 60 点c的仰角 cab 45 以及 mac 75 从点c测得 mca 60 已知山高bc 100m 则山高mn m 易错点在实际问题中对角的认识不充分 跟踪训练1 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得
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