高考数学一轮复习 第十一章 复数、算法、推理与证明 第四节 直接证明与间接证明课件 文.ppt

第四节直接证明与间接证明 总纲目录 教材研读 1 直接证明 考点突破 2 间接证明 考点二分析法的应用 考点一综合法的应用 考点三反证法的应用 1 直接证明 教材研读 2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 假设原命题 不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 矛盾 因此说明假设错误 从而证明 原命题成立的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 i 反设 假设命题的结论不成立 ii 归谬 根据假设进行推理 直到推出矛盾为止 iii 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 1 命题 对任意角 cos4 sin4 cos2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 过程应用了 a 分析法b 综合法c 综合法 分析法综合使用d 间接证明法 答案b因为证明过程是 从左往右 即由条件 结论 故选b b 2 用分析法证明时出现 欲使 a b 只需 c d 这里 是 的 a 充分条件b 必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案b由题意可知 应用 故 是 的必要条件 b 3 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60度 假设正确的是 a 假设三个内角都不大于60度b 假设三个内角都大于60度c 假设三个内角至多有一个大于60度d 假设三个内角至多有两个大于60度 答案b根据反证法的定义 假设是对原命题结论的否定 故假设三个内角都大于60度 故选b b 4 下列条件 ab 0 ab0 b 0 a 0 b 0 其中能使 2成立的条件的个数是 3 5 已知点an n an 为函数y 图象上的点 bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n n 设cn an bn 则cn与cn 1的大小关系为 cn cn 1 考点突破 解析 1 f x 的定义域为 0 当 0时 f x lnx x 1 则f x 1 令f x 0 解得x 1 当00 f x 在 0 1 上是增函数 当x 1时 f x 0 且x 1 当00 当x 1时 f x lnx xlnx x 1 lnx x 0 0 综上可知 0 方法技巧用综合法证题是从已知条件出发 逐步推向结论 综合法的适用范围 1 定义明确的问题 如判定函数的单调性 奇偶性 2 已知条件明确 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 在使用综合法证明时 易出现的错误是因果关系不明确 逻辑表达混乱 1 1设f x ax2 bx c a 0 若函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 求证 f为偶函数 证明由函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 可知f x 1 f x 将x换成x 代入上式可得f f 即f f 由偶函数的定义可知f为偶函数 典例2已知函数f x 3x 2x 求证 对于任意的x1 x2 r 均有 f 证明要证明 f 即证明 2 因此只要证明 x1 x2 x1 x2 即证明 因此只要证明 由于x1 x2 r 所以 0 0 由基本不等式知 成立 故原结论成立 考点二分析法的应用 方法技巧 1 分析法采用逆向思维 当已知条件与结论之间的联系不够明显 直接 或证明过程中所需要用的知识不太明确 具体时 往往采用分析法 特别是含有根号 绝对值的等式或不等式 从正面不易推导时 常考虑用分析法 2 应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的 它的常用书面表达形式为 要证 只需要证 或 注意用分析法证明时 一定要严格按照格式书写 2 1已知m 0 a b r 求证 证明 m 0 1 m 0 要证原不等式成立 只需证明 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 典例3设 an 是公比为q的等比数列 1 推导 an 的前n项和公式 2 设q 1 求证 数列 an 1 不是等比数列 考点三反证法的应用 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 易错警示用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 必须从结论的反面出发进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知条件矛盾 有的与假设矛盾 有的与基本事实矛盾等 且推导出的矛盾必须是明显的 3 1已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an sn 2 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 数列 an 中不存在三项按原来顺序成等差数列 解析 1 n 1时 a1 s1 2a1 2 则a1 1 又an sn 2 所以an 1 sn 1 2 两式相减得an 1 an 所以 an 是首项为1 公比为的等比数列 所以an 2 证明 假设数列 an 中存在三项按原来顺序成等差数列 记为ap 1